Ejercicios: Potencia y error de tipo II

1. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 90$ minutos, con desvío $14$ y muestra de $49$ casos, calculá la probabilidad de error de tipo II si el valor verdadero fuera $80$ .

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1. Hallamos la zona de no rechazo en la escala original. El error estándar es $2$ y el crítico es $z = 1{,}6449$ , así que se rechaza si el promedio queda por debajo de $90 - 1{,}6449 \cdot 2 \approx 86{,}7103$ .

2. Definimos el error de tipo II. Es no rechazar la nula siendo falsa. Bajo $\mu = 80$ , ocurre si el promedio no queda por debajo de $86{,}7103$ .

3. Cambiamos el centro de la distribución. Bajo el valor verdadero, $\bar{x}$ es normal con media $80$ y el mismo error estándar $2$ .

4. Estandarizamos con el centro nuevo. $z = \dfrac{86{,}7103 - 80}{2} \approx 3{,}3551$

5. Calculamos $\beta$ . $\beta = 0{,}0004$ , o sea un $0{,}04\%$ de probabilidad de no detectar la diferencia.

6. Marcamos la diferencia con $\alpha$ . $\alpha$ se fija de antemano. $\beta$ no: depende del valor verdadero, que es desconocido. Por eso se lo calcula para valores alternativos concretos que interese detectar.

Respuesta: $\beta = 0{,}0004$

2. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 90$ contra $H_1$ : $\mu > 90$ gramos, con desvío $11$ y muestra de $25$ casos, calculá la potencia del test frente a $\mu = 94$ .

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1. Hallamos el punto de corte. $EE = 2{,}2$ y se rechaza si el promedio supera $90 + 1{,}6449 \cdot 2{,}2 \approx 93{,}6187$ .

2. Definimos potencia. Es $1 - \beta$ : la probabilidad de rechazar la nula cuando efectivamente es falsa. Es la capacidad del test para detectar lo que hay.

3. Calculamos $\beta$ . $z = \dfrac{93{,}6187 - 94}{2{,}2} \approx -0{,}1733$ , así que $\beta = 0{,}4312$ .

4. Calculamos la potencia. $1 - 0{,}4312 = 0{,}5688$ , o sea un $56{,}88\%$ .

5. Interpretamos. Si la media verdadera fuera $94$ , este test la detectaría en un $56{,}88\%$ de los casos y la dejaría pasar en un $43{,}12\%$ .

6. Por qué esto importa antes de concluir. Si el test no rechaza y la potencia es de solo $56{,}88\%$ , no rechazar dice muy poco: el test no tenía capacidad para encontrar la diferencia aunque existiera.

Respuesta: La potencia es $0{,}5688$ , con $\beta = 0{,}4312$

3. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 120$ minutos, con desvío $13$ , calculá la potencia frente a $\mu = 127$ para muestras de $16$ , $100$ , $400$ casos, y describí el efecto de $n$ .

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1. Fijamos lo que no cambia. El nivel $\alpha = 0{,}05$ , el crítico $z = 1{,}6449$ , y la distancia a detectar $127 - 120 = 7$ minutos.

2. Calculamos con la muestra chica. $EE = 3{,}25$ , corte en $125{,}3458$ , potencia $0{,}6946$ .

3. Calculamos con la intermedia. $EE = 1{,}3$ , potencia $0{,}9999$ .

4. Calculamos con la grande. $EE = 0{,}65$ , potencia $1$ .

5. Describimos el efecto. La potencia sube de $0{,}6946$ a $1$ . Al crecer $n$ el error estándar baja, las dos distribuciones se solapan menos y el test distingue mejor.

6. Lo que esto permite hacer. Elegir $n$ de antemano para alcanzar una potencia deseada, típicamente $0{,}80$ . Es la única forma de bajar $\alpha$ y $\beta$ a la vez.

Respuesta: Las potencias son $0{,}6946$ ; $0{,}9999$ ; $1$ , y crecen con $n$

4. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 90$ minutos, con desvío $9$ y muestra de $64$ casos, calculá la potencia frente a tres valores alternativos: $92$ , $96$ , $106$ . Describí el efecto de la distancia.

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1. Hallamos el punto de corte, que es el mismo en los tres casos. $EE = 1{,}125$ y se rechaza si el promedio supera $91{,}8505$ .

2. Calculamos la potencia frente a la alternativa más cercana. Con $\mu = 92$ , a $2$ minutos de distancia: potencia $0{,}5529$ .

3. Calculamos frente a la intermedia. Con $\mu = 96$ : potencia $0{,}9999$ .

4. Calculamos frente a la más lejana. Con $\mu = 106$ : potencia $1$ .

5. Describimos el efecto. La potencia crece de $0{,}5529$ a $1$ a medida que la alternativa se aleja de la nula. Las diferencias grandes son fáciles de detectar; las chicas, no.

6. La consecuencia al informar. Un test que no rechaza no descarta diferencias chicas. Acá, una diferencia de $2$ minutos pasaría desapercibida en un $44{,}71\%$ de los casos.

Respuesta: Las potencias son $0{,}5529$ ; $0{,}9999$ ; $1$ , y crecen con la distancia a la nula

5. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 110$ miles de pesos, con desvío $12$ y muestra de $49$ casos, calculá la probabilidad de error de tipo II si el valor verdadero fuera $101$ .

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1. Hallamos la zona de no rechazo en la escala original. El error estándar es $1{,}7143$ y el crítico es $z = 1{,}6449$ , así que se rechaza si el promedio queda por debajo de $110 - 1{,}6449 \cdot 1{,}7143 \approx 107{,}1803$ .

