La uniforme y la exponencial

Son las dos distribuciones continuas más simples y las que más aparecen antes de la normal.

La uniforme reparte la misma densidad a todos los valores de un intervalo. Su gráfico es un rectángulo, y la altura es el inverso del ancho, para que el área valga uno.

Como la densidad es constante, calcular probabilidades es calcular áreas de rectángulos: la probabilidad de caer en un subintervalo es la proporción que ese tramo representa del total, sin integrar.

Su esperanza es el punto medio del intervalo, por simetría, y su varianza depende solo del ancho elevado al cuadrado y dividido por doce.

La exponencial modela el tiempo de espera hasta que ocurre un evento, cuando los eventos ocurren según una Poisson. Esa conexión es importante: si la cantidad de eventos por hora es Poisson, el tiempo entre eventos es exponencial.

Su esperanza es el inverso de la tasa, y su desvío coincide con la esperanza.

Tiene falta de memoria igual que la geométrica: la probabilidad de esperar diez minutos más no depende de cuánto ya se esperó. Por eso modela componentes que no se desgastan.

uniforme:

E = (a + b) / 2

· exponencial:

E = 1 / \lambda

Cuándo se usa

Uniforme cuando todos los valores del intervalo son igualmente probables. Exponencial cuando se mide el tiempo hasta que ocurre algo. La acumulada de la exponencial tiene forma cerrada, así que no hace falta integrar.

Ejemplo 1

Un colectivo pasa cada $12$ minutos y alguien llega en un momento al azar. Calcular la probabilidad de esperar menos de $4$ minutos y la espera media.

Identificamos el modelo. La espera es uniforme entre $0$ y $12$ .
Calculamos la probabilidad como cociente de largos. $4 / 12 = 1/3 \approx 0{,}333$ .
Calculamos la esperanza. $E = (0 + 12) / 2 = 6$ minutos.
Respuesta: $P = 1/3$ y $E = 6$

Ejemplo 2

A un local llegan $3$ clientes por hora. Calcular la probabilidad de que pase menos de $15$ minutos hasta el próximo.

Identificamos el modelo y la tasa. El tiempo entre llegadas es exponencial con $\lambda = 3$ por hora.
Llevamos el tiempo a las mismas unidades. Quince minutos es $0{,}25$ horas.
Aplicamos la acumulada. $F(0{,}25) = 1 - e^{{,}75} \approx 0{,}5276$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}5276$

Error típico

Confundir la tasa con la espera media. Si la tasa es $3$ por hora, lambda vale $3 y$ la espera media es un tercio de hora, no tres horas.

Practicar

← Esperanza y varianza de una continua Distribución conjunta →

Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .