Ejercicios: La F de Fisher

1. Dos muestras independientes de poblaciones normales dieron varianzas muestrales $s^{2}_1 = 81$ con $13$ casos y $s^{2}_2 = 225$ con $15$ casos. Calculá el estadístico $F$ y sus dos grados de libertad.

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1. Escribimos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2}$ , que sigue una distribución $F$ de Fisher cuando las dos poblaciones son normales.

2. Calculamos el cociente. $F = \dfrac{81}{225} = 0{,}36$

3. Damos los grados de libertad. Del numerador: $n_1 - 1 = 12$ . Del denominador: $n_2 - 1 = 14$ . Se escribe $F_{12; 14}$ .

4. Marcamos que el orden importa. $F_{12; 14}$ no es lo mismo que $F_{14; 12}$ . Los dos parámetros no son intercambiables, y el error no se nota mirando el resultado.

5. Verificamos el sentido. $F = 0{,}36$ es positivo, como tiene que ser: es un cociente de dos cantidades positivas. La $F$ nunca toma valores negativos.

6. Interpretamos. La primera muestra tiene una varianza $0{,}36$ veces la de la segunda. Si las dos poblaciones tuvieran la misma varianza, el cociente rondaría $1$ .

Respuesta: $F = 0{,}36$ con $12$ y $14$ grados de libertad

2. De tabla, $F_{0{,}95}(12; 5) = 4{,}678$ . Usando la propiedad de reciprocidad, hallá $F_{0{,}05}(5; 12)$ .

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1. Escribimos la propiedad. $F_{0{,}05}(\nu_1; \nu_2) = \dfrac{1}{F_{0{,}95}(\nu_2; \nu_1)}$ . Las tablas suelen traer solo la cola derecha, y esta relación permite obtener la izquierda.

2. Identificamos los grados de libertad. Se busca la cola izquierda con $5$ y $12$ , así que hay que usar la cola derecha con los grados invertidos: $12$ y $5$ .

3. Reemplazamos. $F_{0{,}05}(5; 12) = \dfrac{1}{4{,}678} \approx 0{,}2138$

4. Verificamos el sentido. $0{,}2138 < 1 < 4{,}678$ : la cola izquierda queda por debajo de $1$ y la derecha por encima, como corresponde a una distribución de cocientes centrada cerca de uno.

5. Marcamos el error más común. Invertir el valor sin invertir los grados de libertad. $\dfrac{1}{F_{0{,}95}(5; 12)} = \dfrac{1}{3{,}106} \approx 0{,}322$ , que es otro número y está mal.

6. Por qué la $F$ no es simétrica. Es un cociente de cantidades positivas, así que va de cero a infinito y está torcida hacia la derecha. Por eso las dos colas no se obtienen una de la otra por simetría, como en la normal.

Respuesta: $F_{0{,}05}(5; 12) = 0{,}2138$

3. Dos muestras de poblaciones normales dieron $s^{2}_1 = 49$ con $21$ casos y $s^{2}_2 = 169$ con $25$ casos. De tabla, $F_{0{,}95}(20; 24) = 2{,}027$ . Calculá el cociente observado y decidí si supera el valor de tabla.

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1. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{49}{169} \approx 0{,}2899$ , con $20$ y $24$ grados de libertad.

2. Ubicamos el valor de tabla. $F_{0{,}95}(20; 24) = 2{,}027$ deja el $5\%$ de la distribución a su derecha.

3. Comparamos. $0{,}2899$ no supera a $2{,}027$ .

4. Interpretamos. El cociente observado es compatible con que las dos varianzas poblacionales sean iguales: queda dentro del rango esperable por azar.

5. Verificamos que los grados estén en el orden correcto. El numerador tiene $20$ grados y el denominador $24$ , en ese orden. El valor de tabla con los grados invertidos sería $F_{0{,}95}(24; 20) = 2{,}0825$ , distinto.

6. Para qué se usa esta comparación. Es la base del test de igualdad de varianzas, que se ve en el volumen siguiente. Acá interesa el manejo de la distribución, no la decisión formal.

Respuesta: $F = 0{,}2899$ contra un valor de tabla de $2{,}027$ : no lo supera

4. De tabla, $F_{0{,}95}(4; 12) = 3{,}259$ y $F_{0{,}95}(12; 4) = 5{,}912$ . Mostrá con estos números que los dos grados de libertad no son intercambiables y explicá qué significa cada uno.

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1. Comparamos los dos valores. $3{,}259$ contra $5{,}912$ : son distintos, y la diferencia es de $2{,}653$ .

2. Identificamos qué es cada parámetro. El primero son los grados de libertad del numerador, o sea de la muestra cuya varianza va arriba. El segundo, los del denominador.

3. Explicamos por qué importa el orden. La $F$ es el cociente de dos varianzas, y no es lo mismo poner arriba la que viene de una muestra chica que la que viene de una grande. Las varianzas estimadas con pocos datos varían mucho más, y eso ensancha la distribución.

4. Vemos cuál da el valor más alto. El más alto es $5{,}912$ , que corresponde a tener menos grados de libertad en el numerador: más incertidumbre arriba estira la cola derecha.

5. Verificamos con la reciprocidad. $F_{0{,}05}(4; 12) = \dfrac{1}{5{,}912} \approx 0{,}1691$ , que es la cola izquierda de la primera distribución.

6. La consecuencia práctica. Buscar en la tabla con los grados invertidos da un número plausible y equivocado. Nada en el resultado avisa del error, así que hay que anotar cuál muestra va arriba antes de buscar.

Respuesta: $F_{0{,}95}(4; 12) = 3{,}259$ y $F_{0{,}95}(12; 4) = 5{,}912$ : no son intercambiables

5. Dos muestras independientes de poblaciones normales dieron varianzas muestrales $s^{2}_1 = 25$ con $10$ casos y $s^{2}_2 = 121$ con $15$ casos. Calculá el estadístico $F$ y sus dos grados de libertad.

Ver solución

1. Escribimos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2}$ , que sigue una distribución $F$ de Fisher cuando las dos poblaciones son normales.

2. Calculamos el cociente. $F = \dfrac{25}{121} \approx 0{,}2066$

3. Damos los grados de libertad. Del numerador: $n_1 - 1 = 9$ . Del denominador: $n_2 - 1 = 14$ . Se escribe $F_{9; 14}$ .

4. Marcamos que el orden importa. $F_{9; 14}$ no es lo mismo que $F_{14; 9}$ . Los dos parámetros no son intercambiables, y el error no se nota mirando el resultado.

5. Verificamos el sentido. $F = 0{,}2066$ es positivo, como tiene que ser: es un cociente de dos cantidades positivas. La $F$ nunca toma valores negativos.

6. Interpretamos. La primera muestra tiene una varianza $0{,}2066$ veces la de la segunda. Si las dos poblaciones tuvieran la misma varianza, el cociente rondaría $1$ .

Respuesta: $F = 0{,}2066$ con $9$ y $14$ grados de libertad

6. De tabla, $F_{0{,}95}(10; 8) = 3{,}347$ . Usando la propiedad de reciprocidad, hallá $F_{0{,}05}(8; 10)$ .

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1. Escribimos la propiedad. $F_{0{,}05}(\nu_1; \nu_2) = \dfrac{1}{F_{0{,}95}(\nu_2; \nu_1)}$ . Las tablas suelen traer solo la cola derecha, y esta relación permite obtener la izquierda.

2. Identificamos los grados de libertad. Se busca la cola izquierda con $8$ y $10$ , así que hay que usar la cola derecha con los grados invertidos: $10$ y $8$ .

3. Reemplazamos. $F_{0{,}05}(8; 10) = \dfrac{1}{3{,}347} \approx 0{,}2988$

4. Verificamos el sentido. $0{,}2988 < 1 < 3{,}347$ : la cola izquierda queda por debajo de $1$ y la derecha por encima, como corresponde a una distribución de cocientes centrada cerca de uno.

5. Marcamos el error más común. Invertir el valor sin invertir los grados de libertad. $\dfrac{1}{F_{0{,}95}(8; 10)} = \dfrac{1}{3{,}072} \approx 0{,}3255$ , que es otro número y está mal.

6. Por qué la $F$ no es simétrica. Es un cociente de cantidades positivas, así que va de cero a infinito y está torcida hacia la derecha. Por eso las dos colas no se obtienen una de la otra por simetría, como en la normal.

Respuesta: $F_{0{,}05}(8; 10) = 0{,}2988$

7. Dos muestras de poblaciones normales dieron $s^{2}_1 = 196$ con $16$ casos y $s^{2}_2 = 169$ con $25$ casos. De tabla, $F_{0{,}95}(15; 24) = 2{,}108$ . Calculá el cociente observado y decidí si supera el valor de tabla.

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1. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{196}{169} \approx 1{,}1598$ , con $15$ y $24$ grados de libertad.

2. Ubicamos el valor de tabla. $F_{0{,}95}(15; 24) = 2{,}108$ deja el $5\%$ de la distribución a su derecha.

3. Comparamos. $1{,}1598$ no supera a $2{,}108$ .

4. Interpretamos. El cociente observado es compatible con que las dos varianzas poblacionales sean iguales: queda dentro del rango esperable por azar.

5. Verificamos que los grados estén en el orden correcto. El numerador tiene $15$ grados y el denominador $24$ , en ese orden. El valor de tabla con los grados invertidos sería $F_{0{,}95}(24; 15) = 2{,}2878$ , distinto.

6. Para qué se usa esta comparación. Es la base del test de igualdad de varianzas, que se ve en el volumen siguiente. Acá interesa el manejo de la distribución, no la decisión formal.

Respuesta: $F = 1{,}1598$ contra un valor de tabla de $2{,}108$ : no lo supera

8. De tabla, $F_{0{,}95}(8; 15) = 2{,}641$ y $F_{0{,}95}(15; 8) = 3{,}218$ . Mostrá con estos números que los dos grados de libertad no son intercambiables y explicá qué significa cada uno.

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1. Comparamos los dos valores. $2{,}641$ contra $3{,}218$ : son distintos, y la diferencia es de $0{,}577$ .

2. Identificamos qué es cada parámetro. El primero son los grados de libertad del numerador, o sea de la muestra cuya varianza va arriba. El segundo, los del denominador.

3. Explicamos por qué importa el orden. La $F$ es el cociente de dos varianzas, y no es lo mismo poner arriba la que viene de una muestra chica que la que viene de una grande. Las varianzas estimadas con pocos datos varían mucho más, y eso ensancha la distribución.

4. Vemos cuál da el valor más alto. El más alto es $3{,}218$ , que corresponde a tener menos grados de libertad en el numerador: más incertidumbre arriba estira la cola derecha.

5. Verificamos con la reciprocidad. $F_{0{,}05}(8; 15) = \dfrac{1}{3{,}218} \approx 0{,}3108$ , que es la cola izquierda de la primera distribución.

6. La consecuencia práctica. Buscar en la tabla con los grados invertidos da un número plausible y equivocado. Nada en el resultado avisa del error, así que hay que anotar cuál muestra va arriba antes de buscar.

Respuesta: $F_{0{,}95}(8; 15) = 2{,}641$ y $F_{0{,}95}(15; 8) = 3{,}218$ : no son intercambiables

9. Dos muestras independientes de poblaciones normales dieron varianzas muestrales $s^{2}_1 = 64$ con $16$ casos y $s^{2}_2 = 225$ con $12$ casos. Calculá el estadístico $F$ y sus dos grados de libertad.

Ver solución

1. Escribimos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2}$ , que sigue una distribución $F$ de Fisher cuando las dos poblaciones son normales.

2. Calculamos el cociente. $F = \dfrac{64}{225} \approx 0{,}2844$

3. Damos los grados de libertad. Del numerador: $n_1 - 1 = 15$ . Del denominador: $n_2 - 1 = 11$ . Se escribe $F_{15; 11}$ .

4. Marcamos que el orden importa. $F_{15; 11}$ no es lo mismo que $F_{11; 15}$ . Los dos parámetros no son intercambiables, y el error no se nota mirando el resultado.

5. Verificamos el sentido. $F = 0{,}2844$ es positivo, como tiene que ser: es un cociente de dos cantidades positivas. La $F$ nunca toma valores negativos.

6. Interpretamos. La primera muestra tiene una varianza $0{,}2844$ veces la de la segunda. Si las dos poblaciones tuvieran la misma varianza, el cociente rondaría $1$ .

Respuesta: $F = 0{,}2844$ con $15$ y $11$ grados de libertad

10. De tabla, $F_{0{,}95}(10; 6) = 4{,}06$ . Usando la propiedad de reciprocidad, hallá $F_{0{,}05}(6; 10)$ .

Ver solución

1. Escribimos la propiedad. $F_{0{,}05}(\nu_1; \nu_2) = \dfrac{1}{F_{0{,}95}(\nu_2; \nu_1)}$ . Las tablas suelen traer solo la cola derecha, y esta relación permite obtener la izquierda.

2. Identificamos los grados de libertad. Se busca la cola izquierda con $6$ y $10$ , así que hay que usar la cola derecha con los grados invertidos: $10$ y $6$ .

3. Reemplazamos. $F_{0{,}05}(6; 10) = \dfrac{1}{4{,}06} \approx 0{,}2463$

4. Verificamos el sentido. $0{,}2463 < 1 < 4{,}06$ : la cola izquierda queda por debajo de $1$ y la derecha por encima, como corresponde a una distribución de cocientes centrada cerca de uno.

5. Marcamos el error más común. Invertir el valor sin invertir los grados de libertad. $\dfrac{1}{F_{0{,}95}(6; 10)} = \dfrac{1}{3{,}217} \approx 0{,}3108$ , que es otro número y está mal.

6. Por qué la $F$ no es simétrica. Es un cociente de cantidades positivas, así que va de cero a infinito y está torcida hacia la derecha. Por eso las dos colas no se obtienen una de la otra por simetría, como en la normal.

Respuesta: $F_{0{,}05}(6; 10) = 0{,}2463$

11. Dos muestras de poblaciones normales dieron $s^{2}_1 = 25$ con $10$ casos y $s^{2}_2 = 25$ con $16$ casos. De tabla, $F_{0{,}95}(9; 15) = 2{,}588$ . Calculá el cociente observado y decidí si supera el valor de tabla.

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1. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{25}{25} = 1$ , con $9$ y $15$ grados de libertad.

2. Ubicamos el valor de tabla. $F_{0{,}95}(9; 15) = 2{,}588$ deja el $5\%$ de la distribución a su derecha.

3. Comparamos. $1$ no supera a $2{,}588$ .

4. Interpretamos. El cociente observado es compatible con que las dos varianzas poblacionales sean iguales: queda dentro del rango esperable por azar.

5. Verificamos que los grados estén en el orden correcto. El numerador tiene $9$ grados y el denominador $15$ , en ese orden. El valor de tabla con los grados invertidos sería $F_{0{,}95}(15; 9) = 3{,}0061$ , distinto.

6. Para qué se usa esta comparación. Es la base del test de igualdad de varianzas, que se ve en el volumen siguiente. Acá interesa el manejo de la distribución, no la decisión formal.

Respuesta: $F = 1$ contra un valor de tabla de $2{,}588$ : no lo supera

12. De tabla, $F_{0{,}95}(5; 10) = 3{,}326$ y $F_{0{,}95}(10; 5) = 4{,}735$ . Mostrá con estos números que los dos grados de libertad no son intercambiables y explicá qué significa cada uno.

Ver solución

1. Comparamos los dos valores. $3{,}326$ contra $4{,}735$ : son distintos, y la diferencia es de $1{,}409$ .

2. Identificamos qué es cada parámetro. El primero son los grados de libertad del numerador, o sea de la muestra cuya varianza va arriba. El segundo, los del denominador.

3. Explicamos por qué importa el orden. La $F$ es el cociente de dos varianzas, y no es lo mismo poner arriba la que viene de una muestra chica que la que viene de una grande. Las varianzas estimadas con pocos datos varían mucho más, y eso ensancha la distribución.

4. Vemos cuál da el valor más alto. El más alto es $4{,}735$ , que corresponde a tener menos grados de libertad en el numerador: más incertidumbre arriba estira la cola derecha.

5. Verificamos con la reciprocidad. $F_{0{,}05}(5; 10) = \dfrac{1}{4{,}735} \approx 0{,}2112$ , que es la cola izquierda de la primera distribución.

6. La consecuencia práctica. Buscar en la tabla con los grados invertidos da un número plausible y equivocado. Nada en el resultado avisa del error, así que hay que anotar cuál muestra va arriba antes de buscar.

Respuesta: $F_{0{,}95}(5; 10) = 3{,}326$ y $F_{0{,}95}(10; 5) = 4{,}735$ : no son intercambiables