Método

Ejercicios: Marginales e independencia

independientes: p(x,y)=p(x)⋅p(y)p(x, y) = p(x) \cdot p(y) para TODO par

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Dos variables discretas tienen conjunta p(0;0)=0,1724p(0; 0) = 0{,}1724 · p(0;1)=0,0345p(0; 1) = 0{,}0345 · p(0;3)=0,1379p(0; 3) = 0{,}1379 · p(1;0)=0,2759p(1; 0) = 0{,}2759 · p(1;1)=0,1379p(1; 1) = 0{,}1379 · p(1;3)=0,2414p(1; 3) = 0{,}2414. Calculá las distribuciones marginales de XX y de YY.

Ver solución

1. Escribimos cómo se obtiene una marginal. Se suma la conjunta sobre todos los valores de la otra variable: en la tabla, por filas o por columnas. El nombre viene de que los resultados quedan escritos en los márgenes.

2. Sumamos las filas para la marginal de XX. pX(0)=0,1724+0,0345+0,1379=0,3448p_X(0) = 0{,}1724 + 0{,}0345 + 0{,}1379 = 0{,}3448 · pX(1)=0,2759+0,1379+0,2414=0,6552p_X(1) = 0{,}2759 + 0{,}1379 + 0{,}2414 = 0{,}6552

3. Sumamos las columnas para la marginal de YY. pY(0)=0,4483p_Y(0) = 0{,}4483 · pY(1)=0,1724p_Y(1) = 0{,}1724 · pY(3)=0,3793p_Y(3) = 0{,}3793

4. Verificamos las dos. ∑pX=1\sum p_X = 1 y ∑pY=1\sum p_Y = 1: las dos marginales tienen que sumar uno por separado, porque cada una es una distribución completa.

5. Qué se pierde al marginalizar. La información sobre cómo se relacionan las dos variables. Dos conjuntas distintas pueden tener exactamente las mismas marginales.

Respuesta: Marginal de XX: 0,34480{,}3448; 0,65520{,}6552. Marginal de YY: 0,44830{,}4483; 0,17240{,}1724; 0,37930{,}3793

2. Dos variables discretas tienen conjunta p(0;0)=0,0417p(0; 0) = 0{,}0417 · p(0;3)=0,125p(0; 3) = 0{,}125 · p(0;4)=0,1667p(0; 4) = 0{,}1667 · p(3;0)=0,1667p(3; 0) = 0{,}1667 · p(3;3)=0,2917p(3; 3) = 0{,}2917 · p(3;4)=0,2083p(3; 4) = 0{,}2083. Decidí si XX e YY son independientes.

Ver solución

1. Escribimos la condición. XX e YY son independientes si p(x;y)=pX(x)⋅pY(y)p(x; y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) para TODO par de valores, sin excepción.

2. Calculamos las marginales. pXp_X: 0,33330{,}3333; 0,66670{,}6667. pYp_Y: 0,20830{,}2083; 0,41670{,}4167; 0,3750{,}375.

3. Buscamos un contraejemplo. Para probar dependencia alcanza con una celda que falle, así que conviene buscar esa celda en vez de verificar las seis.

4. Encontramos la celda que falla. p(0;0)=0,0417p(0; 0) = 0{,}0417, pero pX(0)⋅pY(0)=0,3333⋅0,2083≈0,0694p_X(0) \cdot p_Y(0) = 0{,}3333 \cdot 0{,}2083 \approx 0{,}0694. No coinciden.

5. Concluimos. No son independientes. Con una sola celda que falle alcanza.

6. La asimetría del problema. Para probar dependencia basta un contraejemplo. Para probar independencia hay que verificar todas las celdas, y por eso siempre conviene empezar buscando el contraejemplo.

Respuesta: No son independientes: p(0;0)=0,0417p(0; 0) = 0{,}0417 y el producto de las marginales da 0,06940{,}0694

3. Dos variables discretas tienen marginales pX(0)=0,6p_X(0) = 0{,}6, pX(1)=0,4p_X(1) = 0{,}4, pY(0)=0,3p_Y(0) = 0{,}3 y pY(3)=0,7p_Y(3) = 0{,}7. Construí la conjunta que tendrían si fueran independientes y verificá que sea válida.

Ver solución

1. Usamos la condición de independencia como fórmula de construcción. Si son independientes, p(x;y)=pX(x)⋅pY(y)p(x; y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) en cada celda.

