Ejercicios: Muestras apareadas

2. Calculamos la diferencia dentro de cada par. $d_i = x_i - y_i$: $5$; $2$; $3$; $2$; $3$; $2$; $2$ litros.

3. Trabajamos con esas diferencias como una sola muestra. $\bar{d} = \dfrac{19}{7} \approx 2{,}7143$ y $s_d = 1{,}1127$ litros.

4. Planteamos las hipótesis y calculamos el estadístico. $H_0$: $\mu_d = 0$ contra $H_1$: $\mu_d \neq 0$. $t = \dfrac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} = \dfrac{2{,}7143}{0{,}4206} \approx 6{,}454$, con $6$ grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es $\pm 2{,}4469$. Como $|6{,}454| = 6{,}454$, se rechaza la nula al $5\%$.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos condiciones difieren en promedio.

Respuesta: $\bar{d} = 2{,}7143$ y $t = 6{,}454$ contra $2{,}4469$: se rechaza la nula

2. Calculamos los estadísticos de las diferencias. $\bar{d} = \dfrac{65}{10} = 6{,}5$ y $s_d = 1{,}6499$ puntos.

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{1{,}6499}{\sqrt{10}} = 0{,}5217$ puntos.

4. Buscamos el crítico y armamos el margen. $t = 2{,}2622$ con $9$ grados, así que el margen es $2{,}2622 \cdot 0{,}5217 \approx 1{,}1803$.

5. Armamos el intervalo. $6{,}5 \pm 1{,}1803$, o sea $[5{,}3197; 7{,}6803]$ puntos.

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de un cambio sistemático en esa dirección.

Respuesta: El intervalo es $[5{,}3197; 7{,}6803]$ puntos

2. Resolvemos el caso independiente. $\bar{x}_1 = 68{,}75$ con $s^{2}_1 = 221{,}6429$, y $\bar{x}_2 = 73{,}75$ con $s^{2}_2 = 229{,}3571$.

3. Calculamos el estadístico independiente. $EE = \sqrt{\dfrac{221{,}6429}{8} + \dfrac{229{,}3571}{8}} \approx 7{,}5083$, y $t = \dfrac{-5}{7{,}5083} \approx -0{,}6659$.

4. Comparamos los dos estadísticos. $|-10{,}8012|$ contra $|-0{,}6659|$: el apareado es mucho más grande, y los críticos son $2{,}3646$ y $2{,}1448$.

5. Explicamos la diferencia. El método independiente arrastra toda la variabilidad entre individuos, que acá es grande. El apareado la cancela: cada caso funciona como su propio control y solo queda el cambio interno.

6. La consecuencia. Tratar datos apareados como independientes desperdicia casi toda la información. El test correcto puede rechazar donde el incorrecto no rechaza.

Respuesta: Apareado: $t = -10{,}8012$. Independiente: $t = -0{,}6659$. El apareado detecta mucho mejor

2. Revisamos el caso. Acá las dos mediciones se hacen sobre los mismos individuos, así que cada operario es su propio control.

3. Elegimos el método. Corresponde el test apareado: se calculan las diferencias dentro de cada par y se trabaja con ellas como una sola muestra.

4. Damos los grados de libertad. $n - 1$, donde $n$ es la cantidad de pares.

5. Marcamos qué pasa si se elige mal. Tratar estos datos como independientes desperdiciaría el emparejamiento y bajaría mucho la potencia.

6. La señal en el enunciado. Buscar si se midió dos veces sobre lo mismo. «Antes y después», «los dos métodos sobre las mismas piezas», «cada sujeto recibió los dos tratamientos» apuntan siempre a apareado.

Respuesta: Corresponde el test apareado: las dos mediciones se hacen sobre los mismos individuos, así que cada operario es su propio control

2. Calculamos la diferencia dentro de cada par. $d_i = x_i - y_i$: $7$; $5$; $3$; $5$; $6$; $7$; $5$ puntos.

3. Trabajamos con esas diferencias como una sola muestra. $\bar{d} = \dfrac{38}{7} \approx 5{,}4286$ y $s_d = 1{,}3973$ puntos.

4. Planteamos las hipótesis y calculamos el estadístico. $H_0$: $\mu_d = 0$ contra $H_1$: $\mu_d \neq 0$. $t = \dfrac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} = \dfrac{5{,}4286}{0{,}5281} \approx 10{,}279$, con $6$ grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es $\pm 2{,}4469$. Como $|10{,}279| = 10{,}279$, se rechaza la nula al $5\%$.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos condiciones difieren en promedio.

Respuesta: $\bar{d} = 5{,}4286$ y $t = 10{,}279$ contra $2{,}4469$: se rechaza la nula

2. Calculamos los estadísticos de las diferencias. $\bar{d} = \dfrac{93}{12} = 7{,}75$ y $s_d = 1{,}5448$ minutos.

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{1{,}5448}{\sqrt{12}} = 0{,}4459$ minutos.

4. Buscamos el crítico y armamos el margen. $t = 2{,}201$ con $11$ grados, así que el margen es $2{,}201 \cdot 0{,}4459 \approx 0{,}9815$.

5. Armamos el intervalo. $7{,}75 \pm 0{,}9815$, o sea $[6{,}7685; 8{,}7315]$ minutos.

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de un cambio sistemático en esa dirección.

Respuesta: El intervalo es $[6{,}7685; 8{,}7315]$ minutos

2. Resolvemos el caso independiente. $\bar{x}_1 = 66{,}375$ con $s^{2}_1 = 81{,}4107$, y $\bar{x}_2 = 71{,}125$ con $s^{2}_2 = 94{,}4107$.

3. Calculamos el estadístico independiente. $EE = \sqrt{\dfrac{81{,}4107}{8} + \dfrac{94{,}4107}{8}} \approx 4{,}688$, y $t = \dfrac{-4{,}75}{4{,}688} \approx -1{,}0132$.

4. Comparamos los dos estadísticos. $|-11{,}5326|$ contra $|-1{,}0132|$: el apareado es mucho más grande, y los críticos son $2{,}3646$ y $2{,}1448$.

5. Explicamos la diferencia. El método independiente arrastra toda la variabilidad entre individuos, que acá es grande. El apareado la cancela: cada caso funciona como su propio control y solo queda el cambio interno.

6. La consecuencia. Tratar datos apareados como independientes desperdicia casi toda la información. El test correcto puede rechazar donde el incorrecto no rechaza.

Respuesta: Apareado: $t = -11{,}5326$. Independiente: $t = -1{,}0132$. El apareado detecta mucho mejor

2. Revisamos el caso. Acá son dos grupos distintos de personas, sin ninguna correspondencia entre un caso y otro: son muestras independientes.

3. Elegimos el método. Corresponde el test para dos muestras independientes, con el error estándar de la diferencia armado sumando las dos varianzas divididas por sus tamaños.

4. Damos los grados de libertad. Los que correspondan a las dos muestras, no la cantidad de pares, porque no hay pares.

5. Marcamos qué pasa si se elige mal. Aparearlos sería imposible: no hay ninguna correspondencia natural, y cualquier emparejamiento sería arbitrario e inventaría una estructura que no existe.

6. La señal en el enunciado. Buscar si se midió dos veces sobre lo mismo. «Antes y después», «los dos métodos sobre las mismas piezas», «cada sujeto recibió los dos tratamientos» apuntan siempre a apareado.

Respuesta: Corresponde el test para muestras independientes: son dos grupos distintos de personas, sin ninguna correspondencia entre un caso y otro: son muestras independientes

2. Calculamos la diferencia dentro de cada par. $d_i = x_i - y_i$: $5$; $2$; $4$; $4$; $6$; $4$; $3$ unidades.

3. Trabajamos con esas diferencias como una sola muestra. $\bar{d} = \dfrac{28}{7} = 4$ y $s_d = 1{,}291$ unidades.

4. Planteamos las hipótesis y calculamos el estadístico. $H_0$: $\mu_d = 0$ contra $H_1$: $\mu_d \neq 0$. $t = \dfrac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} = \dfrac{4}{0{,}488} \approx 8{,}1976$, con $6$ grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es $\pm 2{,}4469$. Como $|8{,}1976| = 8{,}1976$, se rechaza la nula al $5\%$.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos condiciones difieren en promedio.

Respuesta: $\bar{d} = 4$ y $t = 8{,}1976$ contra $2{,}4469$: se rechaza la nula

2. Calculamos los estadísticos de las diferencias. $\bar{d} = \dfrac{-70}{10} = -7$ y $s_d = 1{,}633$ litros.

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{1{,}633}{\sqrt{10}} = 0{,}5164$ litros.

4. Buscamos el crítico y armamos el margen. $t = 2{,}2622$ con $9$ grados, así que el margen es $2{,}2622 \cdot 0{,}5164 \approx 1{,}1682$.

5. Armamos el intervalo. $-7 \pm 1{,}1682$, o sea $[-8{,}1682; -5{,}8318]$ litros.

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de un cambio sistemático en esa dirección.

Respuesta: El intervalo es $[-8{,}1682; -5{,}8318]$ litros

2. Resolvemos el caso independiente. $\bar{x}_1 = 72{,}5$ con $s^{2}_1 = 144{,}2778$, y $\bar{x}_2 = 68{,}9$ con $s^{2}_2 = 139{,}6556$.

3. Calculamos el estadístico independiente. $EE = \sqrt{\dfrac{144{,}2778}{10} + \dfrac{139{,}6556}{10}} \approx 5{,}3285$, y $t = \dfrac{3{,}6}{5{,}3285} \approx 0{,}6756$.

4. Comparamos los dos estadísticos. $|10{,}5903|$ contra $|0{,}6756|$: el apareado es mucho más grande, y los críticos son $2{,}2622$ y $2{,}1009$.

5. Explicamos la diferencia. El método independiente arrastra toda la variabilidad entre individuos, que acá es grande. El apareado la cancela: cada caso funciona como su propio control y solo queda el cambio interno.

6. La consecuencia. Tratar datos apareados como independientes desperdicia casi toda la información. El test correcto puede rechazar donde el incorrecto no rechaza.

Respuesta: Apareado: $t = 10{,}5903$. Independiente: $t = 0{,}6756$. El apareado detecta mucho mejor

2. Revisamos el caso. Acá cada pieza recibe los dos tratamientos, así que los datos vienen naturalmente de a pares.

3. Elegimos el método. Corresponde el test apareado: se calculan las diferencias dentro de cada par y se trabaja con ellas como una sola muestra.

4. Damos los grados de libertad. $n - 1$, donde $n$ es la cantidad de pares.

5. Marcamos qué pasa si se elige mal. Tratar estos datos como independientes desperdiciaría el emparejamiento y bajaría mucho la potencia.

6. La señal en el enunciado. Buscar si se midió dos veces sobre lo mismo. «Antes y después», «los dos métodos sobre las mismas piezas», «cada sujeto recibió los dos tratamientos» apuntan siempre a apareado.

Respuesta: Corresponde el test apareado: cada pieza recibe los dos tratamientos, así que los datos vienen naturalmente de a pares