Aproximación de la binomial por la normal

Cuando una binomial tiene muchos intentos, calcular probabilidades sumando término a término se vuelve impracticable. La normal da una buena aproximación.

La media de la normal aproximante es la media de la binomial, y su varianza es la varianza de la binomial. Se copian los dos parámetros y listo.

La condición práctica es que tanto la cantidad de intentos por la probabilidad de éxito como la cantidad por la probabilidad de fracaso superen cinco. Si alguna no la cumple, la binomial es muy asimétrica y la aproximación falla.

Hay un paso extra que es el que más se olvida: la corrección por continuidad. Se está aproximando algo discreto con algo continuo, así que hay que ensanchar medio punto para cada lado.

Si se pide la probabilidad de exactamente diez, se calcula entre nueve y medio y diez y medio. Si se pide diez o más, se arranca en nueve y medio.

Sin esa corrección el resultado sale sistemáticamente sesgado, sobre todo cuando la cantidad de intentos no es muy grande.

Decidir si se suma o se resta el medio punto depende de si el extremo está incluido, y conviene escribir la desigualdad antes de calcular.

\mu = n p

\sigma = \sqrt{n p q}

· si

n p \geq 5 y n q \geq 5

Cuándo se usa

Cuando la binomial tiene muchos intentos y calcularla directo es impracticable. Verificá las dos condiciones y aplicá siempre la corrección por continuidad de medio punto.

Ejemplo 1

Con $40$ intentos y probabilidad $0{,}35$ , verificar que se pueda aproximar y calcular la media y el desvío.

Verificamos las dos condiciones. $40 \cdot 0{,}35 = 14$ y $40 \cdot 0{,}65 = 26$ , los dos mayores que $5$ .
Calculamos la media. $\mu = 14$ .
Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{40 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}65} = \sqrt{9},1 \approx 3{,}0166$ .
Respuesta: $\mu = 14$ , $\sigma \approx 3{,}0166$

Ejemplo 2

Con la misma binomial, calcular la probabilidad de obtener a lo sumo $16$ éxitos usando la aproximación.

Aplicamos la corrección de continuidad. «A lo sumo $16$ » incluye al $16$ , así que se llega hasta $16{,}5$ .
Estandarizamos. $z = (16{,}5 - 14) / 3{,}0166 \approx 0{,}83$ .
Buscamos en la tabla. $P(Z \leq 0{,}83) = 0{,}7967$ . El valor exacto por binomial es $0{,}7978$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}7967$

Error típico

Aplicar la aproximación cuando alguno de los dos productos no llega $a 5$ . La cuenta da un número entre $0$ y $1$ igual, y puede estar lejos del valor real.

Practicar

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Otros subtemas de La normal y el muestreo

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