Ejercicios: Variaciones

1. De un grupo de $9$ socios de un club hay que elegir presidente, secretario y tesorero. Nadie puede ocupar dos cargos. Calculá de cuántas formas se puede hacer.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Los cargos son distintos entre sí, así que no da lo mismo quién ocupa cuál. El orden importa: es una variación.

2. Vemos que no se usan todos. Se eligen $3$ de $9$ , así que no es una permutación: quedan $6$ socios de un club sin cargo.

3. Contamos por etapas. Para el primer cargo hay $9$ candidatos, para el segundo $8$ , y para el tercero $7$ . El producto se corta cuando se llenaron los cargos, no llega hasta $1$ .

4. Aplicamos la fórmula. $V_{9,3} = \dfrac{9!}{(9 - 3)!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$

5. Comparamos con el caso sin orden. Si los $3$ elegidos formaran un grupo sin roles, habría que dividir por $3! = 6$ : quedarían $84$ . La diferencia es exactamente lo que aporta el orden.

Respuesta: Se puede hacer de $V_{9,3} = 504$ formas

2. Un PIN tiene $5$ posiciones y en cada una se puede usar cualquiera de los $10$ dígitos del $0$ al $9$ , con repetición permitida. Calculá cuántas claves distintas hay.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Sí: cambiar el orden de los símbolos da otra clave. Es una variación.

2. Vemos si hay reposición. Un símbolo usado en una posición sigue disponible para las siguientes, así que cada una de las $5$ posiciones tiene siempre las $10$ opciones.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 10^{5} = 100000$

4. Comparamos con el caso sin repetición. Si no se pudiera repetir, serían $V_{10,5} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$ , menos que $100000$ . Permitir repetir siempre agranda la cuenta.

5. Cuándo aplica cada una. Con reposición, potencia. Sin reposición, producto decreciente. Lo decide el enunciado: un dígito de un PIN puede repetirse y un corredor no puede salir primero y tercero a la vez.

Respuesta: Hay $10^{5} = 100000$ claves distintas

3. De una urna con $7$ bolillas numeradas se extraen $2$ , una por vez, y se anota el orden en que salieron. Calculá cuántas secuencias distintas hay si la bolilla se devuelve después de cada extracción, y cuántas si no se devuelve.

Ver solución

1. Vemos qué tienen en común los dos casos. En los dos se anota el orden, así que en los dos se cuentan variaciones. Lo único que cambia es si el elemento vuelve a estar disponible.

2. Contamos con reposición. Cada una de las $2$ extracciones tiene siempre $7$ opciones: $7^{2} = 49$ .

3. Contamos sin reposición. La primera extracción tiene $7$ opciones y cada siguiente una menos: $7 \cdot 6 = 42$ .

4. Comparamos. $49 - 42 = 7$ . Esa diferencia son justamente las secuencias con alguna bolilla repetida, que solo existen en el primer caso.

5. Cómo se reconoce en el enunciado. Si el elemento vuelve al conjunto, hay reposición y la cuenta es una potencia. Si sale y no vuelve, el producto va bajando.

Respuesta: Con reposición hay $49$ secuencias y sin reposición $42$

4. Hallá el valor de $n$ tal que $V_{n,2} = 20$ , sabiendo que $n$ es un entero positivo.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $V_{n,2} = \dfrac{n!}{(n - 2)!} = n \cdot (n - 1)$

2. Planteamos la ecuación. $n \cdot (n - 1) = 20$ , es decir $n^{2} - n - 20 = 0$ .

3. Resolvemos. Las raíces son $n = 5$ y $n = -4$ .

4. Descartamos la que no sirve. $n$ tiene que ser un entero positivo y además mayor o igual que $2$ para que $V_{n,2}$ exista. Queda $n = 5$ .

