Test para la media con $\sigma$ desconocido

Es el mismo test pero con el desvío estimado a partir de la muestra, que es el caso realista.

El estadístico se calcula igual, pero se compara contra la tabla t en vez de la normal, con el tamaño de la muestra menos uno grados de libertad.

Como la t es más ancha, sus valores críticos son mayores, y eso hace que sea un poco más difícil rechazar la nula. Es coherente: se sabe menos, así que hace falta más evidencia.

La condición para usarlo es que la población sea aproximadamente normal, sobre todo si la muestra es chica. Con muestras grandes la condición se relaja.

Este es el test que más aparece en la práctica, porque casi nunca se conoce el desvío poblacional.

Hay una relación importante con los intervalos de confianza: un test de dos colas a cierto nivel rechaza la nula exactamente cuando el valor supuesto queda fuera del intervalo de confianza correspondiente.

Esa equivalencia permite responder muchas preguntas de test mirando el intervalo, y es un buen chequeo de coherencia entre las dos partes del ejercicio.

t = (\bar{x} - \mu _{0}) / (s / \sqrt{n})

· con

n - 1

grados de libertad

Cuándo se usa

Cuando hay que contrastar una media y el enunciado da el desvío de la muestra. Es el caso más frecuente. Si ya calculaste el intervalo de confianza, podés usarlo para decidir el test de dos colas.

Ejemplo 1

Una muestra de $9$ da media $46 y$ desvío muestral $5{,}66$ . Decidir al $5$ % si la media difiere de $42$ .

Calculamos el estadístico. $t = (46 - 42) / (5{,}66 / 3) \approx 2{,}1201$ .
Buscamos el crítico. Con $\nu = 8$ y dos colas al $5 \%$ la tabla da $2{,}3060$ .
Comparamos. $2{,}1201$ no llega a $2{,}3060$ , así que no se rechaza la hipótesis nula.
Respuesta: No se rechaza

Ejemplo 2

Con los mismos datos, ver qué habría pasado usando la normal.

Cambiamos el crítico. El de la normal a dos colas es $1{,}96$ .
Comparamos. $2{,}1201$ supera a $1{,}96$ .
Vemos el problema. Se habría rechazado. La conclusión se da vuelta solo por usar la tabla equivocada.
Respuesta: Se habría rechazado, incorrectamente

Error típico

Usar la tabla Z porque la muestra parece grande. Con $\sigma$ estimado corresponde la t sea cual sea n, aunque con muchos datos las dos den lo mismo.

Practicar

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Otros subtemas de Inferencia estadística

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .