La función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada da la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que un número dado.

Es el equivalente de las frecuencias acumuladas del primer volumen, pero con probabilidades en lugar de conteos.

Su gran ventaja es que sirve igual para variables discretas y continuas, con la misma definición. Es el concepto que unifica los dos casos.

Tiene tres propiedades que valen siempre. Nunca decrece, porque acumular no puede restar. Tiende a cero hacia la izquierda y a uno hacia la derecha.

Para variables discretas es una función escalonada: se mantiene constante entre valores y salta en cada valor posible. La altura de cada salto es la probabilidad de ese valor.

Su utilidad práctica es calcular probabilidades de intervalos: la probabilidad de que la variable esté entre dos valores es la diferencia de la acumulada en esos puntos.

En el caso discreto hay que tener cuidado con los extremos, porque la función salta justo ahí.

F(x) = P(X \leq x)

P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la probabilidad de un intervalo: restá los valores de la acumulada. En variables discretas, fijate bien si el extremo está incluido.

Ejemplo 1

Con las caras en tres monedas, calcular $F(1) y F(2)$ .

Sumamos las probabilidades hasta $1$ . $F(1) = 0{,}125 + 0{,}375 = 0{,}5$ .
Le sumamos la del $2$ . $F(2) = 0{,}5 + 0{,}375 = 0{,}875$ .
Controlamos el final. $F(3) = 0{,}875 + 0{,}125 = 1$ , que es lo que tiene que dar en el último valor.
Respuesta: $F(1) = 0{,}5$ y $F(2) = 0{,}875$

Ejemplo 2

Con la misma variable, calcular la probabilidad de que salgan más de una cara y la de que salgan menos de dos.

Traducimos la primera. «Más de una» es $1 - F(1)$ , que da $1 - 0{,}5 = 0{,}5$ .
Traducimos la segunda. «Menos de dos» es $F(1)$ porque los valores son enteros: da $0{,}5$ .
Notamos la coincidencia. Las dos dan $0{,}5$ porque la distribución es simétrica, no porque las preguntas sean iguales.
Respuesta: Las dos valen $0{,}5$

Error típico

Leer la acumulada en el punto del salto tomando el valor de abajo. En x igual $a 2$ la función ya vale lo de arriba, porque F incluye al valor.

Practicar

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