Ejercicios: El principio de multiplicación

2. Verificamos que se pueda multiplicar. La cantidad de opciones de cada etapa no depende de lo que se eligió antes: haya elegido lo que haya elegido, siempre quedan $8$ platos principales y $5$ postres. Esa es la condición del principio de multiplicación.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 4 \cdot 8 \cdot 5 = 160$

4. Chequeamos el orden de magnitud. Con solo $4$ opciones en la primera etapa ya hay $4$ ramas, y cada una se abre en $8$ y después en $5$. Contar las hojas de ese árbol da lo mismo que multiplicar: $160$.

5. El error que hay que evitar. Sumar en lugar de multiplicar. Se suma cuando las opciones son alternativas excluyentes, o una cosa o la otra; se multiplica cuando son etapas que se hacen todas.

Respuesta: Se pueden formar $160$ opciones distintas

2. Vemos cuántas opciones tiene cada una. Como se puede repetir, cada letra tiene $26$ opciones y cada dígito $10$, sin importar lo elegido antes.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 26^{3} \cdot 10^{3} = 17576 \cdot 1000 = 17576000$

4. Aplicamos la restricción. Si el primer dígito no puede ser $0$, esa etapa pasa de $10$ a $9$ opciones. Las demás no cambian: $\text{total} = 17576 \cdot 9 \cdot 10^{2} = 15818400$

5. Lo que muestra la comparación. La restricción recorta una décima parte: se pierden exactamente las que empezaban con $0$, $17576000 - 15818400 = 1757600$.

Respuesta: Hay $17576000$ patentes, y $15818400$ si el primer dígito no puede ser $0$

2. Contamos el caso turno mañana. Adentro de este caso sí hay etapas sucesivas: elegir el servicio y elegir el horario. $7 \cdot 5 = 35$ formas.

3. Contamos el caso turno noche. $2 \cdot 3 = 6$ formas.

4. Sumamos los casos. $\text{total} = 35 + 6 = 41$

5. La regla que decide entre sumar y multiplicar. Si las opciones son sucesivas y se hacen todas, se multiplica. Si son excluyentes y se elige una sola, se suma. Acá conviven las dos cosas: se multiplica dentro de cada caso y se suma entre casos.

Respuesta: Puede viajar de $41$ formas distintas

2. Vemos por qué conviene contar el complemento. Contar directamente las que tienen al menos un la bolilla $1$ obligaría a separar en casos: exactamente uno, exactamente dos, y así. El complemento es un solo caso.

3. Contamos las secuencias sin ningún éxito. En cada tirada quedan $4$ resultados que no son la bolilla $1$: $4^{4} = 256$.

4. Restamos. $\text{al menos uno} = 625 - 256 = 369$

5. Verificamos que la partición sea completa. Toda secuencia o no tiene ningún la bolilla $1$ o tiene al menos uno, sin superposición: $256 + 369 = 625$.

6. Cuándo usar esta idea. Cada vez que aparezca «al menos uno». Contar lo contrario y restar casi siempre es más corto que sumar casos.

Respuesta: Hay $625$ secuencias en total y en $369$ ocurre que salga al menos una vez la bolilla $1$

2. Verificamos que se pueda multiplicar. La cantidad de opciones de cada etapa no depende de lo que se eligió antes: haya elegido lo que haya elegido, siempre quedan $4$ compañías de micro y $3$ horarios. Esa es la condición del principio de multiplicación.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$

4. Chequeamos el orden de magnitud. Con solo $7$ opciones en la primera etapa ya hay $7$ ramas, y cada una se abre en $4$ y después en $3$. Contar las hojas de ese árbol da lo mismo que multiplicar: $84$.

5. El error que hay que evitar. Sumar en lugar de multiplicar. Se suma cuando las opciones son alternativas excluyentes, o una cosa o la otra; se multiplica cuando son etapas que se hacen todas.

Respuesta: Se pueden formar $84$ opciones distintas

2. Vemos las opciones de cada etapa. Como los dígitos se pueden repetir, cada posición tiene las $10$ opciones disponibles, sin importar lo elegido antes.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 10^{5} = 100000$

4. Aplicamos la restricción. La primera posición pasa a tener $9$ opciones, del $1$ al $9$, y las otras $4$ siguen con $10$: $9 \cdot 10^{4} = 90000$

5. Interpretamos la diferencia. Se pierden $10000$ códigos, que son exactamente los que empezaban con $0$.

Respuesta: Hay $100000$ códigos, y $90000$ si el primero no puede ser $0$

2. Contamos el caso micro. Adentro de este caso sí hay etapas sucesivas: elegir el servicio y elegir el horario. $4 \cdot 7 = 28$ formas.

3. Contamos el caso avión. $5 \cdot 2 = 10$ formas.

4. Sumamos los casos. $\text{total} = 28 + 10 = 38$

5. La regla que decide entre sumar y multiplicar. Si las opciones son sucesivas y se hacen todas, se multiplica. Si son excluyentes y se elige una sola, se suma. Acá conviven las dos cosas: se multiplica dentro de cada caso y se suma entre casos.

Respuesta: Puede viajar de $38$ formas distintas

2. Vemos por qué conviene contar el complemento. Contar directamente las que tienen al menos un cara obligaría a separar en casos: exactamente uno, exactamente dos, y así. El complemento es un solo caso.

3. Contamos las secuencias sin ningún éxito. En cada tirada quedan $1$ resultados que no son cara: $1^{3} = 1$.

4. Restamos. $\text{al menos uno} = 8 - 1 = 7$

5. Verificamos que la partición sea completa. Toda secuencia o no tiene ningún cara o tiene al menos uno, sin superposición: $1 + 7 = 8$.

6. Cuándo usar esta idea. Cada vez que aparezca «al menos uno». Contar lo contrario y restar casi siempre es más corto que sumar casos.

Respuesta: Hay $8$ secuencias en total y en $7$ ocurre que salga al menos una cara

2. Verificamos que se pueda multiplicar. La cantidad de opciones de cada etapa no depende de lo que se eligió antes: haya elegido lo que haya elegido, siempre quedan $5$ colores y $6$ capacidades de memoria. Esa es la condición del principio de multiplicación.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 5 \cdot 5 \cdot 6 = 150$

4. Chequeamos el orden de magnitud. Con solo $5$ opciones en la primera etapa ya hay $5$ ramas, y cada una se abre en $5$ y después en $6$. Contar las hojas de ese árbol da lo mismo que multiplicar: $150$.

5. El error que hay que evitar. Sumar en lugar de multiplicar. Se suma cuando las opciones son alternativas excluyentes, o una cosa o la otra; se multiplica cuando son etapas que se hacen todas.

Respuesta: Se pueden formar $150$ opciones distintas

2. Vemos las opciones de cada etapa. Como los dígitos se pueden repetir, cada posición tiene las $10$ opciones disponibles, sin importar lo elegido antes.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 10^{6} = 1000000$

4. Aplicamos la restricción. La primera posición pasa a tener $9$ opciones, del $1$ al $9$, y las otras $5$ siguen con $10$: $9 \cdot 10^{5} = 900000$

5. Interpretamos la diferencia. Se pierden $100000$ códigos, que son exactamente los que empezaban con $0$.

Respuesta: Hay $1000000$ códigos, y $900000$ si el primero no puede ser $0$

2. Contamos el caso tren. Adentro de este caso sí hay etapas sucesivas: elegir el servicio y elegir el horario. $4 \cdot 2 = 8$ formas.

3. Contamos el caso colectivo. $3 \cdot 3 = 9$ formas.

4. Sumamos los casos. $\text{total} = 8 + 9 = 17$

5. La regla que decide entre sumar y multiplicar. Si las opciones son sucesivas y se hacen todas, se multiplica. Si son excluyentes y se elige una sola, se suma. Acá conviven las dos cosas: se multiplica dentro de cada caso y se suma entre casos.

Respuesta: Puede viajar de $17$ formas distintas

2. Vemos por qué conviene contar el complemento. Contar directamente las que tienen al menos un seis obligaría a separar en casos: exactamente uno, exactamente dos, y así. El complemento es un solo caso.

3. Contamos las secuencias sin ningún éxito. En cada tirada quedan $5$ resultados que no son seis: $5^{5} = 3125$.

4. Restamos. $\text{al menos uno} = 7776 - 3125 = 4651$

5. Verificamos que la partición sea completa. Toda secuencia o no tiene ningún seis o tiene al menos uno, sin superposición: $3125 + 4651 = 7776$.

6. Cuándo usar esta idea. Cada vez que aparezca «al menos uno». Contar lo contrario y restar casi siempre es más corto que sumar casos.

Respuesta: Hay $7776$ secuencias en total y en $4651$ ocurre que salga al menos un seis