Muestreo con población finita

Las fórmulas del error estándar suponen que las observaciones son independientes, y eso vale cuando se muestrea con reposición o de una población muy grande.

Cuando la muestra es una fracción importante de una población finita, esa suposición falla: sacar un elemento cambia lo que queda.

En ese caso hay que multiplicar el error estándar por un factor de corrección, que depende de la relación entre el tamaño de la muestra y el de la población.

Ese factor siempre es menor que uno, así que reduce el error estándar. Tiene sentido: si se observa buena parte de la población, la estimación es más precisa.

En el caso extremo de observar toda la población, el factor vale cero y el error desaparece, que es lo que corresponde: ahí no hay incertidumbre.

La regla práctica es aplicarlo cuando la muestra supera el cinco por ciento de la población. Por debajo de eso el factor está tan cerca de uno que no vale la pena.

En encuestas nacionales casi nunca hace falta, porque las muestras son minúsculas frente a la población. En control de calidad sobre lotes chicos, sí.

= (\sigma / \sqrt{n}) \cdot \sqrt{(N - n) / (N - 1)}

Cuándo se usa

Cuando la muestra supera el cinco por ciento de una población finita, típico en control de calidad sobre un lote. El factor reduce el error estándar.

Ejemplo 1

Un lote tiene $500$ piezas con desvío $20$ . Se toman $100$ . Calcular el error estándar corregido.

Calculamos el error sin corregir. $20 / \sqrt{100} = 2$ .
Calculamos el factor. $\sqrt{(500 - 100) / 499} = \sqrt{0},8016 \approx 0{,}8953$ .
Multiplicamos. $2 \cdot 0{,}8953 = 1{,}7906$ .
Respuesta: $EE \approx 1{,}7906$

Ejemplo 2

Decidir si corresponde corregir cuando se toman $40$ piezas de un lote de $5000$ .

Calculamos la fracción muestreada. $40 / 5000 = 0{,}008$ , es decir el $0{,}8 \%$ .
La comparamos con la regla práctica. Está muy por debajo del $5 \%$ .
Verificamos el efecto. El factor sería $\sqrt{4960 / 4999} \approx 0{,}9961$ , que corrige menos de medio punto. No hace falta.
Respuesta: No corresponde corregir

Error típico

Aplicar la corrección siempre. Con muestras chicas frente a la población el factor es prácticamente uno y solo agrega una cuenta donde puede aparecer un error.

Practicar

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Otros subtemas de La normal y el muestreo

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .