Ejercicios: Intervalo con desvío desconocido

2. Buscamos el valor crítico. $t_{0{,}995}$ con $9$ grados de libertad vale $3{,}2498$.

3. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{16}{\sqrt{10}} = \dfrac{16}{3{,}1623} \approx 5{,}0596$ minutos.

4. Calculamos el margen. $3{,}2498 \cdot 5{,}0596 \approx 16{,}443$ minutos.

5. Armamos el intervalo. $60 \pm 16{,}443$, o sea $[43{,}557; 76{,}443]$.

6. Comparamos con lo que daría la normal. Con $z = 2{,}5758$ el margen sería $13{,}0328$, más angosto en $3{,}4102$. Ese ancho de más es el precio honesto de no conocer el desvío.

Respuesta: El intervalo es $[43{,}557; 76{,}443]$ minutos

2. Calculamos el desvío muestral. $s^{2} = \dfrac{1708{,}1}{9} \approx 189{,}7889$, así que $s = 13{,}7764$ minutos.

3. Elegimos el valor crítico. Como el desvío está estimado, va la $t$ con $9$ grados de libertad: $t = 2{,}2622$.

4. Calculamos el margen. $2{,}2622 \cdot \dfrac{13{,}7764}{\sqrt{10}} = 2{,}2622 \cdot 4{,}3565 \approx 9{,}855$ minutos.

5. Armamos el intervalo. $49{,}7 \pm 9{,}855$, o sea $[39{,}845; 59{,}555]$.

6. Verificamos el supuesto. Con $n = 10$ hace falta que la población sea aproximadamente normal para que valga la $t$. Con muestras chicas ese supuesto no se puede verificar bien, y conviene decirlo al informar.

Respuesta: El intervalo es $[39{,}845; 59{,}555]$ minutos

2. Construimos con la $t$. $t = 2{,}093$ con $19$ grados, margen $5{,}1482$, intervalo $[89{,}8518; 100{,}1482]$.

3. Construimos con la normal. $z = 1{,}96$, margen $4{,}8209$, intervalo $[90{,}1791; 99{,}8209]$.

4. Comparamos los anchos. $10{,}2963$ contra $9{,}6417$: el de la $t$ es más ancho en $0{,}6546$, un $6{,}79\%$ más.

5. Decidimos cuál corresponde. La $t$. El desvío de la población no se conoce y se lo estimó con $s$, así que hay una fuente de incertidumbre extra que la normal ignora.

6. Cuándo casi da lo mismo. Con más de treinta datos la diferencia se vuelve despreciable. Con $20$ casos todavía se nota. Usar la $t$ nunca está mal; usar la normal con $\sigma$ estimado sí.

Respuesta: Con $t$: $[89{,}8518; 100{,}1482]$. Con $z$: $[90{,}1791; 99{,}8209]$. Corresponde la $t$

2. Calculamos los errores estándar. $\dfrac{14}{\sqrt{5}} = 6{,}261$ · $\dfrac{14}{\sqrt{10}} = 4{,}4272$ · $\dfrac{14}{\sqrt{30}} = 2{,}556$

3. Calculamos los márgenes. $2{,}7764 \cdot 6{,}261 \approx 17{,}3833$ · $2{,}2622 \cdot 4{,}4272 \approx 10{,}015$ · $2{,}0452 \cdot 2{,}556 \approx 5{,}2277$

4. Separamos los dos efectos. El valor crítico baja de $2{,}7764$ a $2{,}0452$, acercándose a $1{,}96$. Y el error estándar baja de $6{,}261$ a $2{,}556$.

5. Vemos cuál pesa más. El margen cae de $17{,}3833$ a $5{,}2277$, casi todo por el $\sqrt{n}$ del error estándar. La baja del crítico aporta bastante menos.

6. La lección. Agrandar la muestra mejora por dos vías a la vez, pero la que domina es la del error estándar.

Respuesta: Los márgenes son $17{,}3833$; $10{,}015$; $5{,}2277$, y bajan sobre todo por el error estándar

2. Buscamos el valor crítico. $t_{0{,}995}$ con $9$ grados de libertad vale $3{,}2498$.

3. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{15}{\sqrt{10}} = \dfrac{15}{3{,}1623} \approx 4{,}7434$ gramos.

4. Calculamos el margen. $3{,}2498 \cdot 4{,}7434 \approx 15{,}4153$ gramos.

5. Armamos el intervalo. $85 \pm 15{,}4153$, o sea $[69{,}5847; 100{,}4153]$.

6. Comparamos con lo que daría la normal. Con $z = 2{,}5758$ el margen sería $12{,}2182$, más angosto en $3{,}1971$. Ese ancho de más es el precio honesto de no conocer el desvío.

Respuesta: El intervalo es $[69{,}5847; 100{,}4153]$ gramos

2. Calculamos el desvío muestral. $s^{2} = \dfrac{5204{,}25}{11} \approx 473{,}1136$, así que $s = 21{,}7512$ gramos.

3. Elegimos el valor crítico. Como el desvío está estimado, va la $t$ con $11$ grados de libertad: $t = 2{,}201$.

4. Calculamos el margen. $2{,}201 \cdot \dfrac{21{,}7512}{\sqrt{12}} = 2{,}201 \cdot 6{,}279 \approx 13{,}82$ gramos.

5. Armamos el intervalo. $55{,}75 \pm 13{,}82$, o sea $[41{,}93; 69{,}57]$.

6. Verificamos el supuesto. Con $n = 12$ hace falta que la población sea aproximadamente normal para que valga la $t$. Con muestras chicas ese supuesto no se puede verificar bien, y conviene decirlo al informar.

Respuesta: El intervalo es $[41{,}93; 69{,}57]$ gramos

2. Construimos con la $t$. $t = 2{,}093$ con $19$ grados, margen $6{,}5522$, intervalo $[53{,}4478; 66{,}5522]$.

3. Construimos con la normal. $z = 1{,}96$, margen $6{,}1357$, intervalo $[53{,}8643; 66{,}1357]$.

4. Comparamos los anchos. $13{,}1044$ contra $12{,}2713$: el de la $t$ es más ancho en $0{,}8331$, un $6{,}79\%$ más.

5. Decidimos cuál corresponde. La $t$. El desvío de la población no se conoce y se lo estimó con $s$, así que hay una fuente de incertidumbre extra que la normal ignora.

6. Cuándo casi da lo mismo. Con más de treinta datos la diferencia se vuelve despreciable. Con $20$ casos todavía se nota. Usar la $t$ nunca está mal; usar la normal con $\sigma$ estimado sí.

Respuesta: Con $t$: $[53{,}4478; 66{,}5522]$. Con $z$: $[53{,}8643; 66{,}1357]$. Corresponde la $t$

2. Calculamos los errores estándar. $\dfrac{13}{\sqrt{8}} = 4{,}5962$ · $\dfrac{13}{\sqrt{20}} = 2{,}9069$ · $\dfrac{13}{\sqrt{60}} = 1{,}6783$

3. Calculamos los márgenes. $2{,}3646 \cdot 4{,}5962 \approx 10{,}8683$ · $2{,}093 \cdot 2{,}9069 \approx 6{,}0842$ · $2{,}001 \cdot 1{,}6783 \approx 3{,}3583$

4. Separamos los dos efectos. El valor crítico baja de $2{,}3646$ a $2{,}001$, acercándose a $1{,}96$. Y el error estándar baja de $4{,}5962$ a $1{,}6783$.

5. Vemos cuál pesa más. El margen cae de $10{,}8683$ a $3{,}3583$, casi todo por el $\sqrt{n}$ del error estándar. La baja del crítico aporta bastante menos.

6. La lección. Agrandar la muestra mejora por dos vías a la vez, pero la que domina es la del error estándar.

Respuesta: Los márgenes son $10{,}8683$; $6{,}0842$; $3{,}3583$, y bajan sobre todo por el error estándar

2. Buscamos el valor crítico. $t_{0{,}975}$ con $17$ grados de libertad vale $2{,}1098$.

3. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{18}{\sqrt{18}} = \dfrac{18}{4{,}2426} \approx 4{,}2426$ quintales.

4. Calculamos el margen. $2{,}1098 \cdot 4{,}2426 \approx 8{,}9512$ quintales.

5. Armamos el intervalo. $90 \pm 8{,}9512$, o sea $[81{,}0488; 98{,}9512]$.

6. Comparamos con lo que daría la normal. Con $z = 1{,}96$ el margen sería $8{,}3154$, más angosto en $0{,}6358$. Ese ancho de más es el precio honesto de no conocer el desvío.

Respuesta: El intervalo es $[81{,}0488; 98{,}9512]$ quintales

2. Calculamos el desvío muestral. $s^{2} = \dfrac{3040{,}1}{9} \approx 337{,}7889$, así que $s = 18{,}379$ miles de pesos.

3. Elegimos el valor crítico. Como el desvío está estimado, va la $t$ con $9$ grados de libertad: $t = 2{,}2622$.

4. Calculamos el margen. $2{,}2622 \cdot \dfrac{18{,}379}{\sqrt{10}} = 2{,}2622 \cdot 5{,}812 \approx 13{,}1476$ miles de pesos.

5. Armamos el intervalo. $63{,}3 \pm 13{,}1476$, o sea $[50{,}1524; 76{,}4476]$.

6. Verificamos el supuesto. Con $n = 10$ hace falta que la población sea aproximadamente normal para que valga la $t$. Con muestras chicas ese supuesto no se puede verificar bien, y conviene decirlo al informar.

Respuesta: El intervalo es $[50{,}1524; 76{,}4476]$ miles de pesos

2. Construimos con la $t$. $t = 2{,}201$ con $11$ grados, margen $10{,}8013$, intervalo $[59{,}1987; 80{,}8013]$.

3. Construimos con la normal. $z = 1{,}96$, margen $9{,}6185$, intervalo $[60{,}3815; 79{,}6185]$.

4. Comparamos los anchos. $21{,}6026$ contra $19{,}237$: el de la $t$ es más ancho en $2{,}3656$, un $12{,}3\%$ más.

5. Decidimos cuál corresponde. La $t$. El desvío de la población no se conoce y se lo estimó con $s$, así que hay una fuente de incertidumbre extra que la normal ignora.

6. Cuándo casi da lo mismo. Con más de treinta datos la diferencia se vuelve despreciable. Con $12$ casos todavía se nota. Usar la $t$ nunca está mal; usar la normal con $\sigma$ estimado sí.

Respuesta: Con $t$: $[59{,}1987; 80{,}8013]$. Con $z$: $[60{,}3815; 79{,}6185]$. Corresponde la $t$

2. Calculamos los errores estándar. $\dfrac{9}{\sqrt{8}} = 3{,}182$ · $\dfrac{9}{\sqrt{20}} = 2{,}0125$ · $\dfrac{9}{\sqrt{60}} = 1{,}1619$

3. Calculamos los márgenes. $2{,}3646 \cdot 3{,}182 \approx 7{,}5242$ · $2{,}093 \cdot 2{,}0125 \approx 4{,}2121$ · $2{,}001 \cdot 1{,}1619 \approx 2{,}3249$

4. Separamos los dos efectos. El valor crítico baja de $2{,}3646$ a $2{,}001$, acercándose a $1{,}96$. Y el error estándar baja de $3{,}182$ a $1{,}1619$.

5. Vemos cuál pesa más. El margen cae de $7{,}5242$ a $2{,}3249$, casi todo por el $\sqrt{n}$ del error estándar. La baja del crítico aporta bastante menos.

6. La lección. Agrandar la muestra mejora por dos vías a la vez, pero la que domina es la del error estándar.

Respuesta: Los márgenes son $7{,}5242$; $4{,}2121$; $2{,}3249$, y bajan sobre todo por el error estándar