Ejercicios: Aproximación de la binomial por la normal

1. En una binomial con $n = 120$ intentos y probabilidad $0{,}5$ de que salga defectuosa en cada uno, verificá si se puede aproximar por una normal y dá los parámetros de la normal aproximante.

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1. Escribimos la condición práctica. La aproximación sirve si $n p \geq 5$ y $n (1 - p) \geq 5$ . Las dos, no una sola.

2. Verificamos la primera. $n p = 120 \cdot 0{,}5 = 60$ , que supera a $5$ .

3. Verificamos la segunda. $n (1 - p) = 120 \cdot 0{,}5 = 60$ , que también supera a $5$ .

4. Copiamos los parámetros de la binomial. $\mu = n p = 60$ y $\sigma = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{30} \approx 5{,}4772$ .

5. Escribimos la aproximación. La binomial se aproxima por una normal de media $60$ y desvío $5{,}4772$ .

6. Qué pasa si la condición falla. Con $np$ o $nq$ chicos la binomial queda muy asimétrica y la campana no la representa bien. Ahí hay que calcular con la binomial exacta.

Respuesta: Se cumple la condición: la normal aproximante tiene $\mu = 60$ y $\sigma = 5{,}4772$

2. De $220$ tiros libres independientes, la probabilidad de que entre en cada uno es $0{,}3$ . Calculá la probabilidad de que a lo sumo $61$ casos cumplan la condición, usando la aproximación normal con corrección de continuidad.

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1. Verificamos las condiciones y hallamos los parámetros. $np = 66$ y $n(1-p) = 154$ , los dos mayores que $5$ . $\mu = 66$ y $\sigma = \sqrt{46{,}2} \approx 6{,}7971$ .

2. Aplicamos la corrección de continuidad. La binomial es discreta y la normal continua. Para $P(X \leq 61)$ hay que tomar hasta $61 + 0{,}5$ , porque la barra del valor $61$ ocupa desde $61 - 0{,}5$ hasta $61 + 0{,}5$ .

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{61 + 0{,}5 - 66}{6{,}7971} = \dfrac{-4{,}5}{6{,}7971} \approx -0{,}6621$

4. Buscamos en la tabla. $P(X \leq 61) \approx P(Z \leq -0{,}6621) = 0{,}254$

5. Comparamos con el valor exacto. La binomial exacta da $0{,}2558$ : la diferencia con la aproximación es de $0{,}0018$ .

6. Por qué no se saltea la corrección. Sin ella el resultado sale sistemáticamente corrido, y el error se nota justo en el segundo decimal, que suele ser el que se pide.

Respuesta: $P(X \leq 61) \approx 0{,}254$

3. De $90$ clientes contactados con probabilidad $0{,}3$ de que acepte la oferta, se quiere $P(X \leq 23)$ . Calculala con la aproximación normal con y sin corrección de continuidad, y comparalas con el valor exacto.

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1. Hallamos los parámetros de la normal aproximante. $\mu = 27$ y $\sigma = 4{,}3474$ .

2. Calculamos sin corrección. $z = \dfrac{23 - 27}{4{,}3474} \approx -0{,}9201$ , y $P(Z \leq -0{,}9201) = 0{,}1788$ .

3. Calculamos con corrección. $z = \dfrac{23 + 0{,}5 - 27}{4{,}3474} \approx -0{,}8051$ , y $P(Z \leq -0{,}8051) = 0{,}2104$ .

4. Calculamos el valor exacto con la binomial. $P(X \leq 23) = 0{,}212$

5. Comparamos los errores. Sin corrección el error es $0{,}0333$ y con corrección $0{,}0016$ .

6. Por qué la corrección mejora. La normal reparte la probabilidad de forma continua y la binomial la concentra en barras. Tomar hasta $23 + 0{,}5$ incluye la barra entera del valor $23$ , que es lo que la pregunta pide.