2. Calculamos las cuatro celdas. p(0;0)=0,6⋅0,3=0,18p(0; 0) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18 · p(0;3)=0,6⋅0,7=0,42p(0; 3) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42 · p(1;0)=0,4⋅0,3=0,12p(1; 0) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12 · p(1;3)=0,4⋅0,7=0,28p(1; 3) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28

3. Verificamos que sume uno. 0,18+0,42+0,12+0,28=10{,}18 + 0{,}42 + 0{,}12 + 0{,}28 = 1

4. Verificamos que las marginales se recuperen. Sumando la primera fila: 0,18+0,42=0,60{,}18 + 0{,}42 = 0{,}6, que es pX(0)p_X(0). Construida así, la tabla devuelve las marginales de partida.

5. Lo que muestra la construcción. Las marginales no determinan la conjunta. Esta es la única conjunta compatible con la independencia, pero hay infinitas conjuntas distintas con estas mismas marginales.

Respuesta: p(0;0)=0,18p(0; 0) = 0{,}18 · p(0;3)=0,42p(0; 3) = 0{,}42 · p(1;0)=0,12p(1; 0) = 0{,}12 · p(1;3)=0,28p(1; 3) = 0{,}28

4. Dos variables discretas tienen conjunta p(0;1)=0,1304p(0; 1) = 0{,}1304 · p(0;2)=0,2609p(0; 2) = 0{,}2609 · p(0;4)=0,087p(0; 4) = 0{,}087 · p(3;1)=0,2609p(3; 1) = 0{,}2609 · p(3;2)=0,1304p(3; 2) = 0{,}1304 · p(3;4)=0,1304p(3; 4) = 0{,}1304. Calculá E(X)E(X) y E(Y)E(Y).

Ver solución

1. Vemos qué hace falta. La esperanza de cada variable se calcula con su distribución marginal, así que primero hay que obtenerlas.

2. Calculamos las marginales. pXp_X: pX(0)=0,4783p_X(0) = 0{,}4783; pX(3)=0,5217p_X(3) = 0{,}5217. pYp_Y: pY(1)=0,3913p_Y(1) = 0{,}3913; pY(2)=0,3913p_Y(2) = 0{,}3913; pY(4)=0,2174p_Y(4) = 0{,}2174.

3. Calculamos la esperanza de XX. E(X)=0⋅0,4783+3⋅0,5217≈1,5652E(X) = 0 \cdot 0{,}4783 + 3 \cdot 0{,}5217 \approx 1{,}5652

4. Calculamos la esperanza de YY. E(Y)=1⋅0,3913+2⋅0,3913+4⋅0,2174=2,0435E(Y) = 1 \cdot 0{,}3913 + 2 \cdot 0{,}3913 + 4 \cdot 0{,}2174 = 2{,}0435

5. Verificamos con la conjunta. Calculando E(X)E(X) directamente sobre las seis celdas se obtiene el mismo 1,56521{,}5652: sumar primero por filas o multiplicar celda por celda da lo mismo.

6. Para qué sirven estos dos números. Junto con E(XY)E(XY) dan la covarianza, que es lo que mide si las dos variables se mueven juntas.

Respuesta: E(X)=1,5652E(X) = 1{,}5652 y E(Y)=2,0435E(Y) = 2{,}0435

5. Dos variables discretas tienen conjunta p(2;0)=0,1304p(2; 0) = 0{,}1304 · p(2;3)=0,0435p(2; 3) = 0{,}0435 · p(2;4)=0,2174p(2; 4) = 0{,}2174 · p(4;0)=0,2174p(4; 0) = 0{,}2174 · p(4;3)=0,2609p(4; 3) = 0{,}2609 · p(4;4)=0,1304p(4; 4) = 0{,}1304. Calculá las distribuciones marginales de XX y de YY.

Ver solución

1. Escribimos cómo se obtiene una marginal. Se suma la conjunta sobre todos los valores de la otra variable: en la tabla, por filas o por columnas. El nombre viene de que los resultados quedan escritos en los márgenes.

2. Sumamos las filas para la marginal de XX. pX(2)=0,1304+0,0435+0,2174=0,3913p_X(2) = 0{,}1304 + 0{,}0435 + 0{,}2174 = 0{,}3913 · pX(4)=0,2174+0,2609+0,1304=0,6087p_X(4) = 0{,}2174 + 0{,}2609 + 0{,}1304 = 0{,}6087

3. Sumamos las columnas para la marginal de YY. pY(0)=0,3478p_Y(0) = 0{,}3478 · pY(3)=0,3043p_Y(3) = 0{,}3043 · pY(4)=0,3478p_Y(4) = 0{,}3478

4. Verificamos las dos. ∑pX=1\sum p_X = 1 y ∑pY=1\sum p_Y = 1: las dos marginales tienen que sumar uno por separado, porque cada una es una distribución completa.

5. Qué se pierde al marginalizar. La información sobre cómo se relacionan las dos variables. Dos conjuntas distintas pueden tener exactamente las mismas marginales.

Respuesta: Marginal de XX: 0,39130{,}3913; 0,60870{,}6087. Marginal de YY: 0,34780{,}3478; 0,30430{,}3043; 0,34780{,}3478

6. Dos variables discretas tienen conjunta p(1;0)=0,2667p(1; 0) = 0{,}2667 · p(1;3)=0,1333p(1; 3) = 0{,}1333 · p(1;4)=0,0667p(1; 4) = 0{,}0667 · p(4;0)=0,1667p(4; 0) = 0{,}1667 · p(4;3)=0,2333p(4; 3) = 0{,}2333 · p(4;4)=0,1333p(4; 4) = 0{,}1333. Decidí si XX e YY son independientes.

Ver solución

1. Escribimos la condición. XX e YY son independientes si p(x;y)=pX(x)⋅pY(y)p(x; y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) para TODO par de valores, sin excepción.

2. Calculamos las marginales. pXp_X: 0,46670{,}4667; 0,53330{,}5333. pYp_Y: 0,43330{,}4333; 0,36670{,}3667; 0,20{,}2.

3. Buscamos un contraejemplo. Para probar dependencia alcanza con una celda que falle, así que conviene buscar esa celda en vez de verificar las seis.

4. Encontramos la celda que falla. p(1;0)=0,2667p(1; 0) = 0{,}2667, pero pX(1)⋅pY(0)=0,4667⋅0,4333≈0,2022p_X(1) \cdot p_Y(0) = 0{,}4667 \cdot 0{,}4333 \approx 0{,}2022. No coinciden.

5. Concluimos. No son independientes. Con una sola celda que falle alcanza.

6. La asimetría del problema. Para probar dependencia basta un contraejemplo. Para probar independencia hay que verificar todas las celdas, y por eso siempre conviene empezar buscando el contraejemplo.

Respuesta: No son independientes: p(1;0)=0,2667p(1; 0) = 0{,}2667 y el producto de las marginales da 0,20220{,}2022

7. Dos variables discretas tienen marginales pX(0)=0,6p_X(0) = 0{,}6, pX(1)=0,4p_X(1) = 0{,}4, pY(1)=0,2p_Y(1) = 0{,}2 y pY(2)=0,8p_Y(2) = 0{,}8. Construí la conjunta que tendrían si fueran independientes y verificá que sea válida.

Ver solución

1. Usamos la condición de independencia como fórmula de construcción. Si son independientes, p(x;y)=pX(x)⋅pY(y)p(x; y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) en cada celda.

2. Calculamos las cuatro celdas. p(0;1)=0,6⋅0,2=0,12p(0; 1) = 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12 · p(0;2)=0,6⋅0,8=0,48p(0; 2) = 0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}48 · p(1;1)=0,4⋅0,2=0,08p(1; 1) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 · p(1;2)=0,4⋅0,8=0,32p(1; 2) = 0{,}4 \cdot 0{,}8 = 0{,}32

3. Verificamos que sume uno. 0,12+0,48+0,08+0,32=10{,}12 + 0{,}48 + 0{,}08 + 0{,}32 = 1

4. Verificamos que las marginales se recuperen. Sumando la primera fila: 0,12+0,48=0,60{,}12 + 0{,}48 = 0{,}6, que es pX(0)p_X(0). Construida así, la tabla devuelve las marginales de partida.

5. Lo que muestra la construcción. Las marginales no determinan la conjunta. Esta es la única conjunta compatible con la independencia, pero hay infinitas conjuntas distintas con estas mismas marginales.

Respuesta: p(0;1)=0,12p(0; 1) = 0{,}12 · p(0;2)=0,48p(0; 2) = 0{,}48 · p(1;1)=0,08p(1; 1) = 0{,}08 · p(1;2)=0,32p(1; 2) = 0{,}32

8. Dos variables discretas tienen conjunta p(0;0)=0,2917p(0; 0) = 0{,}2917 · p(0;2)=0,25p(0; 2) = 0{,}25 · p(0;4)=0,0417p(0; 4) = 0{,}0417 · p(3;0)=0,0833p(3; 0) = 0{,}0833 · p(3;2)=0,2083p(3; 2) = 0{,}2083 · p(3;4)=0,125p(3; 4) = 0{,}125. Calculá E(X)E(X) y E(Y)E(Y).

