Ejercicios: Muestra aleatoria y estadísticos

2. Clasificamos el primero. $70$ es un parámetro, y la media poblacional se anota $\mu$. También $N = 3500$ es un parámetro.

3. Clasificamos los otros dos. $73$ y $8$ son estadísticos: se anotan $\bar{x}$ y $s$. Son números calculados a partir de la muestra.

4. Decidimos cuál varía. $\mu$ es fijo, aunque casi siempre sea desconocido. $\bar{x}$ y $s$ cambian con cada muestra que se tome: son variables aleatorias.

5. Marcamos la consecuencia. Por eso tiene sentido hablar de la distribución de $\bar{x}$ y no de la distribución de $\mu$. Confundir las dos cosas hace que después no se entienda qué se estima ni contra qué se lo compara.

Respuesta: Parámetros: $\mu = 70$ y $N = 3500$. Estadísticos: $\bar{x} = 73$ y $s = 8$, que varían de muestra en muestra

2. Calculamos el promedio muestral. $\bar{x} = \dfrac{303}{6} = 50{,}5$ gramos.

3. Calculamos la varianza muestral. $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1} = \dfrac{539{,}5}{5} = 107{,}9$, y $s = 10{,}3875$ gramos.

4. Calculamos la proporción muestral. Superan $50$ un total de $3$ casos: $\hat{p} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$.

5. Notamos qué tienen en común. Los tres se calculan solo con los datos observados, y los tres cambiarían si tocara otra muestra. Cada uno tiene su propia distribución muestral.

6. La condición que valida todo esto. Que la muestra sea aleatoria: observaciones independientes y con la misma distribución. Si la muestra está sesgada, ningún cálculo posterior arregla el problema.

Respuesta: $\bar{x} = 50{,}5$, $s^{2} = 107{,}9$ y $\hat{p} = 0{,}5$

2. Calculamos el de la segunda. $\bar{x}_2 = \dfrac{510}{5} = 102$ minutos.

3. Comparamos con el parámetro. La media poblacional es $110$, y los dos promedios se apartan: $7{,}6$ y $8$.

4. Explicamos por qué pasa. $\bar{x}$ es un estadístico y depende de qué casos tocaron. Es una variable aleatoria: cambia de muestra en muestra aunque la población no cambie.

5. Marcamos lo que no significa. No significa que las muestras estén mal. La variabilidad muestral es inevitable, y precisamente por eso hace falta describirla con una distribución.

6. Hacia dónde va esto. El promedio de todos los $\bar{x}$ posibles vale exactamente $\mu$, y su dispersión se achica al crecer $n$. Eso es lo que se estudia en el subtema siguiente.

Respuesta: $\bar{x}_1 = 102{,}4$ y $\bar{x}_2 = 102$: son distintos entre sí y de $110$ por la variabilidad muestral

2. Revisamos si todos los elementos pueden entrar. Hay que preguntarse qué parte de la población queda excluida o sub representada por el procedimiento.

3. Analizamos el caso. Acá quienes van a un shopping un sábado no representan a todos los hogares: tienen más poder de compra que el promedio.

4. Concluimos. El procedimiento no produce una muestra aleatoria: la muestra está sesgada.

5. Marcamos la consecuencia. Con este diseño, el gasto estimado va a salir sistemáticamente por encima del real.

6. Lo que no arregla el problema. Agrandar la muestra. Un sesgo de selección no se corrige con más datos: se hace más preciso el número equivocado.

Respuesta: No es una muestra aleatoria válida: quienes van a un shopping un sábado no representan a todos los hogares: tienen más poder de compra que el promedio

2. Clasificamos el primero. $110$ es un parámetro, y la media poblacional se anota $\mu$. También $N = 6000$ es un parámetro.

3. Clasificamos los otros dos. $107$ y $11$ son estadísticos: se anotan $\bar{x}$ y $s$. Son números calculados a partir de la muestra.

4. Decidimos cuál varía. $\mu$ es fijo, aunque casi siempre sea desconocido. $\bar{x}$ y $s$ cambian con cada muestra que se tome: son variables aleatorias.

5. Marcamos la consecuencia. Por eso tiene sentido hablar de la distribución de $\bar{x}$ y no de la distribución de $\mu$. Confundir las dos cosas hace que después no se entienda qué se estima ni contra qué se lo compara.

Respuesta: Parámetros: $\mu = 110$ y $N = 6000$. Estadísticos: $\bar{x} = 107$ y $s = 11$, que varían de muestra en muestra

2. Calculamos el promedio muestral. $\bar{x} = \dfrac{252}{6} = 42$ minutos.

3. Calculamos la varianza muestral. $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1} = \dfrac{1972}{5} = 394{,}4$, y $s = 19{,}8595$ minutos.

4. Calculamos la proporción muestral. Superan $42$ un total de $3$ casos: $\hat{p} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$.

5. Notamos qué tienen en común. Los tres se calculan solo con los datos observados, y los tres cambiarían si tocara otra muestra. Cada uno tiene su propia distribución muestral.

6. La condición que valida todo esto. Que la muestra sea aleatoria: observaciones independientes y con la misma distribución. Si la muestra está sesgada, ningún cálculo posterior arregla el problema.

Respuesta: $\bar{x} = 42$, $s^{2} = 394{,}4$ y $\hat{p} = 0{,}5$

2. Calculamos el de la segunda. $\bar{x}_2 = \dfrac{508}{5} = 101{,}6$ cm.

3. Comparamos con el parámetro. La media poblacional es $100$, y los dos promedios se apartan: $3$ y $1{,}6$.

4. Explicamos por qué pasa. $\bar{x}$ es un estadístico y depende de qué casos tocaron. Es una variable aleatoria: cambia de muestra en muestra aunque la población no cambie.

5. Marcamos lo que no significa. No significa que las muestras estén mal. La variabilidad muestral es inevitable, y precisamente por eso hace falta describirla con una distribución.

6. Hacia dónde va esto. El promedio de todos los $\bar{x}$ posibles vale exactamente $\mu$, y su dispersión se achica al crecer $n$. Eso es lo que se estudia en el subtema siguiente.

Respuesta: $\bar{x}_1 = 103$ y $\bar{x}_2 = 101{,}6$: son distintos entre sí y de $100$ por la variabilidad muestral

2. Revisamos si todos los elementos pueden entrar. Hay que preguntarse qué parte de la población queda excluida o sub representada por el procedimiento.

3. Analizamos el caso. Acá cada unidad tiene la misma probabilidad de entrar y la elección de una no condiciona a las otras.

4. Concluimos. El procedimiento produce una muestra aleatoria válida.

5. Marcamos la consecuencia. Con este diseño, los cálculos posteriores son válidos.

6. Lo que no arregla el problema. Agrandar la muestra. Un sesgo de selección no se corrige con más datos: se hace más preciso el número equivocado.

Respuesta: Sí es una muestra aleatoria válida: cada unidad tiene la misma probabilidad de entrar y la elección de una no condiciona a las otras

2. Clasificamos el primero. $60$ es un parámetro, y la media poblacional se anota $\mu$. También $N = 7500$ es un parámetro.

3. Clasificamos los otros dos. $63$ y $7$ son estadísticos: se anotan $\bar{x}$ y $s$. Son números calculados a partir de la muestra.

4. Decidimos cuál varía. $\mu$ es fijo, aunque casi siempre sea desconocido. $\bar{x}$ y $s$ cambian con cada muestra que se tome: son variables aleatorias.

5. Marcamos la consecuencia. Por eso tiene sentido hablar de la distribución de $\bar{x}$ y no de la distribución de $\mu$. Confundir las dos cosas hace que después no se entienda qué se estima ni contra qué se lo compara.

Respuesta: Parámetros: $\mu = 60$ y $N = 7500$. Estadísticos: $\bar{x} = 63$ y $s = 7$, que varían de muestra en muestra

2. Calculamos el promedio muestral. $\bar{x} = \dfrac{389}{8} = 48{,}625$ puntos.

3. Calculamos la varianza muestral. $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1} = \dfrac{2215{,}875}{7} \approx 316{,}5536$, y $s = 17{,}792$ puntos.

4. Calculamos la proporción muestral. Superan $48$ un total de $4$ casos: $\hat{p} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$.

5. Notamos qué tienen en común. Los tres se calculan solo con los datos observados, y los tres cambiarían si tocara otra muestra. Cada uno tiene su propia distribución muestral.

6. La condición que valida todo esto. Que la muestra sea aleatoria: observaciones independientes y con la misma distribución. Si la muestra está sesgada, ningún cálculo posterior arregla el problema.

Respuesta: $\bar{x} = 48{,}625$, $s^{2} = 316{,}5536$ y $\hat{p} = 0{,}5$

2. Calculamos el de la segunda. $\bar{x}_2 = \dfrac{301}{5} = 60{,}2$ miles de pesos.

3. Comparamos con el parámetro. La media poblacional es $60$, y los dos promedios se apartan: $3{,}4$ y $0{,}2$.

4. Explicamos por qué pasa. $\bar{x}$ es un estadístico y depende de qué casos tocaron. Es una variable aleatoria: cambia de muestra en muestra aunque la población no cambie.

5. Marcamos lo que no significa. No significa que las muestras estén mal. La variabilidad muestral es inevitable, y precisamente por eso hace falta describirla con una distribución.

6. Hacia dónde va esto. El promedio de todos los $\bar{x}$ posibles vale exactamente $\mu$, y su dispersión se achica al crecer $n$. Eso es lo que se estudia en el subtema siguiente.

Respuesta: $\bar{x}_1 = 56{,}6$ y $\bar{x}_2 = 60{,}2$: son distintos entre sí y de $60$ por la variabilidad muestral

2. Revisamos si todos los elementos pueden entrar. Hay que preguntarse qué parte de la población queda excluida o sub representada por el procedimiento.

3. Analizamos el caso. Acá responde sobre todo quien tiene una opinión fuerte, así que la muestra no representa a todos los usuarios.

4. Concluimos. El procedimiento no produce una muestra aleatoria: la muestra está sesgada.

5. Marcamos la consecuencia. Con este diseño, el resultado queda contaminado por un sesgo de autoselección.

6. Lo que no arregla el problema. Agrandar la muestra. Un sesgo de selección no se corrige con más datos: se hace más preciso el número equivocado.

Respuesta: No es una muestra aleatoria válida: responde sobre todo quien tiene una opinión fuerte, así que la muestra no representa a todos los usuarios