Regresión lineal múltiple

La regresión múltiple extiende la regresión simple a varias variables explicativas a la vez.

En vez de una recta, el modelo ajusta un plano o un hiperplano, y cada variable explicativa tiene su propio coeficiente.

La interpretación de cada coeficiente tiene un matiz importante: dice cuánto cambia la respuesta por unidad de esa variable manteniendo las demás constantes.

Ese manteniendo las demás constantes es la clave, y es lo que distingue el coeficiente múltiple del que saldría de una regresión simple con esa sola variable.

Los dos pueden ser muy distintos, e incluso tener signos opuestos, cuando las variables explicativas están relacionadas entre sí.

Ese problema se llama colinealidad y hace que los coeficientes sean inestables y difíciles de interpretar, aunque el modelo prediga bien.

El coeficiente de determinación siempre sube al agregar variables, incluso irrelevantes. Por eso se usa una versión ajustada que penaliza la cantidad de variables.

Agregar variables porque mejoran el ajuste, sin justificación, lleva a modelos que funcionan con los datos que se tienen y fallan con datos nuevos.

\hat{y} = b_{0} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + \ldots + b_{k}x_{k}

Cuándo se usa

Cuando hay varias variables explicativas. Interpretá cada coeficiente como el efecto de esa variable con las demás fijas. Usá el coeficiente ajustado para comparar modelos con distinta cantidad de variables.

Ejemplo 1

En el modelo $\hat{y} = 5 + 2x_{1} + 3x_{2}$ , interpretar el coeficiente de $x_{1}$ .

Identificamos el coeficiente. Es $2$ .
Escribimos la interpretación. Al aumentar $x_{1}$ en una unidad, la respuesta aumenta $2$ unidades.
Agregamos la condición, que es lo esencial. Eso vale manteniendo $x_{2}$ fija.
Respuesta: $y$ aumenta $2$ por cada unidad de $x_{1}$ , con $x_{2}$ constante

Ejemplo 2

Con el modelo $\hat{y} = 10 + 4x_{1} - 2x_{2}$ , predecir $y$ para $x_{1} = 3$ y $x_{2} = 5$ .

Reemplazamos los valores. Queda $10 + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 5$ .
Resolvemos los productos. Da $10 + 12 - 10$ .
Sumamos.
Respuesta: $\hat{y} = 12$

Error típico

Usar el coeficiente de determinación común para comparar modelos con distinta cantidad de variables. Hay que usar el ajustado, que penaliza el agregado.

Practicar

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