Muestras apareadas

Cuando las dos mediciones se hacen sobre los mismos individuos, los grupos no son independientes y el método de dos medias no sirve.

El caso típico es medir antes y después de un tratamiento sobre las mismas personas, o comparar dos métodos aplicados a los mismos objetos.

La solución es simple y elegante: se calcula la diferencia dentro de cada par y se trabaja con esas diferencias como si fueran una sola muestra.

Eso convierte un problema de dos muestras en uno de una sola, y se aplica el test t común sobre las diferencias, con la cantidad de pares menos uno grados de libertad.

La hipótesis nula suele ser que la media de las diferencias vale cero, o sea que no hubo cambio.

La ventaja del diseño apareado es que cada individuo es su propio control, así que la variabilidad entre individuos se cancela. Eso hace el test mucho más potente con menos casos.

Usar el test de dos muestras independientes cuando los datos están apareados desperdicia esa ventaja y suele llevar a no detectar diferencias que existen. Es el error más grave del tema.

d_{i} = x_{i} - y_{i}, \quad t = \frac{\bar{d}}{s_{d} / \sqrt{n}}

Cuándo se usa

Cuando las dos mediciones son sobre los mismos individuos: antes y después, dos métodos sobre los mismos objetos. Calculá las diferencias y trabajá con una sola muestra.

Ejemplo 1

Ocho personas se pesan antes y después de un plan. Las diferencias dan media $2{,}4$ kg con desvío muestral $1{,}8$ kg. Decidir al $5$ % si hubo cambio.

Planteamos sobre las diferencias. La nula es que la diferencia media vale $0$ .
Calculamos el estadístico. $t = 2{,}4 / (1{,}8 / \sqrt{8}) \approx 3{,}7712$ .
Comparamos con el crítico. Con $\nu = 7$ a dos colas al $5 \%$ es $2{,}3646$ . Se rechaza: hubo cambio.
Respuesta: Se rechaza

Ejemplo 2

Con los mismos datos, construir el intervalo del $95$ % para la diferencia media.

Calculamos el error estándar. $1{,}8 / \sqrt{8} \approx 0{,}6364$ .
Aplicamos el crítico. $2{,}4 \pm 2{,}3646 \cdot 0{,}6364$ .
Resolvemos. De $0{,}8951$ a $3{,}9049$ . No contiene al cero, coherente con el test.
Respuesta: De $0{,}8951 a 3{,}9049$

Error típico

Aplicar el test de dos muestras independientes a datos apareados. El error estándar sale mucho más grande y el test pierde casi toda su potencia.

Practicar

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Otros subtemas de Inferencia estadística

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