Ejercicios: Intervalo de confianza para la media

1. De una población con desvío conocido $14$ gramos se toma una muestra de $25$ casos de el peso de los envases, con promedio $40$ . Construí el intervalo de confianza del $99\%$ para la media poblacional.

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1. Escribimos la estructura del intervalo. $\bar{x} \pm z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : la estimación puntual más y menos un margen de error.

2. Buscamos el valor crítico. Para el $99\%$ queda $0{,}01$ afuera, repartido en dos colas de $0{,}005$ . El $z$ que deja $0{,}995$ a su izquierda es $2{,}5758$ .

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{14}{\sqrt{25}} = \dfrac{14}{5} = 2{,}8$ gramos.

4. Calculamos el margen de error. $2{,}5758 \cdot 2{,}8 \approx 7{,}2123$ gramos.

5. Armamos el intervalo. $40 \pm 7{,}2123$ , o sea $[32{,}7877; 47{,}2123]$ .

6. Interpretamos. El procedimiento con el que se armó este intervalo acierta el $99\%$ de las veces si se repitiera el muestreo muchas veces.

Respuesta: El intervalo es $[32{,}7877; 47{,}2123]$ gramos

2. Una muestra de $49$ casos de la duración de las baterías dio promedio $65$ horas, con desvío poblacional conocido $18$ . Construí los intervalos del $90\%$ , $95\%$ y $99\%$ y explicá qué le pasa al ancho.

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1. Calculamos el error estándar, que es común a los tres. $\dfrac{18}{\sqrt{49}} = 2{,}5714$ horas.

2. Buscamos los tres valores críticos. $90\%$ : $z = 1{,}6449$ · $95\%$ : $z = 1{,}96$ · $99\%$ : $z = 2{,}5758$

3. Calculamos los tres márgenes. $1{,}6449 \cdot 2{,}5714 \approx 4{,}2296$ · $1{,}96 \cdot 2{,}5714 \approx 5{,}0399$ · $2{,}5758 \cdot 2{,}5714 \approx 6{,}6236$

4. Armamos los tres intervalos. $[60{,}7704; 69{,}2296]$ · $[59{,}9601; 70{,}0399]$ · $[58{,}3764; 71{,}6236]$

5. Comparamos los anchos. $8{,}4592$ , $10{,}0798$ y $13{,}2471$ horas: cuanto mayor la confianza, más ancho el intervalo.

6. Explicamos el intercambio. Más confianza se compra con menos precisión. Un intervalo del $100\%$ sería toda la recta real y no informaría nada; uno muy angosto acertaría muy pocas veces.

Respuesta: Los intervalos son $[60{,}7704; 69{,}2296]$ ; $[59{,}9601; 70{,}0399]$ ; $[58{,}3764; 71{,}6236]$ , y el ancho crece con el nivel de confianza

3. Con desvío poblacional $13$ puntos y promedio muestral $110$ , construí el intervalo del $95\%$ para la media con una muestra de $25$ casos y con una de $100$ . Compará los anchos.

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1. Usamos el mismo valor crítico en los dos casos. Para el $95\%$ , $z = 1{,}96$ . El nivel no cambia, así que el crítico tampoco.

2. Calculamos el margen con la muestra chica. $1{,}96 \cdot \dfrac{13}{\sqrt{25}} = 1{,}96 \cdot 2{,}6 \approx 5{,}0959$

3. Calculamos el margen con la muestra grande. $1{,}96 \cdot \dfrac{13}{\sqrt{100}} = 2{,}548$

4. Armamos los dos intervalos. $[104{,}9041; 115{,}0959]$ con $25$ casos y $[107{,}452; 112{,}548]$ con $100$ .

5. Medimos la mejora. $\dfrac{5{,}0959}{2{,}548} \approx 2$ : cuadruplicar la muestra redujo el margen a la mitad, porque en el denominador aparece $\sqrt{n}$ .

6. La consecuencia práctica. La precisión mejora con la raíz del tamaño. Para ganar un factor $2$ hay que multiplicar por $4$ el costo del relevamiento.

Respuesta: Con $25$ casos el margen es $5{,}0959$ y con $100$ es $2{,}548$ : se redujo a la mitad

4. Con una muestra de $64$ casos, promedio $70$ y desvío poblacional $16$ , se obtuvo el intervalo del $95\%$ $[66{,}0801; 73{,}9199]$ . Evaluá esta afirmación: «Hay un $95\%$ de probabilidad de que la media poblacional esté dentro de este intervalo.»

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1. Reconstruimos el intervalo. $\dfrac{16}{\sqrt{64}} = 2$ y el margen es $1{,}96 \cdot 2 \approx 3{,}9199$ , así que el intervalo es el del enunciado.

2. Identificamos qué afirma la frase. Hay que ver sobre qué se hace la afirmación: sobre el parámetro, sobre el procedimiento, o sobre los datos individuales.

3. Analizamos. Acá la media poblacional es un número fijo, no una variable aleatoria: o está adentro o no está. Lo aleatorio es el intervalo, que cambia con cada muestra.

4. Concluimos. La afirmación es incorrecta.

5. La forma correcta de decirlo. «Con confianza del $95\%$ , la media poblacional está entre $66{,}0801$ y $73{,}9199$ », entendiendo que el $95\%$ describe al método y no a este intervalo en particular.

6. Por qué la distinción no es una formalidad. Una vez calculado, el intervalo o contiene a la media o no. No hay azar que valga: el azar estuvo en qué muestra tocó, y eso ya pasó.

Respuesta: Es incorrecta: la media poblacional es un número fijo, no una variable aleatoria: o está adentro o no está. Lo aleatorio es el intervalo, que cambia con cada muestra

5. De una población con desvío conocido $13$ miles de pesos se toma una muestra de $100$ casos de el gasto mensual, con promedio $85$ . Construí el intervalo de confianza del $90\%$ para la media poblacional.

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1. Escribimos la estructura del intervalo. $\bar{x} \pm z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : la estimación puntual más y menos un margen de error.

2. Buscamos el valor crítico. Para el $90\%$ queda $0{,}1$ afuera, repartido en dos colas de $0{,}05$ . El $z$ que deja $0{,}95$ a su izquierda es $1{,}6449$ .

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{13}{\sqrt{100}} = \dfrac{13}{10} = 1{,}3$ miles de pesos.

4. Calculamos el margen de error. $1{,}6449 \cdot 1{,}3 \approx 2{,}1383$ miles de pesos.

5. Armamos el intervalo. $85 \pm 2{,}1383$ , o sea $[82{,}8617; 87{,}1383]$ .

6. Interpretamos. El procedimiento con el que se armó este intervalo acierta el $90\%$ de las veces si se repitiera el muestreo muchas veces.

Respuesta: El intervalo es $[82{,}8617; 87{,}1383]$ miles de pesos

6. Una muestra de $64$ casos de el tiempo de atención dio promedio $130$ minutos, con desvío poblacional conocido $17$ . Construí los intervalos del $90\%$ , $95\%$ y $99\%$ y explicá qué le pasa al ancho.

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1. Calculamos el error estándar, que es común a los tres. $\dfrac{17}{\sqrt{64}} = 2{,}125$ minutos.

2. Buscamos los tres valores críticos. $90\%$ : $z = 1{,}6449$ · $95\%$ : $z = 1{,}96$ · $99\%$ : $z = 2{,}5758$

3. Calculamos los tres márgenes. $1{,}6449 \cdot 2{,}125 \approx 3{,}4953$ · $1{,}96 \cdot 2{,}125 \approx 4{,}1649$ · $2{,}5758 \cdot 2{,}125 \approx 5{,}4736$

4. Armamos los tres intervalos. $[126{,}5047; 133{,}4953]$ · $[125{,}8351; 134{,}1649]$ · $[124{,}5264; 135{,}4736]$

5. Comparamos los anchos. $6{,}9906$ , $8{,}3298$ y $10{,}9473$ minutos: cuanto mayor la confianza, más ancho el intervalo.

6. Explicamos el intercambio. Más confianza se compra con menos precisión. Un intervalo del $100\%$ sería toda la recta real y no informaría nada; uno muy angosto acertaría muy pocas veces.

Respuesta: Los intervalos son $[126{,}5047; 133{,}4953]$ ; $[125{,}8351; 134{,}1649]$ ; $[124{,}5264; 135{,}4736]$ , y el ancho crece con el nivel de confianza

7. Con desvío poblacional $11$ miles de pesos y promedio muestral $60$ , construí el intervalo del $95\%$ para la media con una muestra de $36$ casos y con una de $144$ . Compará los anchos.