Ver solución

1. Vemos qué hace falta. La esperanza de cada variable se calcula con su distribución marginal, así que primero hay que obtenerlas.

2. Calculamos las marginales. pXp_X: pX(0)=0,5833p_X(0) = 0{,}5833; pX(3)=0,4167p_X(3) = 0{,}4167. pYp_Y: pY(0)=0,375p_Y(0) = 0{,}375; pY(2)=0,4583p_Y(2) = 0{,}4583; pY(4)=0,1667p_Y(4) = 0{,}1667.

3. Calculamos la esperanza de XX. E(X)=0⋅0,5833+3⋅0,4167≈1,25E(X) = 0 \cdot 0{,}5833 + 3 \cdot 0{,}4167 \approx 1{,}25

4. Calculamos la esperanza de YY. E(Y)=0⋅0,375+2⋅0,4583+4⋅0,1667≈1,5833E(Y) = 0 \cdot 0{,}375 + 2 \cdot 0{,}4583 + 4 \cdot 0{,}1667 \approx 1{,}5833

5. Verificamos con la conjunta. Calculando E(X)E(X) directamente sobre las seis celdas se obtiene el mismo 1,251{,}25: sumar primero por filas o multiplicar celda por celda da lo mismo.

6. Para qué sirven estos dos números. Junto con E(XY)E(XY) dan la covarianza, que es lo que mide si las dos variables se mueven juntas.

Respuesta: E(X)=1,25E(X) = 1{,}25 y E(Y)=1,5833E(Y) = 1{,}5833

9. Dos variables discretas tienen conjunta p(3;1)=0,1364p(3; 1) = 0{,}1364 · p(3;2)=0,0455p(3; 2) = 0{,}0455 · p(3;3)=0,1818p(3; 3) = 0{,}1818 · p(4;1)=0,2273p(4; 1) = 0{,}2273 · p(4;2)=0,2273p(4; 2) = 0{,}2273 · p(4;3)=0,1818p(4; 3) = 0{,}1818. Calculá las distribuciones marginales de XX y de YY.

Ver solución

1. Escribimos cómo se obtiene una marginal. Se suma la conjunta sobre todos los valores de la otra variable: en la tabla, por filas o por columnas. El nombre viene de que los resultados quedan escritos en los márgenes.

2. Sumamos las filas para la marginal de XX. pX(3)=0,1364+0,0455+0,1818≈0,3636p_X(3) = 0{,}1364 + 0{,}0455 + 0{,}1818 \approx 0{,}3636 · pX(4)=0,2273+0,2273+0,1818=0,6364p_X(4) = 0{,}2273 + 0{,}2273 + 0{,}1818 = 0{,}6364

3. Sumamos las columnas para la marginal de YY. pY(1)=0,3636p_Y(1) = 0{,}3636 · pY(2)=0,2727p_Y(2) = 0{,}2727 · pY(3)=0,3636p_Y(3) = 0{,}3636

4. Verificamos las dos. ∑pX=1\sum p_X = 1 y ∑pY=1\sum p_Y = 1: las dos marginales tienen que sumar uno por separado, porque cada una es una distribución completa.

5. Qué se pierde al marginalizar. La información sobre cómo se relacionan las dos variables. Dos conjuntas distintas pueden tener exactamente las mismas marginales.

Respuesta: Marginal de XX: 0,36360{,}3636; 0,63640{,}6364. Marginal de YY: 0,36360{,}3636; 0,27270{,}2727; 0,36360{,}3636

10. Dos variables discretas tienen conjunta p(2;0)=0,1154p(2; 0) = 0{,}1154 · p(2;3)=0,1538p(2; 3) = 0{,}1538 · p(2;4)=0,3077p(2; 4) = 0{,}3077 · p(4;0)=0,1154p(4; 0) = 0{,}1154 · p(4;3)=0,2308p(4; 3) = 0{,}2308 · p(4;4)=0,0769p(4; 4) = 0{,}0769. Decidí si XX e YY son independientes.

Ver solución

1. Escribimos la condición. XX e YY son independientes si p(x;y)=pX(x)⋅pY(y)p(x; y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) para TODO par de valores, sin excepción.

2. Calculamos las marginales. pXp_X: 0,57690{,}5769; 0,42310{,}4231. pYp_Y: 0,23080{,}2308; 0,38460{,}3846; 0,38460{,}3846.

3. Buscamos un contraejemplo. Para probar dependencia alcanza con una celda que falle, así que conviene buscar esa celda en vez de verificar las seis.

