Método

Permutaciones y factorial

Una permutación es una forma de ordenar todos los elementos de un conjunto. Lo único que cambia entre una y otra es el orden.

La cantidad de permutaciones de un conjunto sale del principio de multiplicación. Para el primer lugar hay tantas opciones como elementos, para el segundo una menos, y así hasta agotarlos.

Ese producto decreciente hasta uno es el factorial, y se escribe con un signo de exclamación después del número.

El factorial crece muchísimo más rápido de lo que uno espera. El de diez ya supera los tres millones, y el de veinte es un número astronómico.

Por convención el factorial de cero vale uno. No es arbitrario: es lo que hace que las fórmulas de combinaciones funcionen sin excepciones.

Cuando hay elementos repetidos, muchas permutaciones son indistinguibles entre sí. Ahí hay que dividir por el factorial de cada grupo de repetidos, para no contar varias veces lo mismo.

En los cálculos casi siempre conviene simplificar los factoriales antes de calcularlos, porque los números se vuelven enormes rápido.

Pn =n= n! =n⋅(n−1)⋅⋯⋅2⋅1= n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1
Cuándo se usa

Cuando hay que contar en cuántos órdenes se pueden disponer todos los elementos. Si hay elementos repetidos, dividí por el factorial de cada grupo. Simplificá antes de calcular.

Ejemplo 1

Calcular de cuántas maneras se pueden ordenar 55 libros distintos en un estante.

Vemos que se usan todos. Los cinco libros van al estante, así que es una permutación.
Aplicamos la fórmula. P5=5!P_{5} = 5!.
Resolvemos. 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 ordenamientos.
Respuesta: 120120 maneras

Ejemplo 2

Calcular de cuántas maneras se pueden sentar 44 personas en fila si dos de ellas quieren estar juntas.

Tratamos al par como un solo bloque. Quedan 33 objetos para ordenar: el bloque y las otras dos personas.
Ordenamos los tres objetos. 3!=63! = 6 maneras.
Ordenamos adentro del bloque. Las dos personas del par se pueden ubicar de 2!=22! = 2 formas. El total es 6⋅2=126 \cdot 2 = 12.
Respuesta: 1212 maneras

Error típico

Calcular el factorial de un número que no es la cantidad total de elementos. Si hay ocho corredores y se premian los tres primeros puestos, la respuesta no es 88! ni 33!.

Practicar

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