Respuesta: Sin corrección $0{,}1788$ , con corrección $0{,}2104$ y el valor exacto es $0{,}212$

4. Una binomial tiene $n = 20$ y $p = 0{,}01$ . Decidí si se puede aproximar por una normal, y calculá $P(X \leq 1)$ por el camino que corresponda.

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1. Verificamos las condiciones. $np = 20 \cdot 0{,}01 = 0{,}2$ y $n(1-p) = 19{,}8$ .

2. Vemos cuál falla. $0{,}2 < 5$ : la primera condición no se cumple. Con $p$ tan chico, la binomial se amontona cerca de cero y queda muy asimétrica, mientras que la normal es simétrica.

3. Decidimos. No corresponde aproximar. Hay que calcular con la binomial exacta.

4. Calculamos con la binomial. $P(X \leq 1) = C_{20,0} \cdot 0{,}01^{0} \cdot 0{,}99^{20} + C_{20,1} \cdot 0{,}01^{1} \cdot 0{,}99^{19} = 0{,}9831$

5. Mostramos cuánto se habría errado. La aproximación normal con corrección habría dado $0{,}9983$ , con un error de $0{,}0151$ sobre un valor de $0{,}9831$ .

6. La regla que queda. Las dos condiciones se verifican antes de aproximar, no después. La fórmula normal devuelve un número plausible igual, y nada avisa de que está mal.

Respuesta: No se puede aproximar porque $np = 0{,}2 < 5$ . Con la binomial exacta, $P(X \leq 1) = 0{,}9831$

5. En una binomial con $n = 300$ intentos y probabilidad $0{,}6$ de que entre en cada uno, verificá si se puede aproximar por una normal y dá los parámetros de la normal aproximante.

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1. Escribimos la condición práctica. La aproximación sirve si $n p \geq 5$ y $n (1 - p) \geq 5$ . Las dos, no una sola.

2. Verificamos la primera. $n p = 300 \cdot 0{,}6 = 180$ , que supera a $5$ .

3. Verificamos la segunda. $n (1 - p) = 300 \cdot 0{,}4 = 120$ , que también supera a $5$ .

4. Copiamos los parámetros de la binomial. $\mu = n p = 180$ y $\sigma = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{72} \approx 8{,}4853$ .

5. Escribimos la aproximación. La binomial se aproxima por una normal de media $180$ y desvío $8{,}4853$ .

6. Qué pasa si la condición falla. Con $np$ o $nq$ chicos la binomial queda muy asimétrica y la campana no la representa bien. Ahí hay que calcular con la binomial exacta.

Respuesta: Se cumple la condición: la normal aproximante tiene $\mu = 180$ y $\sigma = 8{,}4853$

6. De $260$ piezas de un lote independientes, la probabilidad de que salga defectuosa en cada uno es $0{,}5$ . Calculá la probabilidad de que a lo sumo $118$ casos cumplan la condición, usando la aproximación normal con corrección de continuidad.

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1. Verificamos las condiciones y hallamos los parámetros. $np = 130$ y $n(1-p) = 130$ , los dos mayores que $5$ . $\mu = 130$ y $\sigma = \sqrt{65} \approx 8{,}0623$ .

2. Aplicamos la corrección de continuidad. La binomial es discreta y la normal continua. Para $P(X \leq 118)$ hay que tomar hasta $118 + 0{,}5$ , porque la barra del valor $118$ ocupa desde $118 - 0{,}5$ hasta $118 + 0{,}5$ .

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{118 + 0{,}5 - 130}{8{,}0623} = \dfrac{-11{,}5}{8{,}0623} \approx -1{,}4264$

4. Buscamos en la tabla. $P(X \leq 118) \approx P(Z \leq -1{,}4264) = 0{,}0769$

5. Comparamos con el valor exacto. La binomial exacta da $0{,}0768$ : la diferencia con la aproximación es de $0{,}0001$ .

6. Por qué no se saltea la corrección. Sin ella el resultado sale sistemáticamente corrido, y el error se nota justo en el segundo decimal, que suele ser el que se pide.

Respuesta: $P(X \leq 118) \approx 0{,}0769$

7. De $50$ votantes encuestados con probabilidad $0{,}5$ de que elija la opción A, se quiere $P(X \leq 31)$ . Calculala con la aproximación normal con y sin corrección de continuidad, y comparalas con el valor exacto.

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1. Hallamos los parámetros de la normal aproximante. $\mu = 25$ y $\sigma = 3{,}5355$ .

2. Calculamos sin corrección. $z = \dfrac{31 - 25}{3{,}5355} \approx 1{,}6971$ , y $P(Z \leq 1{,}6971) = 0{,}9552$ .

3. Calculamos con corrección. $z = \dfrac{31 + 0{,}5 - 25}{3{,}5355} \approx 1{,}8385$ , y $P(Z \leq 1{,}8385) = 0{,}967$ .

4. Calculamos el valor exacto con la binomial. $P(X \leq 31) = 0{,}9675$

5. Comparamos los errores. Sin corrección el error es $0{,}0124$ y con corrección $0{,}0005$ .

6. Por qué la corrección mejora. La normal reparte la probabilidad de forma continua y la binomial la concentra en barras. Tomar hasta $31 + 0{,}5$ incluye la barra entera del valor $31$ , que es lo que la pregunta pide.

Respuesta: Sin corrección $0{,}9552$ , con corrección $0{,}967$ y el valor exacto es $0{,}9675$

8. Una binomial tiene $n = 55$ y $p = 0{,}03$ . Decidí si se puede aproximar por una normal, y calculá $P(X \leq 0)$ por el camino que corresponda.

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1. Verificamos las condiciones. $np = 55 \cdot 0{,}03 = 1{,}65$ y $n(1-p) = 53{,}35$ .

2. Vemos cuál falla. $1{,}65 < 5$ : la primera condición no se cumple. Con $p$ tan chico, la binomial se amontona cerca de cero y queda muy asimétrica, mientras que la normal es simétrica.

3. Decidimos. No corresponde aproximar. Hay que calcular con la binomial exacta.

4. Calculamos con la binomial. $P(X \leq 0) = C_{55,0} \cdot 0{,}03^{0} \cdot 0{,}97^{55} = 0{,}1873$

5. Mostramos cuánto se habría errado. La aproximación normal con corrección habría dado $0{,}1817$ , con un error de $0{,}0056$ sobre un valor de $0{,}1873$ .

6. La regla que queda. Las dos condiciones se verifican antes de aproximar, no después. La fórmula normal devuelve un número plausible igual, y nada avisa de que está mal.

Respuesta: No se puede aproximar porque $np = 1{,}65 < 5$ . Con la binomial exacta, $P(X \leq 0) = 0{,}1873$

9. En una binomial con $n = 120$ intentos y probabilidad $0{,}2$ de que acepte la oferta en cada uno, verificá si se puede aproximar por una normal y dá los parámetros de la normal aproximante.

Ver solución

1. Escribimos la condición práctica. La aproximación sirve si $n p \geq 5$ y $n (1 - p) \geq 5$ . Las dos, no una sola.

2. Verificamos la primera. $n p = 120 \cdot 0{,}2 = 24$ , que supera a $5$ .

3. Verificamos la segunda. $n (1 - p) = 120 \cdot 0{,}8 = 96$ , que también supera a $5$ .

4. Copiamos los parámetros de la binomial. $\mu = n p = 24$ y $\sigma = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}3818$ .

5. Escribimos la aproximación. La binomial se aproxima por una normal de media $24$ y desvío $4{,}3818$ .

6. Qué pasa si la condición falla. Con $np$ o $nq$ chicos la binomial queda muy asimétrica y la campana no la representa bien. Ahí hay que calcular con la binomial exacta.

Respuesta: Se cumple la condición: la normal aproximante tiene $\mu = 24$ y $\sigma = 4{,}3818$

10. De $80$ votantes encuestados independientes, la probabilidad de que elija la opción A en cada uno es $0{,}3$ . Calculá la probabilidad de que a lo sumo $32$ casos cumplan la condición, usando la aproximación normal con corrección de continuidad.

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1. Verificamos las condiciones y hallamos los parámetros. $np = 24$ y $n(1-p) = 56$ , los dos mayores que $5$ . $\mu = 24$ y $\sigma = \sqrt{16{,}8} \approx 4{,}0988$ .

2. Aplicamos la corrección de continuidad. La binomial es discreta y la normal continua. Para $P(X \leq 32)$ hay que tomar hasta $32 + 0{,}5$ , porque la barra del valor $32$ ocupa desde $32 - 0{,}5$ hasta $32 + 0{,}5$ .

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{32 + 0{,}5 - 24}{4{,}0988} = \dfrac{8{,}5}{4{,}0988} \approx 2{,}0738$

4. Buscamos en la tabla. $P(X \leq 32) \approx P(Z \leq 2{,}0738) = 0{,}981$

5. Comparamos con el valor exacto. La binomial exacta da $0{,}9789$ : la diferencia con la aproximación es de $0{,}0021$ .

6. Por qué no se saltea la corrección. Sin ella el resultado sale sistemáticamente corrido, y el error se nota justo en el segundo decimal, que suele ser el que se pide.

Respuesta: $P(X \leq 32) \approx 0{,}981$

11. De $90$ tiros libres con probabilidad $0{,}6$ de que entre, se quiere $P(X \leq 58)$ . Calculala con la aproximación normal con y sin corrección de continuidad, y comparalas con el valor exacto.

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1. Hallamos los parámetros de la normal aproximante. $\mu = 54$ y $\sigma = 4{,}6476$ .

2. Calculamos sin corrección. $z = \dfrac{58 - 54}{4{,}6476} \approx 0{,}8607$ , y $P(Z \leq 0{,}8607) = 0{,}8053$ .

3. Calculamos con corrección. $z = \dfrac{58 + 0{,}5 - 54}{4{,}6476} \approx 0{,}9682$ , y $P(Z \leq 0{,}9682) = 0{,}8335$ .

4. Calculamos el valor exacto con la binomial. $P(X \leq 58) = 0{,}8334$

5. Comparamos los errores. Sin corrección el error es $0{,}0281$ y con corrección $0{,}0001$ .

6. Por qué la corrección mejora. La normal reparte la probabilidad de forma continua y la binomial la concentra en barras. Tomar hasta $58 + 0{,}5$ incluye la barra entera del valor $58$ , que es lo que la pregunta pide.

Respuesta: Sin corrección $0{,}8053$ , con corrección $0{,}8335$ y el valor exacto es $0{,}8334$

12. Una binomial tiene $n = 50$ y $p = 0{,}02$ . Decidí si se puede aproximar por una normal, y calculá $P(X \leq 0)$ por el camino que corresponda.

Ver solución

1. Verificamos las condiciones. $np = 50 \cdot 0{,}02 = 1$ y $n(1-p) = 49$ .

2. Vemos cuál falla. $1 < 5$ : la primera condición no se cumple. Con $p$ tan chico, la binomial se amontona cerca de cero y queda muy asimétrica, mientras que la normal es simétrica.

3. Decidimos. No corresponde aproximar. Hay que calcular con la binomial exacta.

4. Calculamos con la binomial. $P(X \leq 0) = C_{50,0} \cdot 0{,}02^{0} \cdot 0{,}98^{50} = 0{,}3642$

5. Mostramos cuánto se habría errado. La aproximación normal con corrección habría dado $0{,}3068$ , con un error de $0{,}0574$ sobre un valor de $0{,}3642$ .

6. La regla que queda. Las dos condiciones se verifican antes de aproximar, no después. La fórmula normal devuelve un número plausible igual, y nada avisa de que está mal.

Respuesta: No se puede aproximar porque $np = 1 < 5$ . Con la binomial exacta, $P(X \leq 0) = 0{,}3642$