Método

Ejercicios: Combinaciones

Cn,r=n!/(r!⋅(n−r)!)C_{n,r} = n! / (r! \cdot (n - r)!)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. De un conjunto de 1010 socios hay que formar una comisión de 44 integrantes, todos con el mismo rol. Calculá de cuántas formas se puede hacer.

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1. Decidimos si el orden importa. Todos tienen el mismo rol, así que dos selecciones con las mismas personas en distinto orden son la misma. El orden no importa: es una combinación.

2. Escribimos la fórmula. C10,4=10!4!⋅(10−4)!C_{10,4} = \dfrac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!}

3. Simplificamos antes de calcular. 10⋅9⋅8⋅74!=504024=210\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = \dfrac{5040}{24} = 210

4. Interpretamos la división. 50405040 es la cantidad de selecciones ordenadas. Cada grupo se contó 4!=244! = 24 veces, una por cada forma de ordenarlo, y por eso hay que dividir.

5. El chequeo de sentido. 210<5040210 < 5040 siempre: las combinaciones son menos que las variaciones, porque juntan en una sola varias selecciones ordenadas.

Respuesta: Se puede formar de C10,4=210C_{10,4} = 210 formas

2. De 1313 docentes hay que elegir 1010 para un jurado. Calculá el resultado usando la propiedad de simetría de las combinaciones y verificalo con la fórmula directa.

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1. Vemos por qué conviene la simetría. Se piden 1010 de 1313, y 1010 es más de la mitad. Calcular C13,10C_{13,10} directo obliga a manejar un factorial grande en el denominador.

2. Enunciamos la propiedad. Cn,r=Cn, n−rC_{n,r} = C_{n,\,n-r}: elegir quiénes entran es lo mismo que elegir quiénes quedan afuera. Acá quedan afuera 33.

3. Calculamos el caso más corto. C13,3=13⋅12⋅113!=286C_{13,3} = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3!} = 286

4. Verificamos con la fórmula directa. C13,10=13!10!⋅3!=62270208003628800⋅6=286C_{13,10} = \dfrac{13!}{10! \cdot 3!} = \dfrac{6227020800}{3628800 \cdot 6} = 286, el mismo número.

5. Por qué la propiedad es cierta. Cada grupo elegido determina exactamente un grupo de excluidos, y al revés. Es una correspondencia uno a uno, así que las dos cantidades tienen que coincidir.

Respuesta: C13,10=C13,3=286C_{13,10} = C_{13,3} = 286

3. Un curso tiene 77 mujeres y 66 varones. Hay que armar una comisión de 55 personas con exactamente 33 mujeres y 22 varones. Calculá de cuántas formas se puede hacer, y compará con la cantidad de comisiones sin ninguna condición.

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1. Separamos en dos elecciones independientes. La condición fija cuántas se eligen de cada grupo, así que se elige dentro de las mujeres por un lado y dentro de los varones por el otro.

2. Contamos las elecciones de mujeres. C7,3=35C_{7,3} = 35. El orden no importa, porque la comisión no tiene roles.

3. Contamos las de varones. C6,2=15C_{6,2} = 15

4. Multiplicamos. Cada elección de mujeres se puede combinar con cualquiera de varones: total=35⋅15=525\text{total} = 35 \cdot 15 = 525.

5. Comparamos con el caso libre. Sin condición serían C13,5=1287C_{13,5} = 1287 comisiones. La condición deja 5251287≈0,4079\dfrac{525}{1287} \approx 0{,}4079 del total.

6. El error que hay que evitar. Sumar las dos combinaciones en vez de multiplicarlas. Elegir mujeres y elegir varones son etapas que se hacen las dos, no alternativas.

Respuesta: Hay 35⋅15=52535 \cdot 15 = 525 comisiones posibles, contra 12871287 sin condición

4. De 1212 postulantes hay que elegir 33. Calculá cuántas formas hay si los 33 elegidos ocupan cargos distintos y cuántas si forman un grupo sin roles, y explicá por qué una cuenta es múltiplo de la otra.

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1. Planteamos la pregunta que decide. Si cambio el orden de lo elegido, ¿cambia el resultado? Con cargos distintos sí cambia; con un grupo sin roles no.

2. Contamos el caso con cargos. Es una variación: V12,3=12⋅11⋅10=1320V_{12,3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320.

3. Contamos el caso sin roles. Es una combinación: C12,3=13203!=13206=220C_{12,3} = \dfrac{1320}{3!} = \dfrac{1320}{6} = 220.

4. Explicamos la razón entre las dos. 1320220=6=3!\dfrac{1320}{220} = 6 = 3!. Cada grupo de 33 personas se puede repartir los cargos de 3!3! maneras, así que a cada combinación le corresponden 66 variaciones.

5. Verificamos. 220⋅6=1320220 \cdot 6 = 1320, que es la cantidad de selecciones ordenadas.

6. El error típico. Usar combinaciones cuando el orden sí importa. Si los 33 elegidos ocupan cargos distintos, la respuesta es 3!3! veces más grande.

