Ejercicios: Test para la media con $\sigma$ conocido

1. Se afirma que el tiempo de atención tiene media $110$ minutos, con desvío conocido $7$ . Una muestra de $64$ casos dio promedio $112{,}1$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu = 110$ contra $H_1$ : $\mu \neq 110$ . Es de dos colas porque interesa cualquier desvío.

2. Fijamos el nivel y la zona de rechazo. $\alpha = 0{,}05$ , repartido en dos colas de $0{,}025$ . Se rechaza si $|z| > 1{,}96$ .

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{7}{\sqrt{64}} = 0{,}875$ minutos.

4. Calculamos el estadístico de prueba. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \dfrac{112{,}1 - 110}{0{,}875} = 2{,}4$

5. Decidimos. $|2{,}4| = 2{,}4$ supera a $1{,}96$ , así que se rechaza la hipótesis nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión en palabras. Hay evidencia para afirmar que la media difiere de $110$ minutos.

Respuesta: $z = 2{,}4$ contra un crítico de $1{,}96$ : se rechaza la nula

2. Se sospecha que el tiempo de atención tiene una media mayor que $50$ minutos. El desvío poblacional es $17$ y una muestra de $25$ casos dio promedio $57{,}48$ . Realizá el test de una cola al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu = 50$ contra $H_1$ : $\mu > 50$ . Lo que se quiere demostrar va en la alternativa.

2. Ubicamos la zona de rechazo. Todo el $5\%$ va en una sola cola, la derecha. El valor crítico es $z = 1{,}6449$ .

3. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{57{,}48 - 50}{3{,}4} = 2{,}2$

4. Decidimos. $2{,}2$ cae en la zona de rechazo, así que se rechaza la nula.

5. Comparamos con el test de dos colas. Con dos colas el crítico sería $\pm 1{,}96$ , más exigente. Concentrar todo el $\alpha$ en un lado hace más fácil rechazar en esa dirección.

6. La condición para usar una cola. La dirección tiene que estar decidida antes de mirar los datos. Elegirla después de ver hacia dónde salió el promedio infla el nivel real del test.

Respuesta: $z = 2{,}2$ contra un crítico de $1{,}6449$ : se rechaza la nula

3. Con el puntaje del examen, desvío poblacional $9$ puntos y una muestra de $64$ casos con promedio $117{,}41$ , realizá el test de dos colas al $5\%$ para $H_0$ : $\mu = 120$ y construí el intervalo del $95\%$ . Verificá que las dos conclusiones coincidan.

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1. Hacemos el test. $z = \dfrac{117{,}41 - 120}{1{,}125} \approx -2{,}3022$ , contra un crítico de $1{,}96$ : se rechaza la nula.

2. Construimos el intervalo. Margen: $1{,}96 \cdot 1{,}125 = 2{,}205$ . Intervalo: $[115{,}205; 119{,}615]$ .

3. Vemos si el valor de la nula cae adentro. $120$ queda fuera del intervalo.

4. Comparamos las dos conclusiones. El test rechaza y el intervalo no contiene a $\mu_0$ : coinciden.

5. Explicamos por qué siempre coinciden. El intervalo contiene a $\mu_0$ exactamente cuando $|\bar{x} - \mu_0| \leq z \cdot EE$ , que es la misma desigualdad que define la zona de no rechazo. Son dos formas de escribir el mismo cálculo.

6. Qué aporta cada uno. El test da una decisión y el intervalo da además el rango de valores plausibles. Informar el intervalo suele ser más útil que informar solo si se rechazó.

Respuesta: $z = -2{,}3022$ y el intervalo es $[115{,}205; 119{,}615]$ : las dos conclusiones coinciden y se rechaza la nula

4. Con la duración de las baterías, desvío $15$ horas, muestra de $36$ casos y promedio $84{,}88$ , realizá el test de dos colas para $H_0$ : $\mu = 90$ al $5\%$ y al $1\%$ , y comparé las conclusiones.

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1. Calculamos el estadístico, que no depende del nivel. $z = \dfrac{84{,}88 - 90}{2{,}5} = -2{,}048$

2. Buscamos el crítico al $5\%$ . $\pm 1{,}96$ . Como $|-2{,}048| = 2{,}048 > 1{,}96$ , se rechaza la nula.

3. Buscamos el crítico al $1\%$ . $\pm 2{,}5758$ . Como $|-2{,}048| = 2{,}048 < 2{,}5758$ , no se rechaza.

4. Comparamos. El mismo dato lleva a conclusiones opuestas según el nivel elegido. Bajar $\alpha$ hace más exigente la evidencia necesaria para rechazar.

5. Sacamos la consecuencia. El nivel tiene que fijarse antes de ver los datos. Elegirlo después, mirando cuál da el resultado deseado, invalida el procedimiento.

6. Lo que informa mejor que la decisión. El valor p, que acá está entre $0{,}01$ y $0{,}05$ . Con ese número el lector decide con su propio nivel en vez de quedarse con una decisión binaria.

Respuesta: $z = -2{,}048$ : al $5\%$ se rechaza y al $1\%$ no. El nivel tiene que fijarse antes de ver los datos

5. Se afirma que el gasto mensual tiene media $100$ miles de pesos, con desvío conocido $11$ . Una muestra de $49$ casos dio promedio $97{,}8$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu = 100$ contra $H_1$ : $\mu \neq 100$ . Es de dos colas porque interesa cualquier desvío.

2. Fijamos el nivel y la zona de rechazo. $\alpha = 0{,}05$ , repartido en dos colas de $0{,}025$ . Se rechaza si $|z| > 1{,}96$ .

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{11}{\sqrt{49}} = 1{,}5714$ miles de pesos.

4. Calculamos el estadístico de prueba. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \dfrac{97{,}8 - 100}{1{,}5714} \approx -1{,}4$

5. Decidimos. $|-1{,}4| = 1{,}4$ no supera a $1{,}96$ , así que no se rechaza la hipótesis nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión en palabras. No hay evidencia suficiente para afirmar que la media difiera de $100$ miles de pesos.

Respuesta: $z = -1{,}4$ contra un crítico de $1{,}96$ : no se rechaza la nula

6. Se sospecha que el gasto mensual tiene una media mayor que $90$ miles de pesos. El desvío poblacional es $14$ y una muestra de $49$ casos dio promedio $95{,}6$ . Realizá el test de una cola al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu = 90$ contra $H_1$ : $\mu > 90$ . Lo que se quiere demostrar va en la alternativa.

2. Ubicamos la zona de rechazo. Todo el $5\%$ va en una sola cola, la derecha. El valor crítico es $z = 1{,}6449$ .

3. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{95{,}6 - 90}{2} = 2{,}8$

4. Decidimos. $2{,}8$ cae en la zona de rechazo, así que se rechaza la nula.

5. Comparamos con el test de dos colas. Con dos colas el crítico sería $\pm 1{,}96$ , más exigente. Concentrar todo el $\alpha$ en un lado hace más fácil rechazar en esa dirección.

6. La condición para usar una cola. La dirección tiene que estar decidida antes de mirar los datos. Elegirla después de ver hacia dónde salió el promedio infla el nivel real del test.

Respuesta: $z = 2{,}8$ contra un crítico de $1{,}6449$ : se rechaza la nula

7. Con el peso de los envases, desvío poblacional $13$ gramos y una muestra de $64$ casos con promedio $106{,}26$ , realizá el test de dos colas al $5\%$ para $H_0$ : $\mu = 110$ y construí el intervalo del $95\%$ . Verificá que las dos conclusiones coincidan.

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1. Hacemos el test. $z = \dfrac{106{,}26 - 110}{1{,}625} \approx -2{,}3015$ , contra un crítico de $1{,}96$ : se rechaza la nula.

2. Construimos el intervalo. Margen: $1{,}96 \cdot 1{,}625 \approx 3{,}1849$ . Intervalo: $[103{,}0751; 109{,}4449]$ .

3. Vemos si el valor de la nula cae adentro. $110$ queda fuera del intervalo.

4. Comparamos las dos conclusiones. El test rechaza y el intervalo no contiene a $\mu_0$ : coinciden.

5. Explicamos por qué siempre coinciden. El intervalo contiene a $\mu_0$ exactamente cuando $|\bar{x} - \mu_0| \leq z \cdot EE$ , que es la misma desigualdad que define la zona de no rechazo. Son dos formas de escribir el mismo cálculo.

6. Qué aporta cada uno. El test da una decisión y el intervalo da además el rango de valores plausibles. Informar el intervalo suele ser más útil que informar solo si se rechazó.

Respuesta: $z = -2{,}3015$ y el intervalo es $[103{,}0751; 109{,}4449]$ : las dos conclusiones coinciden y se rechaza la nula

8. Con el tiempo de atención, desvío $18$ minutos, muestra de $49$ casos y promedio $94{,}34$ , realizá el test de dos colas para $H_0$ : $\mu = 100$ al $5\%$ y al $1\%$ , y comparé las conclusiones.

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1. Calculamos el estadístico, que no depende del nivel. $z = \dfrac{94{,}34 - 100}{2{,}5714} \approx -2{,}2011$

2. Buscamos el crítico al $5\%$ . $\pm 1{,}96$ . Como $|-2{,}2011| = 2{,}2011 > 1{,}96$ , se rechaza la nula.

3. Buscamos el crítico al $1\%$ . $\pm 2{,}5758$ . Como $|-2{,}2011| = 2{,}2011 < 2{,}5758$ , no se rechaza.

4. Comparamos. El mismo dato lleva a conclusiones opuestas según el nivel elegido. Bajar $\alpha$ hace más exigente la evidencia necesaria para rechazar.

5. Sacamos la consecuencia. El nivel tiene que fijarse antes de ver los datos. Elegirlo después, mirando cuál da el resultado deseado, invalida el procedimiento.

6. Lo que informa mejor que la decisión. El valor p, que acá está entre $0{,}01$ y $0{,}05$ . Con ese número el lector decide con su propio nivel en vez de quedarse con una decisión binaria.

Respuesta: $z = -2{,}2011$ : al $5\%$ se rechaza y al $1\%$ no. El nivel tiene que fijarse antes de ver los datos

9. Se afirma que el puntaje del examen tiene media $70$ puntos, con desvío conocido $12$ . Una muestra de $49$ casos dio promedio $72{,}23$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu = 70$ contra $H_1$ : $\mu \neq 70$ . Es de dos colas porque interesa cualquier desvío.

2. Fijamos el nivel y la zona de rechazo. $\alpha = 0{,}05$ , repartido en dos colas de $0{,}025$ . Se rechaza si $|z| > 1{,}96$ .

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{12}{\sqrt{49}} = 1{,}7143$ puntos.

4. Calculamos el estadístico de prueba. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \dfrac{72{,}23 - 70}{1{,}7143} \approx 1{,}3008$

5. Decidimos. $|1{,}3008| = 1{,}3008$ no supera a $1{,}96$ , así que no se rechaza la hipótesis nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión en palabras. No hay evidencia suficiente para afirmar que la media difiera de $70$ puntos.

Respuesta: $z = 1{,}3008$ contra un crítico de $1{,}96$ : no se rechaza la nula

10. Se sospecha que el puntaje del examen tiene una media mayor que $60$ puntos. El desvío poblacional es $9$ y una muestra de $36$ casos dio promedio $64{,}2$ . Realizá el test de una cola al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu = 60$ contra $H_1$ : $\mu > 60$ . Lo que se quiere demostrar va en la alternativa.

2. Ubicamos la zona de rechazo. Todo el $5\%$ va en una sola cola, la derecha. El valor crítico es $z = 1{,}6449$ .

3. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{64{,}2 - 60}{1{,}5} = 2{,}8$

4. Decidimos. $2{,}8$ cae en la zona de rechazo, así que se rechaza la nula.

5. Comparamos con el test de dos colas. Con dos colas el crítico sería $\pm 1{,}96$ , más exigente. Concentrar todo el $\alpha$ en un lado hace más fácil rechazar en esa dirección.

6. La condición para usar una cola. La dirección tiene que estar decidida antes de mirar los datos. Elegirla después de ver hacia dónde salió el promedio infla el nivel real del test.

Respuesta: $z = 2{,}8$ contra un crítico de $1{,}6449$ : se rechaza la nula

11. Con el rendimiento del cultivo, desvío poblacional $18$ quintales y una muestra de $49$ casos con promedio $96{,}43$ , realizá el test de dos colas al $5\%$ para $H_0$ : $\mu = 90$ y construí el intervalo del $95\%$ . Verificá que las dos conclusiones coincidan.

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1. Hacemos el test. $z = \dfrac{96{,}43 - 90}{2{,}5714} \approx 2{,}5006$ , contra un crítico de $1{,}96$ : se rechaza la nula.

2. Construimos el intervalo. Margen: $1{,}96 \cdot 2{,}5714 \approx 5{,}0399$ . Intervalo: $[91{,}3901; 101{,}4699]$ .

3. Vemos si el valor de la nula cae adentro. $90$ queda fuera del intervalo.

4. Comparamos las dos conclusiones. El test rechaza y el intervalo no contiene a $\mu_0$ : coinciden.

5. Explicamos por qué siempre coinciden. El intervalo contiene a $\mu_0$ exactamente cuando $|\bar{x} - \mu_0| \leq z \cdot EE$ , que es la misma desigualdad que define la zona de no rechazo. Son dos formas de escribir el mismo cálculo.

6. Qué aporta cada uno. El test da una decisión y el intervalo da además el rango de valores plausibles. Informar el intervalo suele ser más útil que informar solo si se rechazó.

Respuesta: $z = 2{,}5006$ y el intervalo es $[91{,}3901; 101{,}4699]$ : las dos conclusiones coinciden y se rechaza la nula

12. Con el puntaje del examen, desvío $15$ puntos, muestra de $49$ casos y promedio $85{,}61$ , realizá el test de dos colas para $H_0$ : $\mu = 90$ al $5\%$ y al $1\%$ , y comparé las conclusiones.

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1. Calculamos el estadístico, que no depende del nivel. $z = \dfrac{85{,}61 - 90}{2{,}1429} \approx -2{,}0487$

2. Buscamos el crítico al $5\%$ . $\pm 1{,}96$ . Como $|-2{,}0487| = 2{,}0487 > 1{,}96$ , se rechaza la nula.

3. Buscamos el crítico al $1\%$ . $\pm 2{,}5758$ . Como $|-2{,}0487| = 2{,}0487 < 2{,}5758$ , no se rechaza.

4. Comparamos. El mismo dato lleva a conclusiones opuestas según el nivel elegido. Bajar $\alpha$ hace más exigente la evidencia necesaria para rechazar.

5. Sacamos la consecuencia. El nivel tiene que fijarse antes de ver los datos. Elegirlo después, mirando cuál da el resultado deseado, invalida el procedimiento.

6. Lo que informa mejor que la decisión. El valor p, que acá está entre $0{,}01$ y $0{,}05$ . Con ese número el lector decide con su propio nivel en vez de quedarse con una decisión binaria.

Respuesta: $z = -2{,}0487$ : al $5\%$ se rechaza y al $1\%$ no. El nivel tiene que fijarse antes de ver los datos