Ejercicios: La t de Student

1. En una población normal, el gasto mensual tiene media $90$ miles de pesos. Una muestra de $20$ casos dio promedio $94$ y desvío muestral $16$ . No se conoce el desvío de la población. Calculá el estadístico que corresponde y sus grados de libertad.

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1. Decidimos qué distribución corresponde. Se trabaja sobre una media y el desvío de la población no se conoce: se lo reemplaza por $s$ , así que corresponde la $t$ de Student y no la normal.

2. Escribimos el estadístico. $t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$

3. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{16}{\sqrt{20}} = \dfrac{16}{4{,}4721} \approx 3{,}5777$ miles de pesos.

4. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{94 - 90}{3{,}5777} = \dfrac{4}{3{,}5777} \approx 1{,}118$

5. Damos los grados de libertad. $n - 1 = 19$ , por la misma razón que en la varianza muestral: la media de la muestra ya se usó para calcular $s$ .

6. Interpretamos. El promedio observado está a $1{,}118$ errores estándar estimados de la media poblacional, por encima de ella.

Respuesta: $t = 1{,}118$ con $19$ grados de libertad

2. Para un nivel del $95\%$ con dos colas, el valor de tabla de la normal es $1{,}96$ y el de la $t$ con $14$ grados de libertad es $2{,}145$ . Explicá por qué la $t$ da un valor más grande y qué consecuencia tiene.

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1. Comparamos los dos valores. $2{,}145 > 1{,}96$ : la $t$ exige ir más lejos del centro para dejar el mismo $2{,}5\%$ en cada cola.

2. Explicamos de dónde viene la diferencia. La normal se usa cuando $\sigma$ se conoce. La $t$ se usa cuando se lo estima con $s$ , y ese reemplazo agrega incertidumbre porque $s$ también varía de muestra en muestra.

3. Traducimos eso a la forma de la curva. La $t$ tiene colas más anchas que la normal. Los valores extremos son más probables bajo la $t$ , y por eso hay que alejarse más para acumular el mismo $95\%$ central.

4. Medimos la diferencia. $2{,}145 - 1{,}96 = 0{,}185$ , un $9{,}44\%$ más. Con $14$ grados de libertad la diferencia es apreciable.

5. Sacamos la consecuencia práctica. Usar la normal cuando corresponde $t$ da intervalos más angostos de lo honesto: parece que se sabe más de lo que se sabe.

6. Qué pasa con muestras grandes. A medida que crecen los grados de libertad la $t$ se acerca a la normal. Con más de $100$ grados la diferencia ya no se nota en el segundo decimal.

Respuesta: La $t$ da $2{,}145$ contra $1{,}96$ de la normal: la diferencia es $0{,}185$ , y viene de la incertidumbre de estimar el desvío

3. Se quiere trabajar sobre la media de una población normal. Decidí qué distribución corresponde: Se conoce el desvío de la población, que vale $12$ , y la muestra tiene $9$ casos.

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1. Identificamos el parámetro. Se trabaja sobre una media, así que la elección está entre la normal y la $t$ de Student. Si fuera sobre una varianza iría chi cuadrado, y sobre un cociente de varianzas, $F$ .

2. Escribimos la pregunta que separa las dos. Si el desvío de la población se conoce, va la normal. Si hay que estimarlo con $s$ , va la $t$ .

3. Analizamos el caso. Acá con $\sigma$ conocido no hay incertidumbre extra: el estadístico $\dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ es normal exacto si la población lo es.

4. Elegimos. Corresponde la normal.

5. Marcamos dónde se paga el error. Con muestras grandes la $t$ y la normal dan casi lo mismo, así que equivocarse casi no se nota. Con muestras chicas la diferencia es grande, y ahí es donde hay que prestar atención.

Respuesta: Corresponde la normal: con $\sigma$ conocido no hay incertidumbre extra: el estadístico $\dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ es normal exacto si la población lo es

4. Para el $95\%$ con dos colas, los valores de la $t$ con $4$ , $9$ , $19$ , $59$ grados de libertad son $2{,}776$ , $2{,}262$ , $2{,}093$ , $2{,}001$ , y el de la normal es $1{,}96$ . Describí qué le pasa a la $t$ al crecer los grados de libertad y calculá cuánto se acerca a la normal en cada caso.

