Método

Ejercicios: Muestreo con población finita

EE =(σ/n)⋅(N−n)/(N−1)= (\sigma / \sqrt{n}) \cdot \sqrt{(N - n) / (N - 1)}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Una población finita de 500500 casos tiene desvío 99 cm en la altura de los alumnos. Se toma una muestra sin reposición de 4040 casos. Calculá el error estándar del promedio con la corrección por población finita.

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1. Vemos por qué hace falta corregir. La fórmula σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} supone observaciones independientes. Sin reposición y con nN=40500=0,08\dfrac{n}{N} = \dfrac{40}{500} = 0{,}08, sacar un elemento cambia lo que queda.

2. Escribimos la fórmula corregida. EE=σn⋅N−nN−1EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\dfrac{N - n}{N - 1}}

3. Calculamos el error estándar sin corregir. 940=1,423\dfrac{9}{\sqrt{40}} = 1{,}423

4. Calculamos el factor de corrección. 500−40500−1=460499≈0,9601\sqrt{\dfrac{500 - 40}{500 - 1}} = \sqrt{\dfrac{460}{499}} \approx 0{,}9601

5. Multiplicamos. EE=1,423⋅0,9601≈1,3663EE = 1{,}423 \cdot 0{,}9601 \approx 1{,}3663 cm.

6. Verificamos el sentido. El factor es menor que 11, así que la corrección siempre achica el error estándar. Sin reposición hay menos variabilidad, porque la muestra agota parte de la población.

Respuesta: EE=1,3663EE = 1{,}3663 cm

2. Con una población de 400400 casos, desvío 3030 miles de pesos y una muestra sin reposición de 100100, calculá el error estándar con y sin corrección por población finita y decidí si la corrección se puede ignorar.

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1. Calculamos sin corrección. 30100=3\dfrac{30}{\sqrt{100}} = 3 miles de pesos.

2. Calculamos el factor. 300399≈0,8671\sqrt{\dfrac{300}{399}} \approx 0{,}8671

3. Calculamos con corrección. 3⋅0,8671=2,60133 \cdot 0{,}8671 = 2{,}6013 miles de pesos.

4. Medimos la diferencia. 0,39870{,}3987 miles de pesos, o sea un 13,29%13{,}29\% menos.

5. Aplicamos la regla práctica. nN=0,25\dfrac{n}{N} = 0{,}25, o sea el 25%25\% de la población. La corrección se suele ignorar cuando la muestra no llega al 5%5\%.

6. Decidimos. La muestra es una fracción importante de la población, así que ignorar la corrección sobreestimaría el error estándar de forma apreciable.

Respuesta: Sin corregir 33 y corregido 2,60132{,}6013: la muestra es el 25%25\% de la población, así que la corrección no se puede ignorar

3. Una población finita tiene 350350 casos y desvío 1212. Calculá el error estándar del promedio para una muestra de 350350 casos y para una de 175175, y explicá qué pasa en el primer caso.

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1. Calculamos el factor de corrección con n=Nn = N. 350−350350−1=0349=0\sqrt{\dfrac{350 - 350}{350 - 1}} = \sqrt{\dfrac{0}{349}} = 0

2. Calculamos el error estándar en ese caso. EE=12350⋅0=0EE = \dfrac{12}{\sqrt{350}} \cdot 0 = 0

3. Interpretamos. Con n=Nn = N se observó toda la población: no hay muestra, hay censo. El promedio calculado es exactamente la media poblacional y no varía, así que su desvío tiene que ser cero.

4. Calculamos el segundo caso. Con n=175n = 175: 12175=0,9071\dfrac{12}{\sqrt{175}} = 0{,}9071 y el factor vale 175349≈0,7081\sqrt{\dfrac{175}{349}} \approx 0{,}7081, así que EE=0,6423EE = 0{,}6423.

5. Comparamos. De 0,64230{,}6423 a 00: cuanto más se acerca la muestra a la población, menos varía el promedio, hasta anularse por completo.

6. Por qué esto valida la fórmula. Una fórmula que en el censo no diera cero estaría mal. Este caso extremo es el control más simple de que la corrección está bien planteada.

Respuesta: Con n=350n = 350 el error estándar vale 00, porque es un censo. Con n=175n = 175 vale 0,64230{,}6423

4. Una población de 100000100000 casos tiene desvío 1414 horas en la duración de las baterías, y se toma una muestra sin reposición de 400400. Decidí si hace falta la corrección por población finita y justificá con la cuenta.

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1. Calculamos la fracción de muestreo. nN=400100000=0,004\dfrac{n}{N} = \dfrac{400}{100000} = 0{,}004, o sea el 0,4%0{,}4\%.

2. Aplicamos la regla práctica. Si la muestra no llega al 5%5\% de la población, la corrección se puede ignorar.

3. Calculamos el factor para ver cuánto cambiaría. 9960099999≈0,998\sqrt{\dfrac{99600}{99999}} \approx 0{,}998, prácticamente 11.

4. Comparamos los dos errores estándar. Sin corregir 0,70{,}7 y corregido 0,69860{,}6986: la diferencia es de 0,00140{,}0014 horas.

5. Decidimos. No hace falta corregir: la diferencia es despreciable frente a la precisión con la que se informa el resultado.

6. Por qué la población grande no importa. Lo que decide la precisión es el tamaño de la muestra, no qué fracción de la población representa. Una muestra de 400400 casos funciona casi igual en una ciudad que en un país entero.

Respuesta: No hace falta: la muestra es el 0,4%0{,}4\% de la población y el factor vale 0,9980{,}998

5. Una población finita de 200200 casos tiene desvío 1313 minutos en el tiempo de armado. Se toma una muestra sin reposición de 6060 casos. Calculá el error estándar del promedio con la corrección por población finita.

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1. Vemos por qué hace falta corregir. La fórmula σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} supone observaciones independientes. Sin reposición y con nN=60200=0,3\dfrac{n}{N} = \dfrac{60}{200} = 0{,}3, sacar un elemento cambia lo que queda.

2. Escribimos la fórmula corregida. EE=σn⋅N−nN−1EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\dfrac{N - n}{N - 1}}

3. Calculamos el error estándar sin corregir. 1360=1,6783\dfrac{13}{\sqrt{60}} = 1{,}6783

4. Calculamos el factor de corrección. 200−60200−1=140199≈0,8388\sqrt{\dfrac{200 - 60}{200 - 1}} = \sqrt{\dfrac{140}{199}} \approx 0{,}8388

5. Multiplicamos. EE=1,6783⋅0,8388≈1,4077EE = 1{,}6783 \cdot 0{,}8388 \approx 1{,}4077 minutos.

6. Verificamos el sentido. El factor es menor que 11, así que la corrección siempre achica el error estándar. Sin reposición hay menos variabilidad, porque la muestra agota parte de la población.

Respuesta: EE=1,4077EE = 1{,}4077 minutos

6. Con una población de 400400 casos, desvío 2727 gramos y una muestra sin reposición de 7575, calculá el error estándar con y sin corrección por población finita y decidí si la corrección se puede ignorar.

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1. Calculamos sin corrección. 2775=3,1177\dfrac{27}{\sqrt{75}} = 3{,}1177 gramos.

2. Calculamos el factor. 325399≈0,9025\sqrt{\dfrac{325}{399}} \approx 0{,}9025

3. Calculamos con corrección. 3,1177⋅0,9025≈2,81383{,}1177 \cdot 0{,}9025 \approx 2{,}8138 gramos.

4. Medimos la diferencia. 0,30390{,}3039 gramos, o sea un 9,75%9{,}75\% menos.

5. Aplicamos la regla práctica. nN=0,1875\dfrac{n}{N} = 0{,}1875, o sea el 18,75%18{,}75\% de la población. La corrección se suele ignorar cuando la muestra no llega al 5%5\%.

6. Decidimos. La muestra es una fracción importante de la población, así que ignorar la corrección sobreestimaría el error estándar de forma apreciable.

Respuesta: Sin corregir 3,11773{,}1177 y corregido 2,81382{,}8138: la muestra es el 18,75%18{,}75\% de la población, así que la corrección no se puede ignorar

7. Una población finita tiene 200200 casos y desvío 1111. Calculá el error estándar del promedio para una muestra de 200200 casos y para una de 100100, y explicá qué pasa en el primer caso.

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1. Calculamos el factor de corrección con n=Nn = N. 200−200200−1=0199=0\sqrt{\dfrac{200 - 200}{200 - 1}} = \sqrt{\dfrac{0}{199}} = 0

2. Calculamos el error estándar en ese caso. EE=11200⋅0=0EE = \dfrac{11}{\sqrt{200}} \cdot 0 = 0

3. Interpretamos. Con n=Nn = N se observó toda la población: no hay muestra, hay censo. El promedio calculado es exactamente la media poblacional y no varía, así que su desvío tiene que ser cero.

4. Calculamos el segundo caso. Con n=100n = 100: 11100=1,1\dfrac{11}{\sqrt{100}} = 1{,}1 y el factor vale 100199≈0,7089\sqrt{\dfrac{100}{199}} \approx 0{,}7089, así que EE=0,7798EE = 0{,}7798.

5. Comparamos. De 0,77980{,}7798 a 00: cuanto más se acerca la muestra a la población, menos varía el promedio, hasta anularse por completo.

6. Por qué esto valida la fórmula. Una fórmula que en el censo no diera cero estaría mal. Este caso extremo es el control más simple de que la corrección está bien planteada.

Respuesta: Con n=200n = 200 el error estándar vale 00, porque es un censo. Con n=100n = 100 vale 0,77980{,}7798

8. Una población de 2000020000 casos tiene desvío 1414 puntos en el puntaje del examen, y se toma una muestra sin reposición de 100100. Decidí si hace falta la corrección por población finita y justificá con la cuenta.

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1. Calculamos la fracción de muestreo. nN=10020000=0,005\dfrac{n}{N} = \dfrac{100}{20000} = 0{,}005, o sea el 0,5%0{,}5\%.

2. Aplicamos la regla práctica. Si la muestra no llega al 5%5\% de la población, la corrección se puede ignorar.

3. Calculamos el factor para ver cuánto cambiaría. 1990019999≈0,9975\sqrt{\dfrac{19900}{19999}} \approx 0{,}9975, prácticamente 11.

4. Comparamos los dos errores estándar. Sin corregir 1,41{,}4 y corregido 1,39651{,}3965: la diferencia es de 0,00350{,}0035 puntos.

5. Decidimos. No hace falta corregir: la diferencia es despreciable frente a la precisión con la que se informa el resultado.

6. Por qué la población grande no importa. Lo que decide la precisión es el tamaño de la muestra, no qué fracción de la población representa. Una muestra de 400400 casos funciona casi igual en una ciudad que en un país entero.

Respuesta: No hace falta: la muestra es el 0,5%0{,}5\% de la población y el factor vale 0,99750{,}9975

9. Una población finita de 500500 casos tiene desvío 2424 puntos en el puntaje del examen. Se toma una muestra sin reposición de 6060 casos. Calculá el error estándar del promedio con la corrección por población finita.

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1. Vemos por qué hace falta corregir. La fórmula σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} supone observaciones independientes. Sin reposición y con nN=60500=0,12\dfrac{n}{N} = \dfrac{60}{500} = 0{,}12, sacar un elemento cambia lo que queda.

2. Escribimos la fórmula corregida. EE=σn⋅N−nN−1EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\dfrac{N - n}{N - 1}}

3. Calculamos el error estándar sin corregir. 2460=3,0984\dfrac{24}{\sqrt{60}} = 3{,}0984

4. Calculamos el factor de corrección. 500−60500−1=440499≈0,939\sqrt{\dfrac{500 - 60}{500 - 1}} = \sqrt{\dfrac{440}{499}} \approx 0{,}939

5. Multiplicamos. EE=3,0984⋅0,939≈2,9095EE = 3{,}0984 \cdot 0{,}939 \approx 2{,}9095 puntos.

6. Verificamos el sentido. El factor es menor que 11, así que la corrección siempre achica el error estándar. Sin reposición hay menos variabilidad, porque la muestra agota parte de la población.

