Ejercicios: Permutaciones y factorial

2. Contamos por etapas. Para el primer lugar hay $6$ opciones. Elegido ese, para el segundo quedan $5$, después $4$, y así hasta agotarlos.

3. Multiplicamos. $P_{6} = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

4. Miramos el tamaño del resultado. Con solo $6$ elementos ya hay $720$ ordenamientos. El factorial crece mucho más rápido de lo que uno espera.

5. La condición para que valga esta fórmula. Que se usen todos los elementos. Si quedaran los libros sin ubicar, no sería una permutación y $6!$ no aplicaría.

Respuesta: Se puede hacer de $6! = 720$ formas distintas

2. Buscamos las que se repiten. I: $4$ veces · P: $2$ veces · S: $4$ veces. Las demás aparecen una sola vez.

3. Vemos por qué hay que corregir. Si las $11$ letras fueran todas distintas habría $11! = 39916800$ ordenamientos. Pero intercambiar dos letras iguales entre sí no cambia la palabra, así que cada palabra quedó contada varias veces.

4. Dividimos por el factorial de cada grupo repetido. $\dfrac{11!}{4! \cdot 2! \cdot 4!} = \dfrac{39916800}{1152} = 34650$

5. Verificamos el sentido del resultado. $34650 < 39916800$, como tiene que ser: las repeticiones solo pueden achicar la cuenta.

Respuesta: Se pueden formar $34650$ palabras distintas

2. Ordenamos los elementos. $(7 - 1)! = 6! = 720$ formas.

3. Contamos el orden interno del bloque. Las dos personas pueden estar en dos órdenes distintas dentro del bloque: $2! = 2$.

4. Multiplicamos las dos etapas. $\text{total} = 720 \cdot 2 = 1440$

5. Comparamos con el total sin condición. Sin la condición habría $7! = 5040$ órdenes. La condición deja $\dfrac{1440}{5040} \approx 0{,}2857$ de ellos, que es exactamente $\dfrac{2}{7}$.

Respuesta: Se puede ordenar de $1440$ formas

2. Cancelamos. $\dfrac{6!}{(6 - 2)!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot (6 - 2)!}{(6 - 2)!} = 6 \cdot 5$

3. Calculamos. $6 \cdot 5 = 30$

4. Verificamos con los factoriales completos. $\dfrac{720}{24} = 30$, el mismo resultado.

5. Por qué conviene simplificar antes. $6!$ ya es un número de varias cifras y el cociente es chico. Desarrollar los factoriales completos hace que la calculadora se desborde apenas los números crecen, y no aporta nada.

Respuesta: El cociente vale $30$

2. Contamos por etapas. Para el primer lugar hay $5$ opciones. Elegido ese, para el segundo quedan $4$, después $3$, y así hasta agotarlos.

3. Multiplicamos. $P_{5} = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

4. Miramos el tamaño del resultado. Con solo $5$ elementos ya hay $120$ ordenamientos. El factorial crece mucho más rápido de lo que uno espera.

5. La condición para que valga esta fórmula. Que se usen todos los elementos. Si quedaran las personas sin ubicar, no sería una permutación y $5!$ no aplicaría.

Respuesta: Se puede hacer de $5! = 120$ formas distintas

2. Buscamos las que se repiten. A: $2$ veces · B: $2$ veces · D: $2$ veces · I: $2$ veces. Las demás aparecen una sola vez.

3. Vemos por qué hay que corregir. Si las $12$ letras fueran todas distintas habría $12! = 479001600$ ordenamientos. Pero intercambiar dos letras iguales entre sí no cambia la palabra, así que cada palabra quedó contada varias veces.

4. Dividimos por el factorial de cada grupo repetido. $\dfrac{12!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \dfrac{479001600}{16} = 29937600$

5. Verificamos el sentido del resultado. $29937600 < 479001600$, como tiene que ser: las repeticiones solo pueden achicar la cuenta.

Respuesta: Se pueden formar $29937600$ palabras distintas

2. Ordenamos el resto. Ubicado ese libro, quedan $6$ libros para $6$ lugares, sin ninguna condición: $(7 - 1)! = 720$.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 2 \cdot 720 = 1440$

4. Verificamos con el complemento. El total sin condición es $7! = 5040$, y la fracción que cumple es $\dfrac{2}{7}$, porque el libro señalado tiene la misma chance de caer en cada una de las $7$ posiciones: $\dfrac{2}{7} \cdot 5040 = 1440$.

5. La estrategia general. Cuando hay una restricción, se resuelve primero la posición restringida y después se ordena libremente lo que queda.

Respuesta: Se puede hacer de $1440$ formas

2. Planteamos la ecuación. $(n + 1) \cdot n = 42$, es decir $n^{2} + n - 42 = 0$.

3. Resolvemos. Las raíces son $n = 6$ y $n = -7$.

4. Descartamos la raíz que no sirve. El factorial solo está definido para enteros no negativos, así que $n = -7$ se descarta. Queda $n = 6$.

5. Verificamos. $\dfrac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$, que es lo pedido.

Respuesta: $n = 6$

2. Contamos por etapas. Para el primer lugar hay $8$ opciones. Elegido ese, para el segundo quedan $7$, después $6$, y así hasta agotarlos.

3. Multiplicamos. $P_{8} = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320$

4. Miramos el tamaño del resultado. Con solo $8$ elementos ya hay $40320$ ordenamientos. El factorial crece mucho más rápido de lo que uno espera.

5. La condición para que valga esta fórmula. Que se usen todos los elementos. Si quedaran los cuadros sin ubicar, no sería una permutación y $8!$ no aplicaría.

Respuesta: Se puede hacer de $8! = 40320$ formas distintas

2. Buscamos las que se repiten. E: $2$ veces · L: $2$ veces. Las demás aparecen una sola vez.

3. Vemos por qué hay que corregir. Si las $8$ letras fueran todas distintas habría $8! = 40320$ ordenamientos. Pero intercambiar dos letras iguales entre sí no cambia la palabra, así que cada palabra quedó contada varias veces.

4. Dividimos por el factorial de cada grupo repetido. $\dfrac{8!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{40320}{4} = 10080$

5. Verificamos el sentido del resultado. $10080 < 40320$, como tiene que ser: las repeticiones solo pueden achicar la cuenta.

Respuesta: Se pueden formar $10080$ palabras distintas

2. Ordenamos los elementos. $(6 - 1)! = 5! = 120$ formas.

3. Contamos el orden interno del bloque. Las dos personas pueden estar en dos órdenes distintas dentro del bloque: $2! = 2$.

4. Multiplicamos las dos etapas. $\text{total} = 120 \cdot 2 = 240$

5. Comparamos con el total sin condición. Sin la condición habría $6! = 720$ órdenes. La condición deja $\dfrac{240}{720} \approx 0{,}3333$ de ellos, que es exactamente $\dfrac{2}{6}$.

Respuesta: Se puede ordenar de $240$ formas

2. Cancelamos. $\dfrac{9!}{(9 - 3)!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot (9 - 3)!}{(9 - 3)!} = 9 \cdot 8 \cdot 7$

3. Calculamos. $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$

4. Verificamos con los factoriales completos. $\dfrac{362880}{720} = 504$, el mismo resultado.

5. Por qué conviene simplificar antes. $9!$ ya es un número de varias cifras y el cociente es chico. Desarrollar los factoriales completos hace que la calculadora se desborde apenas los números crecen, y no aporta nada.

Respuesta: El cociente vale $504$