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1. Ordenamos los valores. $4$ grados: $2{,}776$ · $9$ grados: $2{,}262$ · $19$ grados: $2{,}093$ · $59$ grados: $2{,}001$ · normal: $1{,}96$ .

2. Calculamos la diferencia con la normal en cada caso. $2{,}776 - 1{,}96 = 0{,}816$ · $2{,}262 - 1{,}96 = 0{,}302$ · $2{,}093 - 1{,}96 = 0{,}133$ · $2{,}001 - 1{,}96 = 0{,}041$

3. Describimos la tendencia. Los valores bajan de forma monótona y se van acercando a la normal, sin llegar nunca a cruzarla: la $t$ siempre tiene colas al menos tan anchas como la normal.

4. Explicamos por qué. Con más grados de libertad, $s$ estima mejor a $\sigma$ y la incertidumbre extra se achica. En el límite, conocer $s$ equivale a conocer $\sigma$ .

5. Medimos cuándo deja de importar. Con $59$ grados la diferencia es $0{,}041$ , un $2{,}09\%$ : ya no cambia ninguna conclusión práctica.

6. La regla que queda. Con muestras chicas la elección entre $t$ y normal importa mucho. Con muestras grandes, casi nada.

Respuesta: La $t$ decrece hacia la normal: las diferencias son $0{,}816$ , $0{,}302$ , $0{,}133$ , $0{,}041$

5. En una población normal, la duración de las baterías tiene media $50$ horas. Una muestra de $8$ casos dio promedio $44$ y desvío muestral $8$ . No se conoce el desvío de la población. Calculá el estadístico que corresponde y sus grados de libertad.

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1. Decidimos qué distribución corresponde. Se trabaja sobre una media y el desvío de la población no se conoce: se lo reemplaza por $s$ , así que corresponde la $t$ de Student y no la normal.

2. Escribimos el estadístico. $t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$

3. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{8}{\sqrt{8}} = \dfrac{8}{2{,}8284} \approx 2{,}8284$ horas.

4. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{44 - 50}{2{,}8284} = \dfrac{-6}{2{,}8284} \approx -2{,}1213$

5. Damos los grados de libertad. $n - 1 = 7$ , por la misma razón que en la varianza muestral: la media de la muestra ya se usó para calcular $s$ .

6. Interpretamos. El promedio observado está a $2{,}1213$ errores estándar estimados de la media poblacional, por debajo de ella.

Respuesta: $t = -2{,}1213$ con $7$ grados de libertad

6. Para un nivel del $95\%$ con dos colas, el valor de tabla de la normal es $1{,}96$ y el de la $t$ con $9$ grados de libertad es $2{,}262$ . Explicá por qué la $t$ da un valor más grande y qué consecuencia tiene.

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1. Comparamos los dos valores. $2{,}262 > 1{,}96$ : la $t$ exige ir más lejos del centro para dejar el mismo $2{,}5\%$ en cada cola.

2. Explicamos de dónde viene la diferencia. La normal se usa cuando $\sigma$ se conoce. La $t$ se usa cuando se lo estima con $s$ , y ese reemplazo agrega incertidumbre porque $s$ también varía de muestra en muestra.

3. Traducimos eso a la forma de la curva. La $t$ tiene colas más anchas que la normal. Los valores extremos son más probables bajo la $t$ , y por eso hay que alejarse más para acumular el mismo $95\%$ central.

4. Medimos la diferencia. $2{,}262 - 1{,}96 = 0{,}302$ , un $15{,}41\%$ más. Con $9$ grados de libertad la diferencia es apreciable.

5. Sacamos la consecuencia práctica. Usar la normal cuando corresponde $t$ da intervalos más angostos de lo honesto: parece que se sabe más de lo que se sabe.

6. Qué pasa con muestras grandes. A medida que crecen los grados de libertad la $t$ se acerca a la normal. Con más de $100$ grados la diferencia ya no se nota en el segundo decimal.

Respuesta: La $t$ da $2{,}262$ contra $1{,}96$ de la normal: la diferencia es $0{,}302$ , y viene de la incertidumbre de estimar el desvío

7. Se quiere trabajar sobre la media de una población normal. Decidí qué distribución corresponde: No se conoce el desvío de la población y se lo estima con el de la muestra, que tiene $11$ casos.

