Ejercicios: Cuál distribución corresponde

1. Decidí qué distribución corresponde y con cuántos grados de libertad: Se trabaja sobre la media de una población normal, con $\sigma$ conocido igual a $8$ y una muestra de $10$ casos.

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1. Primera pregunta: sobre qué parámetro se trabaja. Si es una media, va normal o $t$ . Si es una varianza, chi cuadrado. Si es un cociente de dos varianzas, $F$ .

2. Segunda pregunta, si es sobre una media. Se conoce el desvío de la población o hay que estimarlo con el de la muestra. Con $\sigma$ conocido va la normal; con $\sigma$ estimado, la $t$ .

3. Analizamos el caso. Acá el parámetro es una media y el desvío poblacional se conoce, así que $\dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ es normal.

4. Elegimos la distribución. Corresponde la normal.

5. Damos los grados de libertad. No lleva grados de libertad.

6. El control final. Las cuatro distribuciones devuelven un número plausible aunque se elija mal. La elección se justifica antes de calcular, no después de mirar el resultado.

Respuesta: Corresponde la normal, no lleva grados de libertad

2. Una muestra de $25$ casos de una población normal con media $50$ dio promedio $56$ y desvío muestral $6$ . Calculá el estadístico en dos escenarios: si además se supiera que $\sigma = 8$ , y si no se supiera. Indicá qué distribución corresponde en cada caso.

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1. Escenario con $\sigma$ conocido. Corresponde la normal: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ .

2. Calculamos. $\dfrac{8}{\sqrt{25}} = 1{,}6$ , así que $z = \dfrac{56 - 50}{1{,}6} = 3{,}75$ .

3. Escenario con $\sigma$ desconocido. Corresponde la $t$ con $24$ grados de libertad: $t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$ .

4. Calculamos. $\dfrac{6}{\sqrt{25}} = 1{,}2$ , así que $t = \dfrac{56 - 50}{1{,}2} = 5$ .

5. Comparamos. Los dos estadísticos difieren porque en el denominador va un desvío distinto: $8$ contra $6$ . Pero la diferencia de fondo no es esa: es que se comparan contra distribuciones distintas.

6. Dónde se nota la elección. Al buscar el valor de tabla. Para el $95\%$ con dos colas, la normal da $1{,}96$ y la $t$ con $24$ grados da $2{,}0639$ .

Respuesta: Con $\sigma$ conocido, normal y $z = 3{,}75$ . Con $\sigma$ estimado, $t$ con $24$ grados y $t = 5$

3. De una población normal con varianza $100$ se toma una muestra de $20$ casos, con varianza muestral $78$ . Elegí la distribución que corresponde, calculá el estadístico y explicá por qué no se usa la normal.

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1. Identificamos el parámetro. Se trabaja sobre una varianza, no sobre una media. Eso descarta la normal y la $t$ .

2. Elegimos la distribución. Corresponde la chi cuadrado, porque $\dfrac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue esa distribución cuando la población es normal.

3. Calculamos el estadístico. $\dfrac{19 \cdot 78}{100} = 14{,}82$ , con $19$ grados de libertad.

4. Explicamos por qué no va la normal. La varianza muestral es una suma de cuadrados: no puede ser negativa y su distribución está torcida hacia la derecha. La normal es simétrica y admite valores negativos, así que no la representa.

5. Verificamos el sentido. El estadístico da positivo y queda por debajo de $19$ , que es el centro aproximado de una chi cuadrado con esos grados.

6. Qué habría cambiado la elección. Si la pregunta fuera sobre la media, iría normal o $t$ . Si fuera sobre el cociente de dos varianzas, $F$ . El parámetro decide, no el tamaño de la muestra.

Respuesta: Corresponde la chi cuadrado con $19$ grados de libertad, y el estadístico vale $14{,}82$

4. Se quiere comparar la dispersión de dos poblaciones normales. Las muestras tienen $13$ y $9$ casos, con desvíos muestrales $5$ y $9$ . Elegí la distribución, calculá el estadístico y dá los grados de libertad en el orden correcto.

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1. Identificamos el parámetro. Se comparan dos varianzas, así que el parámetro de interés es su cociente. Eso descarta la normal, la $t$ y la chi cuadrado.

2. Elegimos la distribución. Corresponde la $F$ de Fisher, que es la distribución del cociente de dos varianzas muestrales de poblaciones normales.

3. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2} = \dfrac{25}{81} \approx 0{,}3086$

4. Damos los grados de libertad en orden. Numerador: $12$ . Denominador: $8$ . Se anota $F_{12; 8}$ , y el orden no se puede invertir.

5. Interpretamos. La primera muestra tiene una varianza $0{,}3086$ veces la de la segunda. Si las dos poblaciones tuvieran la misma dispersión, el cociente rondaría $1$ .

6. El resumen de las cuatro. Media con $\sigma$ conocido: normal. Media con $\sigma$ estimado: $t$ . Varianza: chi cuadrado. Cociente de varianzas: $F$ .

Respuesta: Corresponde la $F$ de Fisher, con $F = 0{,}3086$ y $12$ y $8$ grados de libertad

5. Decidí qué distribución corresponde y con cuántos grados de libertad: Se trabaja sobre la media de una población normal, con $\sigma$ desconocido y una muestra de $12$ casos.

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1. Primera pregunta: sobre qué parámetro se trabaja. Si es una media, va normal o $t$ . Si es una varianza, chi cuadrado. Si es un cociente de dos varianzas, $F$ .

2. Segunda pregunta, si es sobre una media. Se conoce el desvío de la población o hay que estimarlo con el de la muestra. Con $\sigma$ conocido va la normal; con $\sigma$ estimado, la $t$ .

3. Analizamos el caso. Acá el parámetro es una media y hay que estimar el desvío con $s$ .

4. Elegimos la distribución. Corresponde la $t$ de Student.

5. Damos los grados de libertad. Con $11$ grados de libertad.

6. El control final. Las cuatro distribuciones devuelven un número plausible aunque se elija mal. La elección se justifica antes de calcular, no después de mirar el resultado.

Respuesta: Corresponde la $t$ de Student, con $11$ grados de libertad

6. Una muestra de $25$ casos de una población normal con media $120$ dio promedio $117$ y desvío muestral $10$ . Calculá el estadístico en dos escenarios: si además se supiera que $\sigma = 10$ , y si no se supiera. Indicá qué distribución corresponde en cada caso.

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1. Escenario con $\sigma$ conocido. Corresponde la normal: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ .

2. Calculamos. $\dfrac{10}{\sqrt{25}} = 2$ , así que $z = \dfrac{117 - 120}{2} = -1{,}5$ .

3. Escenario con $\sigma$ desconocido. Corresponde la $t$ con $24$ grados de libertad: $t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$ .

4. Calculamos. $\dfrac{10}{\sqrt{25}} = 2$ , así que $t = \dfrac{117 - 120}{2} = -1{,}5$ .

5. Comparamos. Los dos estadísticos difieren porque en el denominador va un desvío distinto: $10$ contra $10$ . Pero la diferencia de fondo no es esa: es que se comparan contra distribuciones distintas.

6. Dónde se nota la elección. Al buscar el valor de tabla. Para el $95\%$ con dos colas, la normal da $1{,}96$ y la $t$ con $24$ grados da $2{,}0639$ .

Respuesta: Con $\sigma$ conocido, normal y $z = -1{,}5$ . Con $\sigma$ estimado, $t$ con $24$ grados y $t = -1{,}5$

7. De una población normal con varianza $81$ se toma una muestra de $16$ casos, con varianza muestral $73$ . Elegí la distribución que corresponde, calculá el estadístico y explicá por qué no se usa la normal.

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1. Identificamos el parámetro. Se trabaja sobre una varianza, no sobre una media. Eso descarta la normal y la $t$ .

2. Elegimos la distribución. Corresponde la chi cuadrado, porque $\dfrac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue esa distribución cuando la población es normal.

3. Calculamos el estadístico. $\dfrac{15 \cdot 73}{81} \approx 13{,}5185$ , con $15$ grados de libertad.

4. Explicamos por qué no va la normal. La varianza muestral es una suma de cuadrados: no puede ser negativa y su distribución está torcida hacia la derecha. La normal es simétrica y admite valores negativos, así que no la representa.

5. Verificamos el sentido. El estadístico da positivo y queda por debajo de $15$ , que es el centro aproximado de una chi cuadrado con esos grados.

6. Qué habría cambiado la elección. Si la pregunta fuera sobre la media, iría normal o $t$ . Si fuera sobre el cociente de dos varianzas, $F$ . El parámetro decide, no el tamaño de la muestra.

Respuesta: Corresponde la chi cuadrado con $15$ grados de libertad, y el estadístico vale $13{,}5185$

8. Se quiere comparar la dispersión de dos poblaciones normales. Las muestras tienen $10$ y $14$ casos, con desvíos muestrales $13$ y $7$ . Elegí la distribución, calculá el estadístico y dá los grados de libertad en el orden correcto.

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1. Identificamos el parámetro. Se comparan dos varianzas, así que el parámetro de interés es su cociente. Eso descarta la normal, la $t$ y la chi cuadrado.

2. Elegimos la distribución. Corresponde la $F$ de Fisher, que es la distribución del cociente de dos varianzas muestrales de poblaciones normales.

3. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2} = \dfrac{169}{49} \approx 3{,}449$

4. Damos los grados de libertad en orden. Numerador: $9$ . Denominador: $13$ . Se anota $F_{9; 13}$ , y el orden no se puede invertir.

5. Interpretamos. La primera muestra tiene una varianza $3{,}449$ veces la de la segunda. Si las dos poblaciones tuvieran la misma dispersión, el cociente rondaría $1$ .

6. El resumen de las cuatro. Media con $\sigma$ conocido: normal. Media con $\sigma$ estimado: $t$ . Varianza: chi cuadrado. Cociente de varianzas: $F$ .

