El teorema aplicado a promedios

La aplicación más frecuente del teorema es calcular probabilidades sobre el promedio de una muestra.

El procedimiento es el mismo que con una normal común, con un solo cambio: en el denominador de la estandarización va el error estándar, no el desvío de la población.

Ese cambio es todo el tema, y olvidarlo es el error que más se repite. Da resultados mucho más grandes de lo que corresponde, porque no tiene en cuenta que los promedios se dispersan menos.

Conviene leer el enunciado con cuidado para distinguir dos preguntas parecidas. La probabilidad de que un individuo supere cierto valor usa el desvío de la población. La probabilidad de que el promedio de una muestra lo supere usa el error estándar.

Las dos preguntas dan números muy distintos, y los ejercicios de parcial suelen incluir las dos para ver si se distinguen.

La pista está en las palabras. Si dice un individuo, una pieza, una persona, va el desvío. Si dice el promedio de, la media de una muestra de tantos, va el error estándar.

z = (\bar{x} - \mu ) / (\sigma / \sqrt{n})

Cuándo se usa

Cuando la pregunta es sobre el promedio de una muestra y no sobre un individuo. Fijate en las palabras del enunciado: eso decide si usás el desvío o el error estándar.

Ejemplo 1

Unos envases tienen peso normal con media $500 g y$ desvío $10 g$ . Calcular la probabilidad de que uno pase los $505 g$ .

Vemos por qué pregunta. Por un envase suelto, así que en el denominador va el desvío de la población.
Estandarizamos. $z = (505 - 500) / 10 = 0{,}5$ .
Buscamos en la tabla. $1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
Respuesta: $P = 0{,}3085$

Ejemplo 2

Con los mismos envases, calcular la probabilidad de que el promedio de $25$ pase los $505 g$ .

Vemos por qué pregunta. Por un promedio, así que va el error estándar.
Calculamos el error estándar y estandarizamos. $EE = 10 / \sqrt{25} = 2$ y $z = (505 - 500) / 2 = 2{,}5$ .
Buscamos en la tabla. $1 - 0{,}9938 = 0{,}0062$ , cincuenta veces menos que antes.
Respuesta: $P = 0{,}0062$

Error típico

Dividir por la raíz de n cuando el enunciado pregunta por un individuo. Es el mismo error al revés y tiene el mismo costo.

Practicar

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Otros subtemas de La normal y el muestreo

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