Ejercicios: Estimación puntual y propiedades

1. Se relevó el peso de los envases en una muestra de $8$ casos: $38$ ; $41$ ; $47$ ; $59$ ; $60$ ; $61$ ; $64$ ; $70$ gramos. Estimá puntualmente la media poblacional, la varianza poblacional y la proporción de casos que superan $55$ gramos.

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1. Estimamos la media. El estimador es $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = \dfrac{440}{8} = 55$ gramos.

2. Estimamos la varianza. $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1} = \dfrac{932}{7} \approx 133{,}1429$ , y $s = 11{,}5388$ gramos.

3. Estimamos la proporción. Superan $55$ un total de $5$ casos: $\hat{p} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$ .

4. Distinguimos estimador de estimación. $\bar{x}$ , $s^{2}$ y $\hat{p}$ son estimadores: fórmulas que se aplican a cualquier muestra. Los números $55$ , $133{,}1429$ y $0{,}625$ son las estimaciones que salieron de esta muestra.

5. Marcamos lo que falta. Ninguna de las tres dice cuánto puede fallar. Un estimador puntual sin una medida de su error informa la mitad del resultado, y por eso el paso siguiente son los intervalos de confianza.

Respuesta: $\bar{x} = 55$ , $s^{2} = 133{,}1429$ y $\hat{p} = 0{,}625$

2. En un informe aparecen dos cosas: la fórmula $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$ y el número $172{,}3$ cm, obtenido al aplicarla a una muestra concreta. Decidí cuál es el estimador y cuál la estimación, y explicá por qué la distinción importa.

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1. Definimos estimador. Es una fórmula, o sea una regla que se aplica a los datos de la muestra. Antes de tomar la muestra no es un número: es una variable aleatoria, porque su valor depende de qué muestra toque.

2. Definimos estimación. Es el número concreto que sale al aplicar el estimador a una muestra particular. Ya no varía: es un dato.

3. Clasificamos los dos elementos del enunciado. La fórmula es el estimador. El número $172{,}3$ cm es la estimación.

4. Explicamos por qué importa. Solo el estimador tiene distribución, esperanza y varianza. Preguntar si la estimación es insesgada no tiene sentido: la insesgadez es una propiedad de la fórmula, no del número.

5. Vemos dónde se usa la distinción. Cuando se dice que el promedio muestral es insesgado se habla del estimador. Cuando se informa un resultado se da la estimación, y ahí hace falta acompañarla con su error.

Respuesta: La fórmula es el estimador y $172{,}3$ cm es la estimación

3. Una muestra de $8$ casos de el gasto mensual dio $26$ ; $31$ ; $34$ ; $35$ ; $45$ ; $52$ ; $53$ ; $55$ miles de pesos. Calculá la varianza dividiendo por $n$ y dividiendo por $n - 1$ , y explicá cuál es el estimador insesgado de la varianza poblacional.

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1. Calculamos el promedio y la suma de cuadrados. $\bar{x} = 41{,}375$ y $\sum (x_i - \bar{x})^{2} = 885{,}875$ .

2. Dividimos por $n$ . $\dfrac{885{,}875}{8} \approx 110{,}7344$

3. Dividimos por $n - 1$ . $\dfrac{885{,}875}{7} \approx 126{,}5536$

4. Comparamos. $110{,}7344 < 126{,}5536$ . Dividir por $n$ siempre da un número más chico, y esa diferencia es de $15{,}8192$ .

5. Explicamos cuál es insesgado. El que divide por $n - 1$ . Los desvíos se miden respecto de $\bar{x}$ , que salió de esos mismos datos, y por eso quedan sistemáticamente más chicos que si se midieran respecto de la media poblacional. Dividir por $n - 1$ compensa exactamente ese efecto.

6. Qué significa insesgado. Que $E(s^{2}) = \sigma^{2}$ : en promedio sobre todas las muestras posibles da el valor correcto. El otro subestima en promedio, y por eso no se usa.

Respuesta: Dividiendo por $n$ da $110{,}7344$ y por $n - 1$ da $126{,}5536$ . El insesgado es el segundo

4. Para estimar la media de una población normal con desvío $12$ se proponen dos estimadores: el promedio de los $16$ datos de la muestra, y el promedio de solo los dos primeros. Los dos son insesgados. Decidí cuál es más eficiente.

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1. Verificamos que los dos sean insesgados. $E(\bar{x}) = \mu$ para cualquier cantidad de datos promediados, así que los dos apuntan al valor correcto. La insesgadez sola no alcanza para elegir.

2. Calculamos la varianza del primero. $V(\bar{x}) = \dfrac{\sigma^{2}}{n} = \dfrac{144}{16} = 9$

3. Calculamos la del segundo. $V\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right) = \dfrac{\sigma^{2}}{2} = \dfrac{144}{2} = 72$

4. Comparamos. $9 < 72$ : el promedio de los $16$ datos tiene mucha menos varianza.

5. Definimos eficiencia. Entre dos estimadores insesgados, el más eficiente es el de menor varianza: sus estimaciones se desparraman menos alrededor del valor verdadero. Acá el primero es $8$ veces más preciso.

6. La lección. Tirar datos nunca conviene. Todo dato que queda afuera del estimador es varianza que se paga de más.

Respuesta: El promedio de los $16$ datos, con varianza $9$ contra $72$

5. Se relevó el puntaje del examen en una muestra de $8$ casos: $39$ ; $40$ ; $52$ ; $54$ ; $59$ ; $62$ ; $72$ ; $79$ puntos. Estimá puntualmente la media poblacional, la varianza poblacional y la proporción de casos que superan $57$ puntos.

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1. Estimamos la media. El estimador es $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = \dfrac{457}{8} = 57{,}125$ puntos.

2. Estimamos la varianza. $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1} = \dfrac{1384{,}875}{7} \approx 197{,}8393$ , y $s = 14{,}0655$ puntos.

3. Estimamos la proporción. Superan $57$ un total de $4$ casos: $\hat{p} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$ .

4. Distinguimos estimador de estimación. $\bar{x}$ , $s^{2}$ y $\hat{p}$ son estimadores: fórmulas que se aplican a cualquier muestra. Los números $57{,}125$ , $197{,}8393$ y $0{,}5$ son las estimaciones que salieron de esta muestra.

5. Marcamos lo que falta. Ninguna de las tres dice cuánto puede fallar. Un estimador puntual sin una medida de su error informa la mitad del resultado, y por eso el paso siguiente son los intervalos de confianza.

Respuesta: $\bar{x} = 57{,}125$ , $s^{2} = 197{,}8393$ y $\hat{p} = 0{,}5$

6. En un informe aparecen dos cosas: la fórmula $\hat{p} = \dfrac{k}{n}$ y el número $0{,}42$ , obtenido al aplicarla a una muestra concreta. Decidí cuál es el estimador y cuál la estimación, y explicá por qué la distinción importa.

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1. Definimos estimador. Es una fórmula, o sea una regla que se aplica a los datos de la muestra. Antes de tomar la muestra no es un número: es una variable aleatoria, porque su valor depende de qué muestra toque.

2. Definimos estimación. Es el número concreto que sale al aplicar el estimador a una muestra particular. Ya no varía: es un dato.

3. Clasificamos los dos elementos del enunciado. La fórmula es el estimador. El número $0{,}42$ es la estimación.

4. Explicamos por qué importa. Solo el estimador tiene distribución, esperanza y varianza. Preguntar si la estimación es insesgada no tiene sentido: la insesgadez es una propiedad de la fórmula, no del número.

5. Vemos dónde se usa la distinción. Cuando se dice que el promedio muestral es insesgado se habla del estimador. Cuando se informa un resultado se da la estimación, y ahí hace falta acompañarla con su error.