Respuesta: Corresponde la $F$ de Fisher, con $F = 3{,}449$ y $9$ y $13$ grados de libertad

9. Decidí qué distribución corresponde y con cuántos grados de libertad: Se trabaja sobre la varianza de una población normal, con una muestra de $15$ casos.

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1. Primera pregunta: sobre qué parámetro se trabaja. Si es una media, va normal o $t$ . Si es una varianza, chi cuadrado. Si es un cociente de dos varianzas, $F$ .

2. Segunda pregunta, si es sobre una media. Se conoce el desvío de la población o hay que estimarlo con el de la muestra. Con $\sigma$ conocido va la normal; con $\sigma$ estimado, la $t$ .

3. Analizamos el caso. Acá el parámetro es una varianza, y $\dfrac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue una chi cuadrado.

4. Elegimos la distribución. Corresponde la chi cuadrado.

5. Damos los grados de libertad. Con $14$ grados de libertad.

6. El control final. Las cuatro distribuciones devuelven un número plausible aunque se elija mal. La elección se justifica antes de calcular, no después de mirar el resultado.

Respuesta: Corresponde la chi cuadrado, con $14$ grados de libertad

10. Una muestra de $12$ casos de una población normal con media $50$ dio promedio $55$ y desvío muestral $14$ . Calculá el estadístico en dos escenarios: si además se supiera que $\sigma = 8$ , y si no se supiera. Indicá qué distribución corresponde en cada caso.

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1. Escenario con $\sigma$ conocido. Corresponde la normal: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ .

2. Calculamos. $\dfrac{8}{\sqrt{12}} = 2{,}3094$ , así que $z = \dfrac{55 - 50}{2{,}3094} \approx 2{,}1651$ .

3. Escenario con $\sigma$ desconocido. Corresponde la $t$ con $11$ grados de libertad: $t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$ .

4. Calculamos. $\dfrac{14}{\sqrt{12}} = 4{,}0415$ , así que $t = \dfrac{55 - 50}{4{,}0415} \approx 1{,}2372$ .

5. Comparamos. Los dos estadísticos difieren porque en el denominador va un desvío distinto: $8$ contra $14$ . Pero la diferencia de fondo no es esa: es que se comparan contra distribuciones distintas.

6. Dónde se nota la elección. Al buscar el valor de tabla. Para el $95\%$ con dos colas, la normal da $1{,}96$ y la $t$ con $11$ grados da $2{,}201$ .

Respuesta: Con $\sigma$ conocido, normal y $z = 2{,}1651$ . Con $\sigma$ estimado, $t$ con $11$ grados y $t = 1{,}2372$

11. De una población normal con varianza $64$ se toma una muestra de $25$ casos, con varianza muestral $89$ . Elegí la distribución que corresponde, calculá el estadístico y explicá por qué no se usa la normal.

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1. Identificamos el parámetro. Se trabaja sobre una varianza, no sobre una media. Eso descarta la normal y la $t$ .

2. Elegimos la distribución. Corresponde la chi cuadrado, porque $\dfrac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue esa distribución cuando la población es normal.

3. Calculamos el estadístico. $\dfrac{24 \cdot 89}{64} = 33{,}375$ , con $24$ grados de libertad.

4. Explicamos por qué no va la normal. La varianza muestral es una suma de cuadrados: no puede ser negativa y su distribución está torcida hacia la derecha. La normal es simétrica y admite valores negativos, así que no la representa.

5. Verificamos el sentido. El estadístico da positivo y queda por encima de $24$ , que es el centro aproximado de una chi cuadrado con esos grados.

6. Qué habría cambiado la elección. Si la pregunta fuera sobre la media, iría normal o $t$ . Si fuera sobre el cociente de dos varianzas, $F$ . El parámetro decide, no el tamaño de la muestra.

Respuesta: Corresponde la chi cuadrado con $24$ grados de libertad, y el estadístico vale $33{,}375$

12. Se quiere comparar la dispersión de dos poblaciones normales. Las muestras tienen $8$ y $11$ casos, con desvíos muestrales $14$ y $14$ . Elegí la distribución, calculá el estadístico y dá los grados de libertad en el orden correcto.

Ver solución

1. Identificamos el parámetro. Se comparan dos varianzas, así que el parámetro de interés es su cociente. Eso descarta la normal, la $t$ y la chi cuadrado.

2. Elegimos la distribución. Corresponde la $F$ de Fisher, que es la distribución del cociente de dos varianzas muestrales de poblaciones normales.

3. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2} = \dfrac{196}{196} = 1$

4. Damos los grados de libertad en orden. Numerador: $7$ . Denominador: $10$ . Se anota $F_{7; 10}$ , y el orden no se puede invertir.

5. Interpretamos. La primera muestra tiene una varianza $1$ veces la de la segunda. Si las dos poblaciones tuvieran la misma dispersión, el cociente rondaría $1$ .

6. El resumen de las cuatro. Media con $\sigma$ conocido: normal. Media con $\sigma$ estimado: $t$ . Varianza: chi cuadrado. Cociente de varianzas: $F$ .

Respuesta: Corresponde la $F$ de Fisher, con $F = 1$ y $7$ y $10$ grados de libertad