Respuesta: Con cargos distintos 13201320 y sin roles 220220; la razón entre las dos es 3!=63! = 6

5. De un conjunto de 1313 alumnos hay que formar un grupo de trabajo de 33 integrantes, todos con el mismo rol. Calculá de cuántas formas se puede hacer.

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1. Decidimos si el orden importa. Todos tienen el mismo rol, así que dos selecciones con las mismas personas en distinto orden son la misma. El orden no importa: es una combinación.

2. Escribimos la fórmula. C13,3=13!3!⋅(13−3)!C_{13,3} = \dfrac{13!}{3! \cdot (13 - 3)!}

3. Simplificamos antes de calcular. 13⋅12⋅113!=17166=286\dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3!} = \dfrac{1716}{6} = 286

4. Interpretamos la división. 17161716 es la cantidad de selecciones ordenadas. Cada grupo se contó 3!=63! = 6 veces, una por cada forma de ordenarlo, y por eso hay que dividir.

5. El chequeo de sentido. 286<1716286 < 1716 siempre: las combinaciones son menos que las variaciones, porque juntan en una sola varias selecciones ordenadas.

Respuesta: Se puede formar de C13,3=286C_{13,3} = 286 formas

6. De 1111 jugadores hay que elegir 99 para un equipo. Calculá el resultado usando la propiedad de simetría de las combinaciones y verificalo con la fórmula directa.

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1. Vemos por qué conviene la simetría. Se piden 99 de 1111, y 99 es más de la mitad. Calcular C11,9C_{11,9} directo obliga a manejar un factorial grande en el denominador.

2. Enunciamos la propiedad. Cn,r=Cn, n−rC_{n,r} = C_{n,\,n-r}: elegir quiénes entran es lo mismo que elegir quiénes quedan afuera. Acá quedan afuera 22.

3. Calculamos el caso más corto. C11,2=11⋅102!=55C_{11,2} = \dfrac{11 \cdot 10}{2!} = 55

4. Verificamos con la fórmula directa. C11,9=11!9!⋅2!=39916800362880⋅2=55C_{11,9} = \dfrac{11!}{9! \cdot 2!} = \dfrac{39916800}{362880 \cdot 2} = 55, el mismo número.

5. Por qué la propiedad es cierta. Cada grupo elegido determina exactamente un grupo de excluidos, y al revés. Es una correspondencia uno a uno, así que las dos cantidades tienen que coincidir.

Respuesta: C11,9=C11,2=55C_{11,9} = C_{11,2} = 55

7. Un curso tiene 77 mujeres y 66 varones. Hay que armar una comisión de 44 personas con exactamente 22 mujeres y 22 varones. Calculá de cuántas formas se puede hacer, y compará con la cantidad de comisiones sin ninguna condición.

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1. Separamos en dos elecciones independientes. La condición fija cuántas se eligen de cada grupo, así que se elige dentro de las mujeres por un lado y dentro de los varones por el otro.

2. Contamos las elecciones de mujeres. C7,2=21C_{7,2} = 21. El orden no importa, porque la comisión no tiene roles.

3. Contamos las de varones. C6,2=15C_{6,2} = 15

4. Multiplicamos. Cada elección de mujeres se puede combinar con cualquiera de varones: total=21⋅15=315\text{total} = 21 \cdot 15 = 315.

5. Comparamos con el caso libre. Sin condición serían C13,4=715C_{13,4} = 715 comisiones. La condición deja 315715≈0,4406\dfrac{315}{715} \approx 0{,}4406 del total.

6. El error que hay que evitar. Sumar las dos combinaciones en vez de multiplicarlas. Elegir mujeres y elegir varones son etapas que se hacen las dos, no alternativas.

Respuesta: Hay 21⋅15=31521 \cdot 15 = 315 comisiones posibles, contra 715715 sin condición

8. De 1111 postulantes hay que elegir 33. Calculá cuántas formas hay si los 33 elegidos ocupan cargos distintos y cuántas si forman un grupo sin roles, y explicá por qué una cuenta es múltiplo de la otra.

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1. Planteamos la pregunta que decide. Si cambio el orden de lo elegido, ¿cambia el resultado? Con cargos distintos sí cambia; con un grupo sin roles no.

2. Contamos el caso con cargos. Es una variación: V11,3=11⋅10⋅9=990V_{11,3} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990.

3. Contamos el caso sin roles. Es una combinación: C11,3=9903!=9906=165C_{11,3} = \dfrac{990}{3!} = \dfrac{990}{6} = 165.

4. Explicamos la razón entre las dos. 990165=6=3!\dfrac{990}{165} = 6 = 3!. Cada grupo de 33 personas se puede repartir los cargos de 3!3! maneras, así que a cada combinación le corresponden 66 variaciones.

5. Verificamos. 165⋅6=990165 \cdot 6 = 990, que es la cantidad de selecciones ordenadas.

6. El error típico. Usar combinaciones cuando el orden sí importa. Si los 33 elegidos ocupan cargos distintos, la respuesta es 3!3! veces más grande.

Respuesta: Con cargos distintos 990990 y sin roles 165165; la razón entre las dos es 3!=63! = 6

9. De un conjunto de 1010 empleados hay que formar una delegación de 33 integrantes, todos con el mismo rol. Calculá de cuántas formas se puede hacer.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Todos tienen el mismo rol, así que dos selecciones con las mismas personas en distinto orden son la misma. El orden no importa: es una combinación.

2. Escribimos la fórmula. C10,3=10!3!⋅(10−3)!C_{10,3} = \dfrac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!}

3. Simplificamos antes de calcular. 10⋅9⋅83!=7206=120\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120

4. Interpretamos la división. 720720 es la cantidad de selecciones ordenadas. Cada grupo se contó 3!=63! = 6 veces, una por cada forma de ordenarlo, y por eso hay que dividir.

5. El chequeo de sentido. 120<720120 < 720 siempre: las combinaciones son menos que las variaciones, porque juntan en una sola varias selecciones ordenadas.

Respuesta: Se puede formar de C10,3=120C_{10,3} = 120 formas

10. De 1313 empleados hay que elegir 1010 para una delegación. Calculá el resultado usando la propiedad de simetría de las combinaciones y verificalo con la fórmula directa.

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1. Vemos por qué conviene la simetría. Se piden 1010 de 1313, y 1010 es más de la mitad. Calcular C13,10C_{13,10} directo obliga a manejar un factorial grande en el denominador.

2. Enunciamos la propiedad. Cn,r=Cn, n−rC_{n,r} = C_{n,\,n-r}: elegir quiénes entran es lo mismo que elegir quiénes quedan afuera. Acá quedan afuera 33.

3. Calculamos el caso más corto. C13,3=13⋅12⋅113!=286C_{13,3} = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3!} = 286

4. Verificamos con la fórmula directa. C13,10=13!10!⋅3!=62270208003628800⋅6=286C_{13,10} = \dfrac{13!}{10! \cdot 3!} = \dfrac{6227020800}{3628800 \cdot 6} = 286, el mismo número.

5. Por qué la propiedad es cierta. Cada grupo elegido determina exactamente un grupo de excluidos, y al revés. Es una correspondencia uno a uno, así que las dos cantidades tienen que coincidir.

Respuesta: C13,10=C13,3=286C_{13,10} = C_{13,3} = 286

11. Un curso tiene 66 mujeres y 77 varones. Hay que armar una comisión de 44 personas con exactamente 22 mujeres y 22 varones. Calculá de cuántas formas se puede hacer, y compará con la cantidad de comisiones sin ninguna condición.

Ver solución

1. Separamos en dos elecciones independientes. La condición fija cuántas se eligen de cada grupo, así que se elige dentro de las mujeres por un lado y dentro de los varones por el otro.

2. Contamos las elecciones de mujeres. C6,2=15C_{6,2} = 15. El orden no importa, porque la comisión no tiene roles.

3. Contamos las de varones. C7,2=21C_{7,2} = 21

4. Multiplicamos. Cada elección de mujeres se puede combinar con cualquiera de varones: total=15⋅21=315\text{total} = 15 \cdot 21 = 315.

5. Comparamos con el caso libre. Sin condición serían C13,4=715C_{13,4} = 715 comisiones. La condición deja 315715≈0,4406\dfrac{315}{715} \approx 0{,}4406 del total.

6. El error que hay que evitar. Sumar las dos combinaciones en vez de multiplicarlas. Elegir mujeres y elegir varones son etapas que se hacen las dos, no alternativas.

Respuesta: Hay 15⋅21=31515 \cdot 21 = 315 comisiones posibles, contra 715715 sin condición

12. De 1212 postulantes hay que elegir 44. Calculá cuántas formas hay si los 44 elegidos ocupan cargos distintos y cuántas si forman un grupo sin roles, y explicá por qué una cuenta es múltiplo de la otra.

Ver solución

1. Planteamos la pregunta que decide. Si cambio el orden de lo elegido, ¿cambia el resultado? Con cargos distintos sí cambia; con un grupo sin roles no.

2. Contamos el caso con cargos. Es una variación: V12,4=12⋅11⋅10⋅9=11880V_{12,4} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880.

3. Contamos el caso sin roles. Es una combinación: C12,4=118804!=1188024=495C_{12,4} = \dfrac{11880}{4!} = \dfrac{11880}{24} = 495.

4. Explicamos la razón entre las dos. 11880495=24=4!\dfrac{11880}{495} = 24 = 4!. Cada grupo de 44 personas se puede repartir los cargos de 4!4! maneras, así que a cada combinación le corresponden 2424 variaciones.

5. Verificamos. 495⋅24=11880495 \cdot 24 = 11880, que es la cantidad de selecciones ordenadas.

6. El error típico. Usar combinaciones cuando el orden sí importa. Si los 44 elegidos ocupan cargos distintos, la respuesta es 4!4! veces más grande.

Respuesta: Con cargos distintos 1188011880 y sin roles 495495; la razón entre las dos es 4!=244! = 24

Integradores de Estadística descriptiva y conteo: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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