Ejercicios: Forma de la distribución

2. Recordamos la regla. En una distribución simétrica las tres coinciden. Si hay cola a la derecha, la media queda por encima de la mediana, arrastrada por los valores altos. Si la cola va a la izquierda, queda por debajo.

3. Diagnosticamos la forma. Acá la distribución es simétrica.

4. Ubicamos la cola. La cola larga apunta no hay cola larga a ningún lado. Las dos mitades son espejo una de la otra.

5. Elegimos la medida de resumen. Conviene cualquiera de las tres, porque al coincidir las tres cualquiera representa bien al conjunto.

6. El error de nombre más común. Nombrar la asimetría por el lado donde está el pico. La distribución de sueldos tiene el pico a la izquierda y se llama asimétrica a derecha, porque la cola apunta hacia allá.

Respuesta: Es simétrica, con la cola no hay cola larga a ningún lado. Conviene resumirla con cualquiera de las tres

2. Calculamos la mediana. Con $n = 9$ datos ordenados, el central es el número $5$: $Me = 31$ miles de pesos.

3. Comparamos. $\bar{x} = 46 > Me = 31$, y la diferencia es de $15$ miles de pesos, un $48{,}39\%$ por encima de la mediana.

4. Diagnosticamos. Cuando la media supera claramente a la mediana hay una cola larga hacia los valores altos: la distribución es asimétrica a la derecha. Acá el responsable se ve a simple vista, el dato de $164$, muy separado del resto.

5. Elegimos qué informar. La mediana, $31$ miles de pesos, representa mejor al conjunto: hay $8$ de los $9$ datos por debajo de la media, así que el promedio no describe al caso típico.

6. El diagnóstico de dos números. Comparar media con mediana detecta asimetría sin mirar ningún gráfico, y conviene hacerlo siempre antes de resumir un conjunto con un solo número.

Respuesta: $\bar{x} = 46$ y $Me = 31$: es asimétrica a la derecha y conviene informar la mediana

2. Identificamos la forma. Hay dos máximos separados por un valle: la distribución es bimodal. No es simétrica ni asimétrica, es de dos picos.

3. Calculamos cuánto pesa cada grupo. Las primeras cuatro clases juntan $42$ datos y las últimas cuatro $39$, sobre un total de $81$.

4. Interpretamos. Dos picos casi siempre indican que hay dos grupos distintos mezclados en el mismo conjunto: dos turnos, dos máquinas, dos poblaciones.

5. Vemos qué pasaría con la media. Caería en la zona del valle, alrededor de $[70; 90)$, que es justamente donde casi no hay datos. Sería un número que no describe a ningún caso real.

6. Qué conviene hacer. Buscar la variable que separa los dos grupos y analizarlos por separado. Recién ahí la media de cada uno significa algo.

Respuesta: Es bimodal, con picos en $[50; 60)$ y $[100; 110)$. Conviene separar los dos grupos antes de calcular una media

2. Diagnosticamos la forma. Esa diferencia dice que hay una cola larga hacia los valores altos: unos pocos sueldos muy grandes están arrastrando el promedio.

3. Vemos qué describe cada medida. La mediana parte al grupo en dos: la mitad de los empleados gana menos de $260$ mil. La media no parte nada, es un reparto imaginario.

4. Decidimos. Conviene publicar la mediana, porque describe al empleado típico. La media describe al conjunto solo si la distribución es más o menos simétrica.

5. Lo que igual conviene aclarar. Publicar las dos y la diferencia entre ellas informa más que cualquiera de las dos sola: esa brecha es la desigualdad interna.

Respuesta: Conviene la mediana, $260$ mil: la media está inflada por una cola de sueldos altos

2. Recordamos la regla. En una distribución simétrica las tres coinciden. Si hay cola a la derecha, la media queda por encima de la mediana, arrastrada por los valores altos. Si la cola va a la izquierda, queda por debajo.

3. Diagnosticamos la forma. Acá la distribución es asimétrica a la izquierda.

4. Ubicamos la cola. La cola larga apunta hacia los valores bajos. El pico queda del lado opuesto, en los valores altos.

5. Elegimos la medida de resumen. Conviene la mediana, porque no se deja arrastrar por los valores extremos que forman la cola.

6. El error de nombre más común. Nombrar la asimetría por el lado donde está el pico. La distribución de sueldos tiene el pico a la izquierda y se llama asimétrica a derecha, porque la cola apunta hacia allá.

Respuesta: Es asimétrica a la izquierda, con la cola hacia los valores bajos. Conviene resumirla con la mediana

2. Calculamos la mediana. Con $n = 9$ datos ordenados, el central es el número $5$: $Me = 35$ minutos.

3. Comparamos. $\bar{x} = 50{,}6667 > Me = 35$, y la diferencia es de $15{,}6667$ minutos, un $44{,}76\%$ por encima de la mediana.

4. Diagnosticamos. Cuando la media supera claramente a la mediana hay una cola larga hacia los valores altos: la distribución es asimétrica a la derecha. Acá el responsable se ve a simple vista, el dato de $175$, muy separado del resto.

5. Elegimos qué informar. La mediana, $35$ minutos, representa mejor al conjunto: hay $8$ de los $9$ datos por debajo de la media, así que el promedio no describe al caso típico.

6. El diagnóstico de dos números. Comparar media con mediana detecta asimetría sin mirar ningún gráfico, y conviene hacerlo siempre antes de resumir un conjunto con un solo número.