Respuesta: EE=2,9095EE = 2{,}9095 puntos

10. Con una población de 400400 casos, desvío 2020 horas y una muestra sin reposición de 100100, calculá el error estándar con y sin corrección por población finita y decidí si la corrección se puede ignorar.

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1. Calculamos sin corrección. 20100=2\dfrac{20}{\sqrt{100}} = 2 horas.

2. Calculamos el factor. 300399≈0,8671\sqrt{\dfrac{300}{399}} \approx 0{,}8671

3. Calculamos con corrección. 2⋅0,8671=1,73422 \cdot 0{,}8671 = 1{,}7342 horas.

4. Medimos la diferencia. 0,26580{,}2658 horas, o sea un 13,29%13{,}29\% menos.

5. Aplicamos la regla práctica. nN=0,25\dfrac{n}{N} = 0{,}25, o sea el 25%25\% de la población. La corrección se suele ignorar cuando la muestra no llega al 5%5\%.

6. Decidimos. La muestra es una fracción importante de la población, así que ignorar la corrección sobreestimaría el error estándar de forma apreciable.

Respuesta: Sin corregir 22 y corregido 1,73421{,}7342: la muestra es el 25%25\% de la población, así que la corrección no se puede ignorar

11. Una población finita tiene 120120 casos y desvío 1414. Calculá el error estándar del promedio para una muestra de 120120 casos y para una de 6060, y explicá qué pasa en el primer caso.

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1. Calculamos el factor de corrección con n=Nn = N. 120−120120−1=0119=0\sqrt{\dfrac{120 - 120}{120 - 1}} = \sqrt{\dfrac{0}{119}} = 0

2. Calculamos el error estándar en ese caso. EE=14120⋅0=0EE = \dfrac{14}{\sqrt{120}} \cdot 0 = 0

3. Interpretamos. Con n=Nn = N se observó toda la población: no hay muestra, hay censo. El promedio calculado es exactamente la media poblacional y no varía, así que su desvío tiene que ser cero.

4. Calculamos el segundo caso. Con n=60n = 60: 1460=1,8074\dfrac{14}{\sqrt{60}} = 1{,}8074 y el factor vale 60119≈0,7101\sqrt{\dfrac{60}{119}} \approx 0{,}7101, así que EE=1,2834EE = 1{,}2834.

5. Comparamos. De 1,28341{,}2834 a 00: cuanto más se acerca la muestra a la población, menos varía el promedio, hasta anularse por completo.

6. Por qué esto valida la fórmula. Una fórmula que en el censo no diera cero estaría mal. Este caso extremo es el control más simple de que la corrección está bien planteada.

Respuesta: Con n=120n = 120 el error estándar vale 00, porque es un censo. Con n=60n = 60 vale 1,28341{,}2834

12. Una población de 50005000 casos tiene desvío 1212 miles de pesos en el gasto mensual, y se toma una muestra sin reposición de 100100. Decidí si hace falta la corrección por población finita y justificá con la cuenta.

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1. Calculamos la fracción de muestreo. nN=1005000=0,02\dfrac{n}{N} = \dfrac{100}{5000} = 0{,}02, o sea el 2%2\%.

2. Aplicamos la regla práctica. Si la muestra no llega al 5%5\% de la población, la corrección se puede ignorar.

3. Calculamos el factor para ver cuánto cambiaría. 49004999≈0,99\sqrt{\dfrac{4900}{4999}} \approx 0{,}99, prácticamente 11.

4. Comparamos los dos errores estándar. Sin corregir 1,21{,}2 y corregido 1,18811{,}1881: la diferencia es de 0,01190{,}0119 miles de pesos.

5. Decidimos. No hace falta corregir: la diferencia es despreciable frente a la precisión con la que se informa el resultado.

6. Por qué la población grande no importa. Lo que decide la precisión es el tamaño de la muestra, no qué fracción de la población representa. Una muestra de 400400 casos funciona casi igual en una ciudad que en un país entero.

Respuesta: No hace falta: la muestra es el 2%2\% de la población y el factor vale 0,990{,}99

Integradores de La normal y el muestreo: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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