Ejercicios: Intervalo y test para dos medias

1. Se comparó el puntaje del examen en dos cursos. El primer grupo dio $50$ casos con promedio $50$ y desvío $9$ ; el segundo, $35$ casos con promedio $54$ y desvío $5$ puntos. Construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia de medias.

Ver solución

1. Identificamos el parámetro. $\mu_1 - \mu_2$ , la diferencia entre las dos medias poblacionales.

2. Calculamos la estimación puntual. $\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 50 - 54 = -4$ puntos.

3. Calculamos el error estándar de la diferencia. $\sqrt{\dfrac{s^{2}_1}{n_1} + \dfrac{s^{2}_2}{n_2}} = \sqrt{\dfrac{81}{50} + \dfrac{25}{35}} = \sqrt{2{,}3343} \approx 1{,}5278$

4. Explicamos por qué se suman las varianzas. Aunque las medias se resten, las dos fuentes de incertidumbre se acumulan. Restar no cancela error.

5. Armamos el intervalo. $-4 \pm 1{,}96 \cdot 1{,}5278 = -4 \pm 2{,}9945$ , o sea $[-6{,}9945; -1{,}0055]$ .

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que las medias difieren.

Respuesta: El intervalo es $[-6{,}9945; -1{,}0055]$ puntos

2. Se comparó el tiempo de atención en dos sucursales, con $60$ y $55$ casos, promedios $90$ y $101$ y desvíos $9$ y $6$ minutos. Realizá el test de dos colas al $5\%$ para decidir si las medias difieren.

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu_1 - \mu_2 = 0$ contra $H_1$ : $\mu_1 - \mu_2 \neq 0$ .

2. Calculamos la diferencia observada. $90 - 101 = -11$ minutos.

3. Calculamos el error estándar de la diferencia. $\sqrt{\dfrac{81}{60} + \dfrac{36}{55}} \approx 1{,}4158$

4. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{-11 - 0}{1{,}4158} \approx -7{,}7694$

5. Decidimos. El crítico es $\pm 1{,}96$ . Como $|-7{,}7694| = 7{,}7694$ , se rechaza la nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos medias poblacionales difieren.

Respuesta: $z = -7{,}7694$ contra $1{,}96$ : se rechaza la nula

3. Al comparar el peso de las piezas en dos turnos de producción, alguien calcula el error estándar de la diferencia sumando los dos errores estándar individuales. Con $40$ y $45$ casos y desvíos $17$ y $16$ gramos, calculá el valor correcto y el que sale de ese procedimiento.

Ver solución

1. Calculamos los dos errores estándar individuales. $\dfrac{17}{\sqrt{40}} = 2{,}6879$ y $\dfrac{16}{\sqrt{45}} = 2{,}3851$ .

2. Vemos qué da el procedimiento incorrecto. Sumarlos da $2{,}6879 + 2{,}3851 \approx 5{,}0731$ .

3. Escribimos la fórmula correcta. $EE = \sqrt{\dfrac{s^{2}_1}{n_1} + \dfrac{s^{2}_2}{n_2}}$ : se suman las varianzas, no los desvíos.

4. Calculamos el valor correcto. $\sqrt{7{,}225 + 5{,}6889} = \sqrt{12{,}9139} \approx 3{,}5936$

5. Medimos el error. $5{,}0731$ contra $3{,}5936$ : el procedimiento incorrecto sobreestima en $1{,}4795$ , un $41{,}17\%$ de más.

6. Qué consecuencia tiene. Un error estándar inflado da intervalos más anchos y tests que casi nunca rechazan. Es el mismo error que sumar desvíos en vez de varianzas al sumar variables independientes.

Respuesta: El correcto es $3{,}5936$ y el procedimiento incorrecto da $5{,}0731$

4. Se comparó el puntaje del examen en dos cursos, con $60$ casos cada uno. El primero dio promedio $85$ con desvío $11$ y el segundo $91$ con desvío $13$ puntos. Construí los dos intervalos individuales y el intervalo de la diferencia, y compará las conclusiones.

Ver solución

1. Construimos el intervalo del primer grupo. $85 \pm 1{,}96 \cdot 1{,}4201 = [82{,}2167; 87{,}7833]$ .

2. Construimos el del segundo. $91 \pm 3{,}2894 = [87{,}7106; 94{,}2894]$ .

3. Vemos si se pisan. El primero llega hasta $87{,}7833$ y el segundo arranca en $87{,}7106$ : se pisan.

4. Construimos el intervalo de la diferencia. Estimación $6$ , error estándar $2{,}1985$ , margen $4{,}309$ : $[1{,}691; 10{,}309]$ .

5. Comparamos las conclusiones. Los intervalos individuales se pisan, pero el de la diferencia no contiene al cero: hay evidencia de que las medias difieren.

6. Por qué el de la diferencia es el correcto. Es el que corresponde al parámetro que interesa. Que dos intervalos individuales se pisen no prueba que las medias sean iguales: el criterio de solapamiento es más conservador de lo que corresponde.

Respuesta: Individuales: $[82{,}2167; 87{,}7833]$ y $[87{,}7106; 94{,}2894]$ . De la diferencia: $[1{,}691; 10{,}309]$

5. Se comparó el tiempo de atención en dos sucursales. El primer grupo dio $40$ casos con promedio $60$ y desvío $7$ ; el segundo, $45$ casos con promedio $67$ y desvío $9$ minutos. Construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia de medias.

Ver solución

1. Identificamos el parámetro. $\mu_1 - \mu_2$ , la diferencia entre las dos medias poblacionales.

2. Calculamos la estimación puntual. $\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 60 - 67 = -7$ minutos.

3. Calculamos el error estándar de la diferencia. $\sqrt{\dfrac{s^{2}_1}{n_1} + \dfrac{s^{2}_2}{n_2}} = \sqrt{\dfrac{49}{40} + \dfrac{81}{45}} = \sqrt{3{,}025} \approx 1{,}7393$

4. Explicamos por qué se suman las varianzas. Aunque las medias se resten, las dos fuentes de incertidumbre se acumulan. Restar no cancela error.

5. Armamos el intervalo. $-7 \pm 1{,}96 \cdot 1{,}7393 = -7 \pm 3{,}4089$ , o sea $[-10{,}4089; -3{,}5911]$ .

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que las medias difieren.

Respuesta: El intervalo es $[-10{,}4089; -3{,}5911]$ minutos

6. Se comparó el puntaje del examen en dos cursos, con $50$ y $70$ casos, promedios $65$ y $62$ y desvíos $8$ y $9$ puntos. Realizá el test de dos colas al $5\%$ para decidir si las medias difieren.

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu_1 - \mu_2 = 0$ contra $H_1$ : $\mu_1 - \mu_2 \neq 0$ .

2. Calculamos la diferencia observada. $65 - 62 = 3$ puntos.

3. Calculamos el error estándar de la diferencia. $\sqrt{\dfrac{64}{50} + \dfrac{81}{70}} \approx 1{,}5611$

4. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{3 - 0}{1{,}5611} \approx 1{,}9217$

5. Decidimos. El crítico es $\pm 1{,}96$ . Como $|1{,}9217| = 1{,}9217$ , no se rechaza la nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión. No hay evidencia suficiente para afirmar que las medias difieran.

Respuesta: $z = 1{,}9217$ contra $1{,}96$ : no se rechaza la nula

7. Al comparar el puntaje del examen en dos cursos, alguien calcula el error estándar de la diferencia sumando los dos errores estándar individuales. Con $36$ y $50$ casos y desvíos $6$ y $10$ puntos, calculá el valor correcto y el que sale de ese procedimiento.

Ver solución

1. Calculamos los dos errores estándar individuales. $\dfrac{6}{\sqrt{36}} = 1$ y $\dfrac{10}{\sqrt{50}} = 1{,}4142$ .

2. Vemos qué da el procedimiento incorrecto. Sumarlos da $1 + 1{,}4142 = 2{,}4142$ .

3. Escribimos la fórmula correcta. $EE = \sqrt{\dfrac{s^{2}_1}{n_1} + \dfrac{s^{2}_2}{n_2}}$ : se suman las varianzas, no los desvíos.

4. Calculamos el valor correcto. $\sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \approx 1{,}7321$

5. Medimos el error. $2{,}4142$ contra $1{,}7321$ : el procedimiento incorrecto sobreestima en $0{,}6822$ , un $39{,}38\%$ de más.

6. Qué consecuencia tiene. Un error estándar inflado da intervalos más anchos y tests que casi nunca rechazan. Es el mismo error que sumar desvíos en vez de varianzas al sumar variables independientes.

Respuesta: El correcto es $1{,}7321$ y el procedimiento incorrecto da $2{,}4142$

8. Se comparó el tiempo de atención en dos sucursales, con $40$ casos cada uno. El primero dio promedio $75$ con desvío $15$ y el segundo $85$ con desvío $14$ minutos. Construí los dos intervalos individuales y el intervalo de la diferencia, y compará las conclusiones.

Ver solución

1. Construimos el intervalo del primer grupo. $75 \pm 1{,}96 \cdot 2{,}3717 = [70{,}3515; 79{,}6485]$ .

2. Construimos el del segundo. $85 \pm 4{,}3386 = [80{,}6614; 89{,}3386]$ .

3. Vemos si se pisan. El primero llega hasta $79{,}6485$ y el segundo arranca en $80{,}6614$ : no se pisan.

4. Construimos el intervalo de la diferencia. Estimación $10$ , error estándar $3{,}2442$ , margen $6{,}3586$ : $[3{,}6414; 16{,}3586]$ .

5. Comparamos las conclusiones. Las dos lecturas coinciden en este caso.

6. Por qué el de la diferencia es el correcto. Es el que corresponde al parámetro que interesa. Que dos intervalos individuales se pisen no prueba que las medias sean iguales: el criterio de solapamiento es más conservador de lo que corresponde.

Respuesta: Individuales: $[70{,}3515; 79{,}6485]$ y $[80{,}6614; 89{,}3386]$ . De la diferencia: $[3{,}6414; 16{,}3586]$

9. Se comparó la demora de entrega en dos proveedores. El primer grupo dio $50$ casos con promedio $80$ y desvío $7$ ; el segundo, $35$ casos con promedio $76$ y desvío $12$ días. Construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia de medias.