5. Verificamos. $V_{5,2} = 5 \cdot 4 = 20$ , que es lo pedido.

Respuesta: $n = 5$

5. De un grupo de $11$ corredores hay que elegir primer, segundo y tercer puesto. Nadie puede ocupar dos cargos. Calculá de cuántas formas se puede hacer.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Los cargos son distintos entre sí, así que no da lo mismo quién ocupa cuál. El orden importa: es una variación.

2. Vemos que no se usan todos. Se eligen $3$ de $11$ , así que no es una permutación: quedan $8$ corredores sin cargo.

3. Contamos por etapas. Para el primer cargo hay $11$ candidatos, para el segundo $10$ , y para el tercero $9$ . El producto se corta cuando se llenaron los cargos, no llega hasta $1$ .

4. Aplicamos la fórmula. $V_{11,3} = \dfrac{11!}{(11 - 3)!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$

5. Comparamos con el caso sin orden. Si los $3$ elegidos formaran un grupo sin roles, habría que dividir por $3! = 6$ : quedarían $165$ . La diferencia es exactamente lo que aporta el orden.

Respuesta: Se puede hacer de $V_{11,3} = 990$ formas

6. Una contraseña hexadecimal tiene $4$ posiciones y en cada una se puede usar cualquiera de los $16$ símbolos del $0$ al $F$ , con repetición permitida. Calculá cuántas claves distintas hay.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Sí: cambiar el orden de los símbolos da otra clave. Es una variación.

2. Vemos si hay reposición. Un símbolo usado en una posición sigue disponible para las siguientes, así que cada una de las $4$ posiciones tiene siempre las $16$ opciones.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 16^{4} = 65536$

4. Comparamos con el caso sin repetición. Si no se pudiera repetir, serían $V_{16,4} = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43680$ , menos que $65536$ . Permitir repetir siempre agranda la cuenta.

5. Cuándo aplica cada una. Con reposición, potencia. Sin reposición, producto decreciente. Lo decide el enunciado: un dígito de un PIN puede repetirse y un corredor no puede salir primero y tercero a la vez.

Respuesta: Hay $16^{4} = 65536$ claves distintas

7. De una urna con $6$ bolillas numeradas se extraen $2$ , una por vez, y se anota el orden en que salieron. Calculá cuántas secuencias distintas hay si la bolilla se devuelve después de cada extracción, y cuántas si no se devuelve.

Ver solución

1. Vemos qué tienen en común los dos casos. En los dos se anota el orden, así que en los dos se cuentan variaciones. Lo único que cambia es si el elemento vuelve a estar disponible.

2. Contamos con reposición. Cada una de las $2$ extracciones tiene siempre $6$ opciones: $6^{2} = 36$ .

3. Contamos sin reposición. La primera extracción tiene $6$ opciones y cada siguiente una menos: $6 \cdot 5 = 30$ .

4. Comparamos. $36 - 30 = 6$ . Esa diferencia son justamente las secuencias con alguna bolilla repetida, que solo existen en el primer caso.

5. Cómo se reconoce en el enunciado. Si el elemento vuelve al conjunto, hay reposición y la cuenta es una potencia. Si sale y no vuelve, el producto va bajando.

Respuesta: Con reposición hay $36$ secuencias y sin reposición $30$

8. Hallá el valor de $n$ tal que $V_{n,2} = 42$ , sabiendo que $n$ es un entero positivo.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $V_{n,2} = \dfrac{n!}{(n - 2)!} = n \cdot (n - 1)$

2. Planteamos la ecuación. $n \cdot (n - 1) = 42$ , es decir $n^{2} - n - 42 = 0$ .

3. Resolvemos. Las raíces son $n = 7$ y $n = -6$ .

4. Descartamos la que no sirve. $n$ tiene que ser un entero positivo y además mayor o igual que $2$ para que $V_{n,2}$ exista. Queda $n = 7$ .

5. Verificamos. $V_{7,2} = 7 \cdot 6 = 42$ , que es lo pedido.

Respuesta: $n = 7$

9. De un grupo de $7$ postulantes hay que elegir coordinador, ayudante y suplente. Nadie puede ocupar dos cargos. Calculá de cuántas formas se puede hacer.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Los cargos son distintos entre sí, así que no da lo mismo quién ocupa cuál. El orden importa: es una variación.

2. Vemos que no se usan todos. Se eligen $3$ de $7$ , así que no es una permutación: quedan $4$ postulantes sin cargo.

3. Contamos por etapas. Para el primer cargo hay $7$ candidatos, para el segundo $6$ , y para el tercero $5$ . El producto se corta cuando se llenaron los cargos, no llega hasta $1$ .

4. Aplicamos la fórmula. $V_{7,3} = \dfrac{7!}{(7 - 3)!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$

5. Comparamos con el caso sin orden. Si los $3$ elegidos formaran un grupo sin roles, habría que dividir por $3! = 6$ : quedarían $35$ . La diferencia es exactamente lo que aporta el orden.

Respuesta: Se puede hacer de $V_{7,3} = 210$ formas

10. Un código de colores tiene $5$ posiciones y en cada una se puede usar cualquiera de los $6$ colores disponibles, con repetición permitida. Calculá cuántas claves distintas hay.

Ver solución

1. Decidimos si el orden importa. Sí: cambiar el orden de los símbolos da otra clave. Es una variación.

2. Vemos si hay reposición. Un símbolo usado en una posición sigue disponible para las siguientes, así que cada una de las $5$ posiciones tiene siempre las $6$ opciones.

3. Multiplicamos. $\text{total} = 6^{5} = 7776$

4. Comparamos con el caso sin repetición. Si no se pudiera repetir, serían $V_{6,5} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ , menos que $7776$ . Permitir repetir siempre agranda la cuenta.

5. Cuándo aplica cada una. Con reposición, potencia. Sin reposición, producto decreciente. Lo decide el enunciado: un dígito de un PIN puede repetirse y un corredor no puede salir primero y tercero a la vez.

Respuesta: Hay $6^{5} = 7776$ claves distintas

11. De una urna con $6$ bolillas numeradas se extraen $3$ , una por vez, y se anota el orden en que salieron. Calculá cuántas secuencias distintas hay si la bolilla se devuelve después de cada extracción, y cuántas si no se devuelve.

Ver solución

1. Vemos qué tienen en común los dos casos. En los dos se anota el orden, así que en los dos se cuentan variaciones. Lo único que cambia es si el elemento vuelve a estar disponible.

2. Contamos con reposición. Cada una de las $3$ extracciones tiene siempre $6$ opciones: $6^{3} = 216$ .

3. Contamos sin reposición. La primera extracción tiene $6$ opciones y cada siguiente una menos: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .

4. Comparamos. $216 - 120 = 96$ . Esa diferencia son justamente las secuencias con alguna bolilla repetida, que solo existen en el primer caso.

5. Cómo se reconoce en el enunciado. Si el elemento vuelve al conjunto, hay reposición y la cuenta es una potencia. Si sale y no vuelve, el producto va bajando.

Respuesta: Con reposición hay $216$ secuencias y sin reposición $120$

12. Hallá el valor de $n$ tal que $V_{n,2} = 110$ , sabiendo que $n$ es un entero positivo.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $V_{n,2} = \dfrac{n!}{(n - 2)!} = n \cdot (n - 1)$

2. Planteamos la ecuación. $n \cdot (n - 1) = 110$ , es decir $n^{2} - n - 110 = 0$ .

3. Resolvemos. Las raíces son $n = 11$ y $n = -10$ .

4. Descartamos la que no sirve. $n$ tiene que ser un entero positivo y además mayor o igual que $2$ para que $V_{n,2}$ exista. Queda $n = 11$ .

5. Verificamos. $V_{11,2} = 11 \cdot 10 = 110$ , que es lo pedido.

Respuesta: $n = 11$