Marginales e independencia

Las distribuciones marginales son las de cada variable por separado, obtenidas a partir de la conjunta.

En una tabla se calculan sumando cada fila o cada columna. El nombre viene de que los resultados quedan escritos en los márgenes de la tabla.

En el caso continuo se obtienen integrando la densidad conjunta respecto de la otra variable.

Las condicionales salen de tomar una fila o columna y dividir por su total. Describen cómo se comporta una variable cuando ya se sabe el valor de la otra.

Dos variables son independientes cuando la probabilidad conjunta es el producto de las marginales para todos los pares de valores.

Esa verificación hay que hacerla en todos los casilleros. Alcanza con que falle en uno solo para que no sean independientes, y que coincida en uno no prueba nada.

Un detalle importante: las marginales no determinan la conjunta. Dos distribuciones conjuntas distintas pueden tener exactamente las mismas marginales, así que no se puede reconstruir la tabla a partir de los márgenes.

independientes:

p(x, y) = p(x) \cdot p(y)

para TODO par

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide las distribuciones individuales o verificar independencia. Sumá filas y columnas para las marginales, y chequeá el producto en todos los casilleros.

Ejemplo 1

Con la conjunta de $0{,}10, 0{,}20, 0{,}10$ y $0{,}15, 0{,}25, 0{,}20$ , calcular las marginales de X.

Sumamos cada columna sobre las dos filas. $0{,}10 + 0{,}15 = 0{,}25$ para el primer valor.
Repetimos con las otras dos. $0{,}20 + 0{,}25 = 0{,}45$ y $0{,}10 + 0{,}20 = 0{,}30$ .
Controlamos. $0{,}25 + 0{,}45 + 0{,}30 = 1$ , como tiene que dar cualquier distribución.
Respuesta: $0{,}25$ , $0{,}45$ y $0{,}30$

Ejemplo 2

Con la misma tabla, determinar si X e Y son independientes.

Elegimos una celda para probar. La del cruce de $x = 1$ con $y = 0$ vale $0{,}20$ .
Calculamos el producto de sus marginales. $0{,}45 \cdot 0{,}40 = 0{,}18$ .
Comparamos y concluimos. $0{,}20$ no es $0{,}18$ , así que no son independientes. Con una celda que falle alcanza.
Respuesta: No son independientes

Error típico

Concluir que hay independencia después de verificar una sola celda. Que coincida en un par de valores no dice nada; tiene que coincidir en todos.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .