Intervalo con desvío desconocido

En la práctica el desvío de la población casi nunca se conoce, así que hay que estimarlo con el de la muestra.

Ese reemplazo agrega incertidumbre, y por eso el valor crítico ya no sale de la normal sino de la t de Student.

Los grados de libertad son el tamaño de la muestra menos uno.

Como la t es más ancha que la normal, sus valores críticos son mayores y el intervalo sale más ancho. Eso es correcto: refleja que se sabe menos.

La condición para usarla es que la población sea aproximadamente normal, sobre todo con muestras chicas. Con muestras grandes esa condición se relaja por el teorema central del límite.

Cuando la muestra es grande, la t y la normal dan valores muy parecidos, y usar una u otra cambia poco. Pero con muestras chicas la diferencia es importante.

El error más común es usar la normal cuando el enunciado dio el desvío muestral. La pista está en cómo aparece el dato: si dice el desvío de la muestra fue tanto, va t.

\bar{x} \pm t \cdot s / \sqrt{n}

· con

n - 1

grados de libertad

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da el desvío de la muestra y no el de la población. Usá t con el tamaño menos uno grados de libertad. Es el caso más frecuente en la práctica.

Ejemplo 1

Una muestra de $11$ da media $52 y$ desvío muestral $6$ . Construir el intervalo del $95$ % para la media.

Elegimos la distribución. El desvío está estimado, así que va la t con $\nu = 10$ .
Buscamos el valor crítico. La tabla del anexo da $2{,}2281$ .
Armamos el intervalo. $52 \pm 2{,}2281 \cdot 6 / \sqrt{11}$ , es decir $52 \pm 4{,}03$ : de $47{,}97$ a $56{,}03$ .
Respuesta: De $47{,}97 a 56{,}03$

Ejemplo 2

Con los mismos datos, calcular cuánto habría dado usando la normal y qué problema tendría.

Cambiamos el valor crítico. $52 \pm 1{,}96 \cdot 6 / \sqrt{11}$ , es decir $52 \pm 3{,}55$ .
Comparamos los anchos. $7{,}09$ contra $8{,}06$ del correcto.
Vemos el problema. El intervalo sale más angosto y su nivel real de confianza es menor que el $95 \%$ declarado.
Respuesta: De $48{,}45 a 55{,}55$ , pero es incorrecto

Error típico

Usar la tabla Z con muestras chicas y desvío estimado. El intervalo sale más angosto de lo honesto y el nivel de confianza real es menor que el que se declara.

Practicar

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