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1. Usamos el mismo valor crítico en los dos casos. Para el $95\%$ , $z = 1{,}96$ . El nivel no cambia, así que el crítico tampoco.

2. Calculamos el margen con la muestra chica. $1{,}96 \cdot \dfrac{11}{\sqrt{36}} = 1{,}96 \cdot 1{,}8333 \approx 3{,}5933$

3. Calculamos el margen con la muestra grande. $1{,}96 \cdot \dfrac{11}{\sqrt{144}} = 1{,}7966$

4. Armamos los dos intervalos. $[56{,}4067; 63{,}5933]$ con $36$ casos y $[58{,}2034; 61{,}7966]$ con $144$ .

5. Medimos la mejora. $\dfrac{3{,}5933}{1{,}7966} \approx 2$ : cuadruplicar la muestra redujo el margen a la mitad, porque en el denominador aparece $\sqrt{n}$ .

6. La consecuencia práctica. La precisión mejora con la raíz del tamaño. Para ganar un factor $2$ hay que multiplicar por $4$ el costo del relevamiento.

Respuesta: Con $36$ casos el margen es $3{,}5933$ y con $144$ es $1{,}7966$ : se redujo a la mitad

8. Con una muestra de $36$ casos, promedio $85$ y desvío poblacional $13$ , se obtuvo el intervalo del $95\%$ $[80{,}7534; 89{,}2466]$ . Evaluá esta afirmación: «Si se repitiera el muestreo muchas veces, alrededor del $95\%$ de los intervalos construidos así contendrían a la media poblacional.»

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1. Reconstruimos el intervalo. $\dfrac{13}{\sqrt{36}} = 2{,}1667$ y el margen es $1{,}96 \cdot 2{,}1667 \approx 4{,}2466$ , así que el intervalo es el del enunciado.

2. Identificamos qué afirma la frase. Hay que ver sobre qué se hace la afirmación: sobre el parámetro, sobre el procedimiento, o sobre los datos individuales.

3. Analizamos. Acá esa es exactamente la interpretación correcta: el $95\%$ es una propiedad del procedimiento, no del intervalo particular que tocó.

4. Concluimos. La afirmación es correcta.

5. La forma correcta de decirlo. «Con confianza del $95\%$ , la media poblacional está entre $80{,}7534$ y $89{,}2466$ », entendiendo que el $95\%$ describe al método y no a este intervalo en particular.

6. Por qué la distinción no es una formalidad. Una vez calculado, el intervalo o contiene a la media o no. No hay azar que valga: el azar estuvo en qué muestra tocó, y eso ya pasó.

Respuesta: Es correcta: esa es exactamente la interpretación correcta: el $95\%$ es una propiedad del procedimiento, no del intervalo particular que tocó

9. De una población con desvío conocido $19$ quintales se toma una muestra de $36$ casos de el rendimiento del cultivo, con promedio $105$ . Construí el intervalo de confianza del $99\%$ para la media poblacional.

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1. Escribimos la estructura del intervalo. $\bar{x} \pm z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : la estimación puntual más y menos un margen de error.

2. Buscamos el valor crítico. Para el $99\%$ queda $0{,}01$ afuera, repartido en dos colas de $0{,}005$ . El $z$ que deja $0{,}995$ a su izquierda es $2{,}5758$ .

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{19}{\sqrt{36}} = \dfrac{19}{6} \approx 3{,}1667$ quintales.

4. Calculamos el margen de error. $2{,}5758 \cdot 3{,}1667 \approx 8{,}1568$ quintales.

5. Armamos el intervalo. $105 \pm 8{,}1568$ , o sea $[96{,}8432; 113{,}1568]$ .

6. Interpretamos. El procedimiento con el que se armó este intervalo acierta el $99\%$ de las veces si se repitiera el muestreo muchas veces.

Respuesta: El intervalo es $[96{,}8432; 113{,}1568]$ quintales

10. Una muestra de $36$ casos de el peso de los envases dio promedio $100$ gramos, con desvío poblacional conocido $8$ . Construí los intervalos del $90\%$ , $95\%$ y $99\%$ y explicá qué le pasa al ancho.

