Combinaciones

Una combinación es una selección de elementos donde el orden no importa. Lo único que define al grupo es quiénes lo integran.

La fórmula sale de las variaciones dividiendo por el factorial de la cantidad elegida. Esa división elimina las repeticiones: cada grupo se contó tantas veces como formas de ordenarlo hay.

Entender esa relación es más útil que memorizar la fórmula, porque explica por qué las combinaciones siempre son menos que las variaciones.

La pregunta que decide es simple: si dos selecciones con los mismos elementos en distinto orden cuentan como la misma, son combinaciones.

Hay una propiedad de simetría muy útil: elegir cierta cantidad de un conjunto es equivalente a elegir cuáles quedan afuera. Por eso elegir tres de diez da lo mismo que elegir siete de diez, y conviene calcular el que tenga el número más chico.

Estos números son los coeficientes del binomio de Newton, y también aparecen en la distribución binomial, que se ve más adelante.

C_{n,r} = n! / (r! \cdot (n - r)!)

Cuándo se usa

Cuando hay que elegir un grupo y el orden no importa. Si el número elegido es más de la mitad, calculá el complementario: da lo mismo y sale más rápido.

Ejemplo 1

De un grupo de $10$ personas se elige un comité de $3$ . Calcular de cuántas maneras.

Vemos si el orden importa. Los tres tienen el mismo rol, así que no importa.
Aplicamos la fórmula. $C = 10! / (3! \cdot 7!)$ .
Simplificamos y resolvemos. $(10 \cdot 9 \cdot 8) / (3 \cdot 2 \cdot 1) = 720 / 6 = 120$ comités.
Respuesta: $120$ comités

Ejemplo 2

Comparar con el caso en que los tres elegidos ocupan cargos distintos, y explicar la diferencia.

Con cargos, el orden importa. Es una variación: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .
Sin cargos, no importa. Es una combinación: $120$ .
Vemos la relación. Cada comité de tres se puede repartir los cargos de $3! = 6$ maneras, y $120 \cdot 6 = 720$ .
Respuesta: Variación $720$ , combinación $120$ : difieren en $3$ !

Error típico

Usar combinaciones cuando el orden sí importa. Si los tres elegidos ocupan cargos distintos, no es un grupo indistinto y la respuesta es seis veces más grande.

Practicar

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Otros subtemas de Estadística descriptiva y conteo

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