Método

Ejercicios: Test para la media con $\sigma$ desconocido

t=(xˉ−μ0)/(s/n)t = (\bar{x} - \mu _{0}) / (s / \sqrt{n}) · con n−1n - 1 grados de libertad

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Se afirma que el gasto mensual tiene media 110110 miles de pesos. Una muestra de 1212 casos dio promedio 114,85114{,}85 y desvío muestral 1212. No se conoce el desvío poblacional. Realizá el test de dos colas al 5%5\%.

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1. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=110\mu = 110 contra H1H_1: μ≠110\mu \neq 110.

2. Elegimos la distribución. Como σ\sigma se estima con ss, corresponde la tt con n−1=11n - 1 = 11 grados de libertad.

3. Calculamos el estadístico. t=xˉ−μ0s/n=114,85−1103,4641≈1,4001t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \dfrac{114{,}85 - 110}{3{,}4641} \approx 1{,}4001

4. Buscamos el valor crítico. Con 1111 grados y dos colas al 5%5\%: ±2,201\pm 2{,}201.

5. Decidimos. ∣1,4001∣=1,4001|1{,}4001| = 1{,}4001 no supera a 2,2012{,}201, así que no se rechaza la nula al 5%5\%.

6. Comparamos con lo que daría la normal. El crítico normal es 1,961{,}96, menor que 2,2012{,}201. Usar la tt hace un poco más difícil rechazar, y es coherente: se sabe menos, así que hace falta más evidencia.

Respuesta: t=1,4001t = 1{,}4001 con 1111 grados, contra un crítico de 2,2012{,}201: no se rechaza la nula

2. Se afirma que el tiempo de atención tiene media 5454 minutos. Una muestra de 1212 casos dio 3232; 3434; 4040; 4444; 4646; 4949; 5353; 5454; 5858; 6060; 6464; 6666. Realizá el test de dos colas al 5%5\%.

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1. Calculamos los estadísticos de la muestra. xˉ=60012=50\bar{x} = \dfrac{600}{12} = 50 y s2=124,9091s^{2} = 124{,}9091, así que s=11,1763s = 11{,}1763 minutos.

2. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=54\mu = 54 contra H1H_1: μ≠54\mu \neq 54.

3. Calculamos el error estándar estimado. 11,176312=3,2263\dfrac{11{,}1763}{\sqrt{12}} = 3{,}2263 minutos.

4. Calculamos el estadístico. t=50−543,2263≈−1,2398t = \dfrac{50 - 54}{3{,}2263} \approx -1{,}2398, con 1111 grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es ±2,201\pm 2{,}201. Como ∣−1,2398∣=1,2398|-1{,}2398| = 1{,}2398, no se rechaza la nula al 5%5\%.

6. Escribimos la conclusión. No hay evidencia suficiente para afirmar que la media difiera de 5454 minutos.

Respuesta: t=−1,2398t = -1{,}2398 contra 2,2012{,}201: no se rechaza la nula

3. Un test de dos colas al 5%5\% sobre H0H_0: μ=60\mu = 60 dio un estadístico de 2,1622{,}162, con una muestra de 88 casos y desvío muestral 99 (el poblacional es desconocido). Decidí la conclusión usando la tabla correcta y mostrá qué pasaría con la incorrecta.

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1. Identificamos la tabla que corresponde. σ\sigma es desconocido y se estimó con ss, así que va la tt con 77 grados de libertad.

2. Buscamos el crítico correcto. t0,975t_{0{,}975} con 77 grados vale 2,36462{,}3646.

3. Decidimos con la tabla correcta. ∣2,162∣=2,162<2,3646|2{,}162| = 2{,}162 < 2{,}3646, así que no se rechaza la nula.

4. Vemos qué pasaría con la normal. El crítico sería 1,961{,}96, y 2,162>1,962{,}162 > 1{,}96: se rechazaría la nula. La conclusión se da vuelta.

5. Medimos por qué pasa. La diferencia entre los dos críticos es 0,40470{,}4047, y el estadístico observado cayó justo en el medio. En casos de frontera, la elección de tabla decide el resultado.

6. La regla práctica. Si un test da al límite, lo primero que hay que revisar es si la tabla usada era la correcta. Usar la tt nunca está mal; usar la normal con σ\sigma estimado sí lo está.

Respuesta: Con la tt no se rechaza (2,162<2,36462{,}162 < 2{,}3646); con la normal se rechazaría. Corresponde la tt

4. Se quiere demostrar que la duración de las baterías tiene una media mayor que 5050 horas. Una muestra de 1818 casos dio promedio 56,7956{,}79 y desvío muestral 1212. Realizá el test de una cola al 5%5\%.

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1. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=50\mu = 50 contra H1H_1: μ>50\mu > 50.

2. Elegimos la distribución y los grados de libertad. σ\sigma es desconocido, así que va la tt con 1717 grados.

3. Calculamos el estadístico. t=56,79−502,8284≈2,4006t = \dfrac{56{,}79 - 50}{2{,}8284} \approx 2{,}4006

4. Buscamos el crítico de una cola. Todo el 5%5\% va en la cola derecha: el crítico es 1,73961{,}7396.

5. Decidimos. 2,40062{,}4006 cae en la zona de rechazo, así que se rechaza la nula.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia al 5%5\% de que la media es mayor que 5050 horas.

Respuesta: t=2,4006t = 2{,}4006 contra 1,73961{,}7396: se rechaza la nula

5. Se afirma que el rendimiento del cultivo tiene media 100100 quintales. Una muestra de 1515 casos dio promedio 108,73108{,}73 y desvío muestral 1313. No se conoce el desvío poblacional. Realizá el test de dos colas al 5%5\%.

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1. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=100\mu = 100 contra H1H_1: μ≠100\mu \neq 100.

2. Elegimos la distribución. Como σ\sigma se estima con ss, corresponde la tt con n−1=14n - 1 = 14 grados de libertad.

3. Calculamos el estadístico. t=xˉ−μ0s/n=108,73−1003,3566≈2,6009t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \dfrac{108{,}73 - 100}{3{,}3566} \approx 2{,}6009

4. Buscamos el valor crítico. Con 1414 grados y dos colas al 5%5\%: ±2,1448\pm 2{,}1448.

5. Decidimos. ∣2,6009∣=2,6009|2{,}6009| = 2{,}6009 supera a 2,14482{,}1448, así que se rechaza la nula al 5%5\%.

6. Comparamos con lo que daría la normal. El crítico normal es 1,961{,}96, menor que 2,14482{,}1448. Usar la tt hace un poco más difícil rechazar, y es coherente: se sabe menos, así que hace falta más evidencia.

Respuesta: t=2,6009t = 2{,}6009 con 1414 grados, contra un crítico de 2,14482{,}1448: se rechaza la nula

6. Se afirma que el peso de los envases tiene media 5252 gramos. Una muestra de 88 casos dio 3030; 3838; 5353; 6161; 6464; 6666; 6868; 7575. Realizá el test de dos colas al 5%5\%.

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1. Calculamos los estadísticos de la muestra. xˉ=4558=56,875\bar{x} = \dfrac{455}{8} = 56{,}875 y s2=242,4107s^{2} = 242{,}4107, así que s=15,5695s = 15{,}5695 gramos.

2. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=52\mu = 52 contra H1H_1: μ≠52\mu \neq 52.

3. Calculamos el error estándar estimado. 15,56958=5,5047\dfrac{15{,}5695}{\sqrt{8}} = 5{,}5047 gramos.

4. Calculamos el estadístico. t=56,875−525,5047≈0,8856t = \dfrac{56{,}875 - 52}{5{,}5047} \approx 0{,}8856, con 77 grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es ±2,3646\pm 2{,}3646. Como ∣0,8856∣=0,8856|0{,}8856| = 0{,}8856, no se rechaza la nula al 5%5\%.