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1. Calculamos el error estándar, que es común a los tres. $\dfrac{8}{\sqrt{36}} = 1{,}3333$ gramos.

2. Buscamos los tres valores críticos. $90\%$ : $z = 1{,}6449$ · $95\%$ : $z = 1{,}96$ · $99\%$ : $z = 2{,}5758$

3. Calculamos los tres márgenes. $1{,}6449 \cdot 1{,}3333 \approx 2{,}1931$ · $1{,}96 \cdot 1{,}3333 \approx 2{,}6133$ · $2{,}5758 \cdot 1{,}3333 \approx 3{,}4344$

4. Armamos los tres intervalos. $[97{,}8069; 102{,}1931]$ · $[97{,}3867; 102{,}6133]$ · $[96{,}5656; 103{,}4344]$

5. Comparamos los anchos. $4{,}3863$ , $5{,}2266$ y $6{,}8689$ gramos: cuanto mayor la confianza, más ancho el intervalo.

6. Explicamos el intercambio. Más confianza se compra con menos precisión. Un intervalo del $100\%$ sería toda la recta real y no informaría nada; uno muy angosto acertaría muy pocas veces.

Respuesta: Los intervalos son $[97{,}8069; 102{,}1931]$ ; $[97{,}3867; 102{,}6133]$ ; $[96{,}5656; 103{,}4344]$ , y el ancho crece con el nivel de confianza

11. Con desvío poblacional $12$ minutos y promedio muestral $60$ , construí el intervalo del $95\%$ para la media con una muestra de $25$ casos y con una de $100$ . Compará los anchos.

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1. Usamos el mismo valor crítico en los dos casos. Para el $95\%$ , $z = 1{,}96$ . El nivel no cambia, así que el crítico tampoco.

2. Calculamos el margen con la muestra chica. $1{,}96 \cdot \dfrac{12}{\sqrt{25}} = 1{,}96 \cdot 2{,}4 \approx 4{,}7039$

3. Calculamos el margen con la muestra grande. $1{,}96 \cdot \dfrac{12}{\sqrt{100}} = 2{,}352$

4. Armamos los dos intervalos. $[55{,}2961; 64{,}7039]$ con $25$ casos y $[57{,}648; 62{,}352]$ con $100$ .

5. Medimos la mejora. $\dfrac{4{,}7039}{2{,}352} \approx 2$ : cuadruplicar la muestra redujo el margen a la mitad, porque en el denominador aparece $\sqrt{n}$ .

6. La consecuencia práctica. La precisión mejora con la raíz del tamaño. Para ganar un factor $2$ hay que multiplicar por $4$ el costo del relevamiento.

Respuesta: Con $25$ casos el margen es $4{,}7039$ y con $100$ es $2{,}352$ : se redujo a la mitad

12. Con una muestra de $64$ casos, promedio $85$ y desvío poblacional $12$ , se obtuvo el intervalo del $95\%$ $[82{,}0601; 87{,}9399]$ . Evaluá esta afirmación: «El $95\%$ de los datos de la población cae dentro de este intervalo.»

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1. Reconstruimos el intervalo. $\dfrac{12}{\sqrt{64}} = 1{,}5$ y el margen es $1{,}96 \cdot 1{,}5 \approx 2{,}9399$ , así que el intervalo es el del enunciado.

2. Identificamos qué afirma la frase. Hay que ver sobre qué se hace la afirmación: sobre el parámetro, sobre el procedimiento, o sobre los datos individuales.

3. Analizamos. Acá el intervalo es para la media poblacional, no para los datos individuales. De hecho es mucho más angosto que el rango donde caen los datos, porque se construye con el error estándar y no con el desvío.

4. Concluimos. La afirmación es incorrecta.

5. La forma correcta de decirlo. «Con confianza del $95\%$ , la media poblacional está entre $82{,}0601$ y $87{,}9399$ », entendiendo que el $95\%$ describe al método y no a este intervalo en particular.

6. Por qué la distinción no es una formalidad. Una vez calculado, el intervalo o contiene a la media o no. No hay azar que valga: el azar estuvo en qué muestra tocó, y eso ya pasó.

Respuesta: Es incorrecta: el intervalo es para la media poblacional, no para los datos individuales. De hecho es mucho más angosto que el rango donde caen los datos, porque se construye con el error estándar y no con el desvío