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1. Identificamos el parámetro. Se trabaja sobre una media, así que la elección está entre la normal y la $t$ de Student. Si fuera sobre una varianza iría chi cuadrado, y sobre un cociente de varianzas, $F$ .

2. Escribimos la pregunta que separa las dos. Si el desvío de la población se conoce, va la normal. Si hay que estimarlo con $s$ , va la $t$ .

3. Analizamos el caso. Acá reemplazar $\sigma$ por $s$ agrega variabilidad, y la $t$ con $n - 1$ grados de libertad es la que la reconoce.

4. Elegimos. Corresponde la t de Student.

5. Marcamos dónde se paga el error. Con muestras grandes la $t$ y la normal dan casi lo mismo, así que equivocarse casi no se nota. Con muestras chicas la diferencia es grande, y ahí es donde hay que prestar atención.

Respuesta: Corresponde la t de Student: reemplazar $\sigma$ por $s$ agrega variabilidad, y la $t$ con $n - 1$ grados de libertad es la que la reconoce

8. Para el $95\%$ con dos colas, los valores de la $t$ con $2$ , $7$ , $15$ , $39$ grados de libertad son $4{,}303$ , $2{,}365$ , $2{,}131$ , $2{,}023$ , y el de la normal es $1{,}96$ . Describí qué le pasa a la $t$ al crecer los grados de libertad y calculá cuánto se acerca a la normal en cada caso.

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1. Ordenamos los valores. $2$ grados: $4{,}303$ · $7$ grados: $2{,}365$ · $15$ grados: $2{,}131$ · $39$ grados: $2{,}023$ · normal: $1{,}96$ .

2. Calculamos la diferencia con la normal en cada caso. $4{,}303 - 1{,}96 = 2{,}343$ · $2{,}365 - 1{,}96 = 0{,}405$ · $2{,}131 - 1{,}96 = 0{,}171$ · $2{,}023 - 1{,}96 = 0{,}063$

3. Describimos la tendencia. Los valores bajan de forma monótona y se van acercando a la normal, sin llegar nunca a cruzarla: la $t$ siempre tiene colas al menos tan anchas como la normal.

4. Explicamos por qué. Con más grados de libertad, $s$ estima mejor a $\sigma$ y la incertidumbre extra se achica. En el límite, conocer $s$ equivale a conocer $\sigma$ .

5. Medimos cuándo deja de importar. Con $39$ grados la diferencia es $0{,}063$ , un $3{,}21\%$ : ya no cambia ninguna conclusión práctica.

6. La regla que queda. Con muestras chicas la elección entre $t$ y normal importa mucho. Con muestras grandes, casi nada.

Respuesta: La $t$ decrece hacia la normal: las diferencias son $2{,}343$ , $0{,}405$ , $0{,}171$ , $0{,}063$

9. En una población normal, la altura de los alumnos tiene media $80$ cm. Una muestra de $8$ casos dio promedio $73$ y desvío muestral $12$ . No se conoce el desvío de la población. Calculá el estadístico que corresponde y sus grados de libertad.

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1. Decidimos qué distribución corresponde. Se trabaja sobre una media y el desvío de la población no se conoce: se lo reemplaza por $s$ , así que corresponde la $t$ de Student y no la normal.

2. Escribimos el estadístico. $t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$

3. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{12}{\sqrt{8}} = \dfrac{12}{2{,}8284} \approx 4{,}2426$ cm.

4. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{73 - 80}{4{,}2426} = \dfrac{-7}{4{,}2426} \approx -1{,}6499$

5. Damos los grados de libertad. $n - 1 = 7$ , por la misma razón que en la varianza muestral: la media de la muestra ya se usó para calcular $s$ .

6. Interpretamos. El promedio observado está a $1{,}6499$ errores estándar estimados de la media poblacional, por debajo de ella.

Respuesta: $t = -1{,}6499$ con $7$ grados de libertad

10. Para un nivel del $95\%$ con dos colas, el valor de tabla de la normal es $1{,}96$ y el de la $t$ con $19$ grados de libertad es $2{,}093$ . Explicá por qué la $t$ da un valor más grande y qué consecuencia tiene.

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1. Comparamos los dos valores. $2{,}093 > 1{,}96$ : la $t$ exige ir más lejos del centro para dejar el mismo $2{,}5\%$ en cada cola.

2. Explicamos de dónde viene la diferencia. La normal se usa cuando $\sigma$ se conoce. La $t$ se usa cuando se lo estima con $s$ , y ese reemplazo agrega incertidumbre porque $s$ también varía de muestra en muestra.

3. Traducimos eso a la forma de la curva. La $t$ tiene colas más anchas que la normal. Los valores extremos son más probables bajo la $t$ , y por eso hay que alejarse más para acumular el mismo $95\%$ central.

4. Medimos la diferencia. $2{,}093 - 1{,}96 = 0{,}133$ , un $6{,}79\%$ más. Con $19$ grados de libertad la diferencia es chica, porque la muestra ya es grande.

5. Sacamos la consecuencia práctica. Usar la normal cuando corresponde $t$ da intervalos más angostos de lo honesto: parece que se sabe más de lo que se sabe.

6. Qué pasa con muestras grandes. A medida que crecen los grados de libertad la $t$ se acerca a la normal. Con más de $100$ grados la diferencia ya no se nota en el segundo decimal.

Respuesta: La $t$ da $2{,}093$ contra $1{,}96$ de la normal: la diferencia es $0{,}133$ , y viene de la incertidumbre de estimar el desvío

11. Se quiere trabajar sobre la media de una población normal. Decidí qué distribución corresponde: No se conoce el desvío de la población y la muestra tiene $500$ casos.

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1. Identificamos el parámetro. Se trabaja sobre una media, así que la elección está entre la normal y la $t$ de Student. Si fuera sobre una varianza iría chi cuadrado, y sobre un cociente de varianzas, $F$ .

2. Escribimos la pregunta que separa las dos. Si el desvío de la población se conoce, va la normal. Si hay que estimarlo con $s$ , va la $t$ .

3. Analizamos el caso. Acá formalmente corresponde $t$ porque $\sigma$ se estima, pero con $499$ grados de libertad la $t$ y la normal casi coinciden.

4. Elegimos. Corresponde la t de Student, aunque la normal daría casi lo mismo.

5. Marcamos dónde se paga el error. Con muestras grandes la $t$ y la normal dan casi lo mismo, así que equivocarse casi no se nota. Con muestras chicas la diferencia es grande, y ahí es donde hay que prestar atención.

Respuesta: Corresponde la t de Student, aunque la normal daría casi lo mismo: formalmente corresponde $t$ porque $\sigma$ se estima, pero con $499$ grados de libertad la $t$ y la normal casi coinciden

12. Para el $95\%$ con dos colas, los valores de la $t$ con $5$ , $12$ , $24$ , $100$ grados de libertad son $2{,}571$ , $2{,}179$ , $2{,}064$ , $1{,}984$ , y el de la normal es $1{,}96$ . Describí qué le pasa a la $t$ al crecer los grados de libertad y calculá cuánto se acerca a la normal en cada caso.

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1. Ordenamos los valores. $5$ grados: $2{,}571$ · $12$ grados: $2{,}179$ · $24$ grados: $2{,}064$ · $100$ grados: $1{,}984$ · normal: $1{,}96$ .

2. Calculamos la diferencia con la normal en cada caso. $2{,}571 - 1{,}96 = 0{,}611$ · $2{,}179 - 1{,}96 = 0{,}219$ · $2{,}064 - 1{,}96 = 0{,}104$ · $1{,}984 - 1{,}96 = 0{,}024$

3. Describimos la tendencia. Los valores bajan de forma monótona y se van acercando a la normal, sin llegar nunca a cruzarla: la $t$ siempre tiene colas al menos tan anchas como la normal.

4. Explicamos por qué. Con más grados de libertad, $s$ estima mejor a $\sigma$ y la incertidumbre extra se achica. En el límite, conocer $s$ equivale a conocer $\sigma$ .

5. Medimos cuándo deja de importar. Con $100$ grados la diferencia es $0{,}024$ , un $1{,}22\%$ : ya no cambia ninguna conclusión práctica.

6. La regla que queda. Con muestras chicas la elección entre $t$ y normal importa mucho. Con muestras grandes, casi nada.

Respuesta: La $t$ decrece hacia la normal: las diferencias son $0{,}611$ , $0{,}219$ , $0{,}104$ , $0{,}024$