6. Escribimos la conclusión. No hay evidencia suficiente para afirmar que la media difiera de 5252 gramos.

Respuesta: t=0,8856t = 0{,}8856 contra 2,36462{,}3646: no se rechaza la nula

7. Un test de dos colas al 5%5\% sobre H0H_0: μ=90\mu = 90 dio un estadístico de 2,1622{,}162, con una muestra de 88 casos y desvío muestral 1414 (el poblacional es desconocido). Decidí la conclusión usando la tabla correcta y mostrá qué pasaría con la incorrecta.

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1. Identificamos la tabla que corresponde. σ\sigma es desconocido y se estimó con ss, así que va la tt con 77 grados de libertad.

2. Buscamos el crítico correcto. t0,975t_{0{,}975} con 77 grados vale 2,36462{,}3646.

3. Decidimos con la tabla correcta. ∣2,162∣=2,162<2,3646|2{,}162| = 2{,}162 < 2{,}3646, así que no se rechaza la nula.

4. Vemos qué pasaría con la normal. El crítico sería 1,961{,}96, y 2,162>1,962{,}162 > 1{,}96: se rechazaría la nula. La conclusión se da vuelta.

5. Medimos por qué pasa. La diferencia entre los dos críticos es 0,40470{,}4047, y el estadístico observado cayó justo en el medio. En casos de frontera, la elección de tabla decide el resultado.

6. La regla práctica. Si un test da al límite, lo primero que hay que revisar es si la tabla usada era la correcta. Usar la tt nunca está mal; usar la normal con σ\sigma estimado sí lo está.

Respuesta: Con la tt no se rechaza (2,162<2,36462{,}162 < 2{,}3646); con la normal se rechazaría. Corresponde la tt

8. Se quiere demostrar que el rendimiento del cultivo tiene una media mayor que 8080 quintales. Una muestra de 2222 casos dio promedio 87,6887{,}68 y desvío muestral 1515. Realizá el test de una cola al 5%5\%.

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1. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=80\mu = 80 contra H1H_1: μ>80\mu > 80.

2. Elegimos la distribución y los grados de libertad. σ\sigma es desconocido, así que va la tt con 2121 grados.

3. Calculamos el estadístico. t=87,68−803,198≈2,4015t = \dfrac{87{,}68 - 80}{3{,}198} \approx 2{,}4015

4. Buscamos el crítico de una cola. Todo el 5%5\% va en la cola derecha: el crítico es 1,72071{,}7207.

5. Decidimos. 2,40152{,}4015 cae en la zona de rechazo, así que se rechaza la nula.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia al 5%5\% de que la media es mayor que 8080 quintales.

Respuesta: t=2,4015t = 2{,}4015 contra 1,72071{,}7207: se rechaza la nula

9. Se afirma que el peso de los envases tiene media 6060 gramos. Una muestra de 2020 casos dio promedio 56,456{,}4 y desvío muestral 77. No se conoce el desvío poblacional. Realizá el test de dos colas al 5%5\%.

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1. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=60\mu = 60 contra H1H_1: μ≠60\mu \neq 60.

2. Elegimos la distribución. Como σ\sigma se estima con ss, corresponde la tt con n−1=19n - 1 = 19 grados de libertad.

3. Calculamos el estadístico. t=xˉ−μ0s/n=56,4−601,5652≈−2,3t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \dfrac{56{,}4 - 60}{1{,}5652} \approx -2{,}3

4. Buscamos el valor crítico. Con 1919 grados y dos colas al 5%5\%: ±2,093\pm 2{,}093.

5. Decidimos. ∣−2,3∣=2,3|-2{,}3| = 2{,}3 supera a 2,0932{,}093, así que se rechaza la nula al 5%5\%.

6. Comparamos con lo que daría la normal. El crítico normal es 1,961{,}96, menor que 2,0932{,}093. Usar la tt hace un poco más difícil rechazar, y es coherente: se sabe menos, así que hace falta más evidencia.