4. Encontramos la celda que falla. p(2;0)=0,1154p(2; 0) = 0{,}1154, pero pX(2)⋅pY(0)=0,5769⋅0,2308≈0,1331p_X(2) \cdot p_Y(0) = 0{,}5769 \cdot 0{,}2308 \approx 0{,}1331. No coinciden.

5. Concluimos. No son independientes. Con una sola celda que falle alcanza.

6. La asimetría del problema. Para probar dependencia basta un contraejemplo. Para probar independencia hay que verificar todas las celdas, y por eso siempre conviene empezar buscando el contraejemplo.

Respuesta: No son independientes: p(2;0)=0,1154p(2; 0) = 0{,}1154 y el producto de las marginales da 0,13310{,}1331

11. Dos variables discretas tienen marginales pX(0)=0,5p_X(0) = 0{,}5, pX(2)=0,5p_X(2) = 0{,}5, pY(1)=0,5p_Y(1) = 0{,}5 y pY(2)=0,5p_Y(2) = 0{,}5. Construí la conjunta que tendrían si fueran independientes y verificá que sea válida.

Ver solución

1. Usamos la condición de independencia como fórmula de construcción. Si son independientes, p(x;y)=pX(x)⋅pY(y)p(x; y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) en cada celda.

2. Calculamos las cuatro celdas. p(0;1)=0,5⋅0,5=0,25p(0; 1) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 · p(0;2)=0,5⋅0,5=0,25p(0; 2) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 · p(2;1)=0,5⋅0,5=0,25p(2; 1) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 · p(2;2)=0,5⋅0,5=0,25p(2; 2) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25

3. Verificamos que sume uno. 0,25+0,25+0,25+0,25=10{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 = 1

4. Verificamos que las marginales se recuperen. Sumando la primera fila: 0,25+0,25=0,50{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5, que es pX(0)p_X(0). Construida así, la tabla devuelve las marginales de partida.

5. Lo que muestra la construcción. Las marginales no determinan la conjunta. Esta es la única conjunta compatible con la independencia, pero hay infinitas conjuntas distintas con estas mismas marginales.

Respuesta: p(0;1)=0,25p(0; 1) = 0{,}25 · p(0;2)=0,25p(0; 2) = 0{,}25 · p(2;1)=0,25p(2; 1) = 0{,}25 · p(2;2)=0,25p(2; 2) = 0{,}25

12. Dos variables discretas tienen conjunta p(1;0)=0,1p(1; 0) = 0{,}1 · p(1;2)=0,2667p(1; 2) = 0{,}2667 · p(1;4)=0,2333p(1; 4) = 0{,}2333 · p(3;0)=0,1333p(3; 0) = 0{,}1333 · p(3;2)=0,0667p(3; 2) = 0{,}0667 · p(3;4)=0,2p(3; 4) = 0{,}2. Calculá E(X)E(X) y E(Y)E(Y).

Ver solución

1. Vemos qué hace falta. La esperanza de cada variable se calcula con su distribución marginal, así que primero hay que obtenerlas.

2. Calculamos las marginales. pXp_X: pX(1)=0,6p_X(1) = 0{,}6; pX(3)=0,4p_X(3) = 0{,}4. pYp_Y: pY(0)=0,2333p_Y(0) = 0{,}2333; pY(2)=0,3333p_Y(2) = 0{,}3333; pY(4)=0,4333p_Y(4) = 0{,}4333.

3. Calculamos la esperanza de XX. E(X)=1⋅0,6+3⋅0,4=1,8E(X) = 1 \cdot 0{,}6 + 3 \cdot 0{,}4 = 1{,}8

4. Calculamos la esperanza de YY. E(Y)=0⋅0,2333+2⋅0,3333+4⋅0,4333≈2,4E(Y) = 0 \cdot 0{,}2333 + 2 \cdot 0{,}3333 + 4 \cdot 0{,}4333 \approx 2{,}4

5. Verificamos con la conjunta. Calculando E(X)E(X) directamente sobre las seis celdas se obtiene el mismo 1,81{,}8: sumar primero por filas o multiplicar celda por celda da lo mismo.

6. Para qué sirven estos dos números. Junto con E(XY)E(XY) dan la covarianza, que es lo que mide si las dos variables se mueven juntas.

Respuesta: E(X)=1,8E(X) = 1{,}8 y E(Y)=2,4E(Y) = 2{,}4

Integradores de Variables aleatorias: practicá este tema junto con el resto de la unidad

← Distribución conjuntaCovarianza →

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .