La desigualdad de Chebyshev

Chebyshev acota cuánta probabilidad puede haber lejos de la media, sin necesidad de conocer la distribución.

Dice que la proporción de valores que se alejan de la media más de cierta cantidad de desvíos estándar está acotada por el inverso del cuadrado de esa cantidad.

Su valor está en la generalidad: vale para cualquier distribución, sin importar su forma. Solo necesita la media y el desvío.

Con dos desvíos, la cota dice que a lo sumo un cuarto de los valores queda afuera, o sea que al menos tres cuartos quedan adentro. Con tres desvíos, al menos ocho novenos quedan adentro.

El precio de esa generalidad es que la cota es muy holgada. Para una distribución normal, dentro de dos desvíos hay en realidad el noventa y cinco por ciento de los valores, mucho más que el setenta y cinco que garantiza Chebyshev.

Por eso Chebyshev se usa cuando no se conoce la distribución. Cuando se sabe que es normal, conviene usar la tabla, que da valores exactos.

La desigualdad no sirve para menos de un desvío, porque ahí la cota da un número mayor que uno y no informa nada.

P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^{2}}

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da solo la media y el desvío, sin decir qué distribución es. Si aclara que es normal, usá la tabla: da resultados mucho más precisos.

Ejemplo 1

Acotar la proporción de datos que se alejan más de $2$ desvíos del promedio.

Identificamos el valor de $k$ . Es $2$ .
Aplicamos la desigualdad. La cota es $\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$ .
Interpretamos. Como mucho el $25$ por ciento de los datos queda a más de dos desvíos.
Sacamos la conclusión complementaria. Al menos el $75$ por ciento está adentro.
Respuesta: a lo sumo el $25$ por ciento

Ejemplo 2

Una variable tiene media $50$ y desvío $5$ . Acotar la proporción de datos fuera del intervalo de $35$ a $65$ .

Medimos cuántos desvíos hay hasta cada extremo. La distancia es $15$ y cada desvío vale $5$ , así que $k = 3$ .
Aplicamos la desigualdad. La cota es $\frac{1}{9}$ .
Pasamos a porcentaje. Es aproximadamente el $11$ por ciento.
Respuesta: a lo sumo el $11$ por ciento queda afuera

Error típico

Leer la cota como un valor exacto. Chebyshev da un máximo: la proporción real casi siempre es mucho menor.

Practicar

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