Respuesta: La fórmula es el estimador y $0{,}42$ es la estimación

7. Una muestra de $5$ casos de el tiempo de atención dio $32$ ; $33$ ; $53$ ; $58$ ; $59$ minutos. Calculá la varianza dividiendo por $n$ y dividiendo por $n - 1$ , y explicá cuál es el estimador insesgado de la varianza poblacional.

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1. Calculamos el promedio y la suma de cuadrados. $\bar{x} = 47$ y $\sum (x_i - \bar{x})^{2} = 722$ .

2. Dividimos por $n$ . $\dfrac{722}{5} = 144{,}4$

3. Dividimos por $n - 1$ . $\dfrac{722}{4} = 180{,}5$

4. Comparamos. $144{,}4 < 180{,}5$ . Dividir por $n$ siempre da un número más chico, y esa diferencia es de $36{,}1$ .

5. Explicamos cuál es insesgado. El que divide por $n - 1$ . Los desvíos se miden respecto de $\bar{x}$ , que salió de esos mismos datos, y por eso quedan sistemáticamente más chicos que si se midieran respecto de la media poblacional. Dividir por $n - 1$ compensa exactamente ese efecto.

6. Qué significa insesgado. Que $E(s^{2}) = \sigma^{2}$ : en promedio sobre todas las muestras posibles da el valor correcto. El otro subestima en promedio, y por eso no se usa.

Respuesta: Dividiendo por $n$ da $144{,}4$ y por $n - 1$ da $180{,}5$ . El insesgado es el segundo

8. Para estimar la media de una población normal con desvío $10$ se proponen dos estimadores: el promedio de los $9$ datos de la muestra, y el promedio de solo los dos primeros. Los dos son insesgados. Decidí cuál es más eficiente.

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1. Verificamos que los dos sean insesgados. $E(\bar{x}) = \mu$ para cualquier cantidad de datos promediados, así que los dos apuntan al valor correcto. La insesgadez sola no alcanza para elegir.

2. Calculamos la varianza del primero. $V(\bar{x}) = \dfrac{\sigma^{2}}{n} = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}1111$

3. Calculamos la del segundo. $V\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right) = \dfrac{\sigma^{2}}{2} = \dfrac{100}{2} = 50$

4. Comparamos. $11{,}1111 < 50$ : el promedio de los $9$ datos tiene mucha menos varianza.

5. Definimos eficiencia. Entre dos estimadores insesgados, el más eficiente es el de menor varianza: sus estimaciones se desparraman menos alrededor del valor verdadero. Acá el primero es $4{,}5$ veces más preciso.

6. La lección. Tirar datos nunca conviene. Todo dato que queda afuera del estimador es varianza que se paga de más.

Respuesta: El promedio de los $9$ datos, con varianza $11{,}1111$ contra $50$

9. Se relevó el rendimiento del cultivo en una muestra de $8$ casos: $33$ ; $38$ ; $44$ ; $49$ ; $50$ ; $61$ ; $68$ ; $77$ quintales. Estimá puntualmente la media poblacional, la varianza poblacional y la proporción de casos que superan $52$ quintales.

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1. Estimamos la media. El estimador es $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = \dfrac{420}{8} = 52{,}5$ quintales.

2. Estimamos la varianza. $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1} = \dfrac{1594}{7} \approx 227{,}7143$ , y $s = 15{,}0902$ quintales.

3. Estimamos la proporción. Superan $52$ un total de $3$ casos: $\hat{p} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ .

4. Distinguimos estimador de estimación. $\bar{x}$ , $s^{2}$ y $\hat{p}$ son estimadores: fórmulas que se aplican a cualquier muestra. Los números $52{,}5$ , $227{,}7143$ y $0{,}375$ son las estimaciones que salieron de esta muestra.

5. Marcamos lo que falta. Ninguna de las tres dice cuánto puede fallar. Un estimador puntual sin una medida de su error informa la mitad del resultado, y por eso el paso siguiente son los intervalos de confianza.

Respuesta: $\bar{x} = 52{,}5$ , $s^{2} = 227{,}7143$ y $\hat{p} = 0{,}375$

10. En un informe aparecen dos cosas: la fórmula $s^{2} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1}$ y el número $36{,}5$ , obtenido al aplicarla a una muestra concreta. Decidí cuál es el estimador y cuál la estimación, y explicá por qué la distinción importa.

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1. Definimos estimador. Es una fórmula, o sea una regla que se aplica a los datos de la muestra. Antes de tomar la muestra no es un número: es una variable aleatoria, porque su valor depende de qué muestra toque.

2. Definimos estimación. Es el número concreto que sale al aplicar el estimador a una muestra particular. Ya no varía: es un dato.

3. Clasificamos los dos elementos del enunciado. La fórmula es el estimador. El número $36{,}5$ es la estimación.

4. Explicamos por qué importa. Solo el estimador tiene distribución, esperanza y varianza. Preguntar si la estimación es insesgada no tiene sentido: la insesgadez es una propiedad de la fórmula, no del número.

5. Vemos dónde se usa la distinción. Cuando se dice que el promedio muestral es insesgado se habla del estimador. Cuando se informa un resultado se da la estimación, y ahí hace falta acompañarla con su error.

Respuesta: La fórmula es el estimador y $36{,}5$ es la estimación

11. Una muestra de $8$ casos de la duración de las baterías dio $34$ ; $35$ ; $44$ ; $45$ ; $50$ ; $53$ ; $55$ ; $56$ horas. Calculá la varianza dividiendo por $n$ y dividiendo por $n - 1$ , y explicá cuál es el estimador insesgado de la varianza poblacional.

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1. Calculamos el promedio y la suma de cuadrados. $\bar{x} = 46{,}5$ y $\sum (x_i - \bar{x})^{2} = 514$ .

2. Dividimos por $n$ . $\dfrac{514}{8} = 64{,}25$

3. Dividimos por $n - 1$ . $\dfrac{514}{7} \approx 73{,}4286$

4. Comparamos. $64{,}25 < 73{,}4286$ . Dividir por $n$ siempre da un número más chico, y esa diferencia es de $9{,}1786$ .

5. Explicamos cuál es insesgado. El que divide por $n - 1$ . Los desvíos se miden respecto de $\bar{x}$ , que salió de esos mismos datos, y por eso quedan sistemáticamente más chicos que si se midieran respecto de la media poblacional. Dividir por $n - 1$ compensa exactamente ese efecto.

6. Qué significa insesgado. Que $E(s^{2}) = \sigma^{2}$ : en promedio sobre todas las muestras posibles da el valor correcto. El otro subestima en promedio, y por eso no se usa.

Respuesta: Dividiendo por $n$ da $64{,}25$ y por $n - 1$ da $73{,}4286$ . El insesgado es el segundo

12. Para estimar la media de una población normal con desvío $18$ se proponen dos estimadores: el promedio de los $9$ datos de la muestra, y el promedio de solo los dos primeros. Los dos son insesgados. Decidí cuál es más eficiente.

Ver solución

1. Verificamos que los dos sean insesgados. $E(\bar{x}) = \mu$ para cualquier cantidad de datos promediados, así que los dos apuntan al valor correcto. La insesgadez sola no alcanza para elegir.

2. Calculamos la varianza del primero. $V(\bar{x}) = \dfrac{\sigma^{2}}{n} = \dfrac{324}{9} = 36$

3. Calculamos la del segundo. $V\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right) = \dfrac{\sigma^{2}}{2} = \dfrac{324}{2} = 162$

4. Comparamos. $36 < 162$ : el promedio de los $9$ datos tiene mucha menos varianza.

5. Definimos eficiencia. Entre dos estimadores insesgados, el más eficiente es el de menor varianza: sus estimaciones se desparraman menos alrededor del valor verdadero. Acá el primero es $4{,}5$ veces más preciso.

6. La lección. Tirar datos nunca conviene. Todo dato que queda afuera del estimador es varianza que se paga de más.

Respuesta: El promedio de los $9$ datos, con varianza $36$ contra $162$