Ver solución

1. Identificamos el parámetro. $\mu_1 - \mu_2$ , la diferencia entre las dos medias poblacionales.

2. Calculamos la estimación puntual. $\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 80 - 76 = 4$ días.

3. Calculamos el error estándar de la diferencia. $\sqrt{\dfrac{s^{2}_1}{n_1} + \dfrac{s^{2}_2}{n_2}} = \sqrt{\dfrac{49}{50} + \dfrac{144}{35}} = \sqrt{5{,}0943} \approx 2{,}2571$

4. Explicamos por qué se suman las varianzas. Aunque las medias se resten, las dos fuentes de incertidumbre se acumulan. Restar no cancela error.

5. Armamos el intervalo. $4 \pm 1{,}96 \cdot 2{,}2571 = 4 \pm 4{,}4237$ , o sea $[-0{,}4237; 8{,}4237]$ .

6. Interpretamos. El intervalo contiene al cero, así que con este dato no se puede afirmar que las medias difieran.

Respuesta: El intervalo es $[-0{,}4237; 8{,}4237]$ días

10. Se comparó la demora de entrega en dos proveedores, con $60$ y $45$ casos, promedios $40$ y $28$ y desvíos $9$ y $12$ días. Realizá el test de dos colas al $5\%$ para decidir si las medias difieren.

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu_1 - \mu_2 = 0$ contra $H_1$ : $\mu_1 - \mu_2 \neq 0$ .

2. Calculamos la diferencia observada. $40 - 28 = 12$ días.

3. Calculamos el error estándar de la diferencia. $\sqrt{\dfrac{81}{60} + \dfrac{144}{45}} \approx 2{,}1331$

4. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{12 - 0}{2{,}1331} \approx 5{,}6257$

5. Decidimos. El crítico es $\pm 1{,}96$ . Como $|5{,}6257| = 5{,}6257$ , se rechaza la nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos medias poblacionales difieren.

Respuesta: $z = 5{,}6257$ contra $1{,}96$ : se rechaza la nula

11. Al comparar el tiempo de atención en dos sucursales, alguien calcula el error estándar de la diferencia sumando los dos errores estándar individuales. Con $25$ y $45$ casos y desvíos $7$ y $9$ minutos, calculá el valor correcto y el que sale de ese procedimiento.

Ver solución

1. Calculamos los dos errores estándar individuales. $\dfrac{7}{\sqrt{25}} = 1{,}4$ y $\dfrac{9}{\sqrt{45}} = 1{,}3416$ .

2. Vemos qué da el procedimiento incorrecto. Sumarlos da $1{,}4 + 1{,}3416 = 2{,}7416$ .

3. Escribimos la fórmula correcta. $EE = \sqrt{\dfrac{s^{2}_1}{n_1} + \dfrac{s^{2}_2}{n_2}}$ : se suman las varianzas, no los desvíos.

4. Calculamos el valor correcto. $\sqrt{1{,}96 + 1{,}8} = \sqrt{3{,}76} \approx 1{,}9391$

5. Medimos el error. $2{,}7416$ contra $1{,}9391$ : el procedimiento incorrecto sobreestima en $0{,}8026$ , un $41{,}39\%$ de más.

6. Qué consecuencia tiene. Un error estándar inflado da intervalos más anchos y tests que casi nunca rechazan. Es el mismo error que sumar desvíos en vez de varianzas al sumar variables independientes.

Respuesta: El correcto es $1{,}9391$ y el procedimiento incorrecto da $2{,}7416$

12. Se comparó el peso de las piezas en dos turnos de producción, con $40$ casos cada uno. El primero dio promedio $75$ con desvío $12$ y el segundo $81$ con desvío $10$ gramos. Construí los dos intervalos individuales y el intervalo de la diferencia, y compará las conclusiones.

Ver solución

1. Construimos el intervalo del primer grupo. $75 \pm 1{,}96 \cdot 1{,}8974 = [71{,}2812; 78{,}7188]$ .

2. Construimos el del segundo. $81 \pm 3{,}099 = [77{,}901; 84{,}099]$ .

3. Vemos si se pisan. El primero llega hasta $78{,}7188$ y el segundo arranca en $77{,}901$ : se pisan.

4. Construimos el intervalo de la diferencia. Estimación $6$ , error estándar $2{,}4698$ , margen $4{,}8408$ : $[1{,}1592; 10{,}8408]$ .

5. Comparamos las conclusiones. Los intervalos individuales se pisan, pero el de la diferencia no contiene al cero: hay evidencia de que las medias difieren.

6. Por qué el de la diferencia es el correcto. Es el que corresponde al parámetro que interesa. Que dos intervalos individuales se pisen no prueba que las medias sean iguales: el criterio de solapamiento es más conservador de lo que corresponde.

Respuesta: Individuales: $[71{,}2812; 78{,}7188]$ y $[77{,}901; 84{,}099]$ . De la diferencia: $[1{,}1592; 10{,}8408]$