Test para la media con $\sigma$ conocido

Es el test más simple y el que fija el procedimiento general que después se repite en todos los demás.

El primer paso es plantear las dos hipótesis y elegir el nivel de significación.

El segundo es calcular el estadístico de prueba, que es la distancia entre el promedio muestral y el valor supuesto, medida en errores estándar. Es una estandarización.

El tercero es comparar ese valor con los valores críticos de la tabla normal, o equivalentemente calcular el valor p.

El cuarto es decidir y, sobre todo, escribir la conclusión en los términos del problema. Decir que se rechaza la nula no es una conclusión: hay que traducirlo a lo que el enunciado preguntaba.

El test puede ser de dos colas, cuando la alternativa dice que el valor es distinto, o de una cola, cuando dice mayor o menor.

Esa elección se hace antes de ver los datos, nunca después. Elegir la cola según lo que convenga al resultado invalida el test.

En los de dos colas el nivel de significación se reparte entre las dos, así que cada una lleva la mitad.

z = (\bar{x} - \mu _{0}) / (\sigma / \sqrt{n})

Cuándo se usa

Cuando hay que contrastar una afirmación sobre la media y se conoce el desvío poblacional. Definí las hipótesis y la cantidad de colas antes de mirar los datos.

Ejemplo 1

Unos envases deben pesar $500 g$ con desvío conocido $10 g$ . Una muestra de $25$ da media $495{,}2 g$ . Decidir al $5$ % si pesan menos.

Planteamos y calculamos el estadístico. $z = (495{,}2 - 500) / (10 / \sqrt{25}) = -4{,}8 / 2 = -2{,}4$ .
Buscamos el crítico de una cola. Para $\alpha = 0{,}05$ a la izquierda es $-1{,}6449$ .
Comparamos. $-2{,}4$ es menor que $-1{,}6449$ , así que cae en la región de rechazo: se rechaza la hipótesis nula.
Respuesta: Se rechaza: pesan menos

Ejemplo 2

Con los mismos datos, decidir al $5$ % si el peso cambió en cualquier dirección.

Cambiamos el tipo de test. Ahora es de dos colas, con crítico $\pm 1{,}96$ .
Comparamos. $|-2{,}4| = 2{,}4$ supera a $1{,}96$ .
Concluimos. También se rechaza. El intervalo del $95 \%$ es $495{,}2 \pm 3{,}92$ , que no contiene al $500$ .
Respuesta: También se rechaza

Error típico

Decidir si el test es de una o de dos colas después de ver el resultado. El nivel real deja de ser el declarado y el procedimiento pierde toda garantía.

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Otros subtemas de Inferencia estadística

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