Respuesta: t=−2,3t = -2{,}3 con 1919 grados, contra un crítico de 2,0932{,}093: se rechaza la nula

10. Se afirma que el gasto mensual tiene media 4646 miles de pesos. Una muestra de 1010 casos dio 3535; 3838; 4444; 4848; 4949; 5454; 6060; 6262; 6666; 7373. Realizá el test de dos colas al 5%5\%.

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1. Calculamos los estadísticos de la muestra. xˉ=52910=52,9\bar{x} = \dfrac{529}{10} = 52{,}9 y s2=152,3222s^{2} = 152{,}3222, así que s=12,3419s = 12{,}3419 miles de pesos.

2. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=46\mu = 46 contra H1H_1: μ≠46\mu \neq 46.

3. Calculamos el error estándar estimado. 12,341910=3,9028\dfrac{12{,}3419}{\sqrt{10}} = 3{,}9028 miles de pesos.

4. Calculamos el estadístico. t=52,9−463,9028≈1,7679t = \dfrac{52{,}9 - 46}{3{,}9028} \approx 1{,}7679, con 99 grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es ±2,2622\pm 2{,}2622. Como ∣1,7679∣=1,7679|1{,}7679| = 1{,}7679, no se rechaza la nula al 5%5\%.

6. Escribimos la conclusión. No hay evidencia suficiente para afirmar que la media difiera de 4646 miles de pesos.

Respuesta: t=1,7679t = 1{,}7679 contra 2,26222{,}2622: no se rechaza la nula

11. Un test de dos colas al 5%5\% sobre H0H_0: μ=120\mu = 120 dio un estadístico de 2,1622{,}162, con una muestra de 88 casos y desvío muestral 1515 (el poblacional es desconocido). Decidí la conclusión usando la tabla correcta y mostrá qué pasaría con la incorrecta.

Ver solución

1. Identificamos la tabla que corresponde. σ\sigma es desconocido y se estimó con ss, así que va la tt con 77 grados de libertad.

2. Buscamos el crítico correcto. t0,975t_{0{,}975} con 77 grados vale 2,36462{,}3646.

3. Decidimos con la tabla correcta. ∣2,162∣=2,162<2,3646|2{,}162| = 2{,}162 < 2{,}3646, así que no se rechaza la nula.

4. Vemos qué pasaría con la normal. El crítico sería 1,961{,}96, y 2,162>1,962{,}162 > 1{,}96: se rechazaría la nula. La conclusión se da vuelta.

5. Medimos por qué pasa. La diferencia entre los dos críticos es 0,40470{,}4047, y el estadístico observado cayó justo en el medio. En casos de frontera, la elección de tabla decide el resultado.

6. La regla práctica. Si un test da al límite, lo primero que hay que revisar es si la tabla usada era la correcta. Usar la tt nunca está mal; usar la normal con σ\sigma estimado sí lo está.

Respuesta: Con la tt no se rechaza (2,162<2,36462{,}162 < 2{,}3646); con la normal se rechazaría. Corresponde la tt

12. Se quiere demostrar que el puntaje del examen tiene una media mayor que 120120 puntos. Una muestra de 1818 casos dio promedio 124,67124{,}67 y desvío muestral 1111. Realizá el test de una cola al 5%5\%.

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1. Planteamos las hipótesis. H0H_0: μ=120\mu = 120 contra H1H_1: μ>120\mu > 120.

2. Elegimos la distribución y los grados de libertad. σ\sigma es desconocido, así que va la tt con 1717 grados.

3. Calculamos el estadístico. t=124,67−1202,5927≈1,8012t = \dfrac{124{,}67 - 120}{2{,}5927} \approx 1{,}8012

4. Buscamos el crítico de una cola. Todo el 5%5\% va en la cola derecha: el crítico es 1,73961{,}7396.

5. Decidimos. 1,80121{,}8012 cae en la zona de rechazo, así que se rechaza la nula.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia al 5%5\% de que la media es mayor que 120120 puntos.

Respuesta: t=1,8012t = 1{,}8012 contra 1,73961{,}7396: se rechaza la nula

Integradores de Inferencia estadística: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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