Respuesta: $\bar{x} = 50{,}6667$ y $Me = 35$: es asimétrica a la derecha y conviene informar la mediana

2. Identificamos la forma. Hay dos máximos separados por un valle: la distribución es bimodal. No es simétrica ni asimétrica, es de dos picos.

3. Calculamos cuánto pesa cada grupo. Las primeras cuatro clases juntan $41$ datos y las últimas cuatro $43$, sobre un total de $84$.

4. Interpretamos. Dos picos casi siempre indican que hay dos grupos distintos mezclados en el mismo conjunto: dos turnos, dos máquinas, dos poblaciones.

5. Vemos qué pasaría con la media. Caería en la zona del valle, alrededor de $[40; 50)$, que es justamente donde casi no hay datos. Sería un número que no describe a ningún caso real.

6. Qué conviene hacer. Buscar la variable que separa los dos grupos y analizarlos por separado. Recién ahí la media de cada uno significa algo.

Respuesta: Es bimodal, con picos en $[30; 35)$ y $[55; 60)$. Conviene separar los dos grupos antes de calcular una media

2. Diagnosticamos la forma. Cuando las tres casi coinciden, la distribución es prácticamente simétrica: no hay cola larga a ningún lado.

3. Vemos qué implica para la elección. Con una distribución simétrica, media y mediana dan casi lo mismo, así que la elección no cambia el diagnóstico.

4. Decidimos. Conviene la media. Usa el valor de todos los datos y no solo la posición, así que aprovecha más información, y acá no hay valores extremos que la distorsionen.

5. Cuándo cambiaría la respuesta. Si apareciera un puñado de notas muy bajas, la media caería y la mediana casi no se movería. Ahí habría que pasar a la mediana.

Respuesta: Conviene la media: las tres medidas casi coinciden, así que la distribución es simétrica

2. Recordamos la regla. En una distribución simétrica las tres coinciden. Si hay cola a la derecha, la media queda por encima de la mediana, arrastrada por los valores altos. Si la cola va a la izquierda, queda por debajo.

3. Diagnosticamos la forma. Acá la distribución es simétrica.

4. Ubicamos la cola. La cola larga apunta no hay cola larga a ningún lado. Las dos mitades son espejo una de la otra.

5. Elegimos la medida de resumen. Conviene cualquiera de las tres, porque al coincidir las tres cualquiera representa bien al conjunto.

6. El error de nombre más común. Nombrar la asimetría por el lado donde está el pico. La distribución de sueldos tiene el pico a la izquierda y se llama asimétrica a derecha, porque la cola apunta hacia allá.

Respuesta: Es simétrica, con la cola no hay cola larga a ningún lado. Conviene resumirla con cualquiera de las tres

2. Calculamos la mediana. Con $n = 9$ datos ordenados, el central es el número $5$: $Me = 28$ miles de pesos.

3. Comparamos. $\bar{x} = 41{,}5556 > Me = 28$, y la diferencia es de $13{,}5556$ miles de pesos, un $48{,}41\%$ por encima de la mediana.

4. Diagnosticamos. Cuando la media supera claramente a la mediana hay una cola larga hacia los valores altos: la distribución es asimétrica a la derecha. Acá el responsable se ve a simple vista, el dato de $154$, muy separado del resto.

5. Elegimos qué informar. La mediana, $28$ miles de pesos, representa mejor al conjunto: hay $8$ de los $9$ datos por debajo de la media, así que el promedio no describe al caso típico.

6. El diagnóstico de dos números. Comparar media con mediana detecta asimetría sin mirar ningún gráfico, y conviene hacerlo siempre antes de resumir un conjunto con un solo número.

Respuesta: $\bar{x} = 41{,}5556$ y $Me = 28$: es asimétrica a la derecha y conviene informar la mediana

2. Identificamos la forma. Hay dos máximos separados por un valle: la distribución es bimodal. No es simétrica ni asimétrica, es de dos picos.

3. Calculamos cuánto pesa cada grupo. Las primeras cuatro clases juntan $44$ datos y las últimas cuatro $40$, sobre un total de $84$.

4. Interpretamos. Dos picos casi siempre indican que hay dos grupos distintos mezclados en el mismo conjunto: dos turnos, dos máquinas, dos poblaciones.

5. Vemos qué pasaría con la media. Caería en la zona del valle, alrededor de $[60; 80)$, que es justamente donde casi no hay datos. Sería un número que no describe a ningún caso real.

6. Qué conviene hacer. Buscar la variable que separa los dos grupos y analizarlos por separado. Recién ahí la media de cada uno significa algo.

Respuesta: Es bimodal, con picos en $[40; 50)$ y $[90; 100)$. Conviene separar los dos grupos antes de calcular una media

2. Diagnosticamos la forma. Es una asimetría fuerte a la derecha. Hay esperas muy largas, pocas pero enormes, que empujan el promedio.

3. Evaluamos la afirmación. La mediana dice que la mitad de los pacientes espera menos de $23$ minutos, así que como descripción del caso típico la afirmación se sostiene.

4. Vemos qué esconde. Deja afuera que existe una cola de esperas muy largas, que es justamente lo que más le importa a quien reclama. Con esa forma, resumir con un solo número siempre oculta algo.

5. Qué convendría informar. La mediana junto con un percentil alto, por ejemplo cuánto espera el $10\%$ que peor la pasa. Dos números describen esta distribución y uno solo no.

Respuesta: Se sostiene como descripción del caso típico, pero esconde la cola de esperas largas: hay que informar también un percentil alto