2. Definimos el error de tipo II. Es no rechazar la nula siendo falsa. Bajo $\mu = 101$ , ocurre si el promedio no queda por debajo de $107{,}1803$ .

3. Cambiamos el centro de la distribución. Bajo el valor verdadero, $\bar{x}$ es normal con media $101$ y el mismo error estándar $1{,}7143$ .

4. Estandarizamos con el centro nuevo. $z = \dfrac{107{,}1803 - 101}{1{,}7143} \approx 3{,}6051$

5. Calculamos $\beta$ . $\beta = 0{,}0002$ , o sea un $0{,}02\%$ de probabilidad de no detectar la diferencia.

6. Marcamos la diferencia con $\alpha$ . $\alpha$ se fija de antemano. $\beta$ no: depende del valor verdadero, que es desconocido. Por eso se lo calcula para valores alternativos concretos que interese detectar.

Respuesta: $\beta = 0{,}0002$

6. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 120$ contra $H_1$ : $\mu > 120$ horas, con desvío $12$ y muestra de $25$ casos, calculá la potencia del test frente a $\mu = 125$ .

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1. Hallamos el punto de corte. $EE = 2{,}4$ y se rechaza si el promedio supera $120 + 1{,}6449 \cdot 2{,}4 \approx 123{,}9476$ .

2. Definimos potencia. Es $1 - \beta$ : la probabilidad de rechazar la nula cuando efectivamente es falsa. Es la capacidad del test para detectar lo que hay.

3. Calculamos $\beta$ . $z = \dfrac{123{,}9476 - 125}{2{,}4} = -0{,}4385$ , así que $\beta = 0{,}3305$ .

4. Calculamos la potencia. $1 - 0{,}3305 = 0{,}6695$ , o sea un $66{,}95\%$ .

5. Interpretamos. Si la media verdadera fuera $125$ , este test la detectaría en un $66{,}95\%$ de los casos y la dejaría pasar en un $33{,}05\%$ .

6. Por qué esto importa antes de concluir. Si el test no rechaza y la potencia es de solo $66{,}95\%$ , no rechazar dice muy poco: el test no tenía capacidad para encontrar la diferencia aunque existiera.

Respuesta: La potencia es $0{,}6695$ , con $\beta = 0{,}3305$

7. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 100$ horas, con desvío $12$ , calculá la potencia frente a $\mu = 108$ para muestras de $25$ , $64$ , $225$ casos, y describí el efecto de $n$ .

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1. Fijamos lo que no cambia. El nivel $\alpha = 0{,}05$ , el crítico $z = 1{,}6449$ , y la distancia a detectar $108 - 100 = 8$ horas.

2. Calculamos con la muestra chica. $EE = 2{,}4$ , corte en $103{,}9476$ , potencia $0{,}9543$ .

3. Calculamos con la intermedia. $EE = 1{,}5$ , potencia $0{,}9999$ .

4. Calculamos con la grande. $EE = 0{,}8$ , potencia $1$ .

5. Describimos el efecto. La potencia sube de $0{,}9543$ a $1$ . Al crecer $n$ el error estándar baja, las dos distribuciones se solapan menos y el test distingue mejor.

6. Lo que esto permite hacer. Elegir $n$ de antemano para alcanzar una potencia deseada, típicamente $0{,}80$ . Es la única forma de bajar $\alpha$ y $\beta$ a la vez.

Respuesta: Las potencias son $0{,}9543$ ; $0{,}9999$ ; $1$ , y crecen con $n$

8. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 80$ miles de pesos, con desvío $9$ y muestra de $49$ casos, calculá la potencia frente a tres valores alternativos: $81$ , $86$ , $90$ . Describí el efecto de la distancia.

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1. Hallamos el punto de corte, que es el mismo en los tres casos. $EE = 1{,}2857$ y se rechaza si el promedio supera $82{,}1148$ .

2. Calculamos la potencia frente a la alternativa más cercana. Con $\mu = 81$ , a $1$ miles de pesos de distancia: potencia $0{,}193$ .

3. Calculamos frente a la intermedia. Con $\mu = 86$ : potencia $0{,}9987$ .

4. Calculamos frente a la más lejana. Con $\mu = 90$ : potencia $1$ .

5. Describimos el efecto. La potencia crece de $0{,}193$ a $1$ a medida que la alternativa se aleja de la nula. Las diferencias grandes son fáciles de detectar; las chicas, no.

6. La consecuencia al informar. Un test que no rechaza no descarta diferencias chicas. Acá, una diferencia de $1$ miles de pesos pasaría desapercibida en un $80{,}7\%$ de los casos.

Respuesta: Las potencias son $0{,}193$ ; $0{,}9987$ ; $1$ , y crecen con la distancia a la nula

9. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 90$ puntos, con desvío $14$ y muestra de $25$ casos, calculá la probabilidad de error de tipo II si el valor verdadero fuera $99$ .

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1. Hallamos la zona de no rechazo en la escala original. El error estándar es $2{,}8$ y el crítico es $z = 1{,}6449$ , así que se rechaza si el promedio supera $90 + 1{,}6449 \cdot 2{,}8 \approx 94{,}6056$ .

2. Definimos el error de tipo II. Es no rechazar la nula siendo falsa. Bajo $\mu = 99$ , ocurre si el promedio no supera $94{,}6056$ .

3. Cambiamos el centro de la distribución. Bajo el valor verdadero, $\bar{x}$ es normal con media $99$ y el mismo error estándar $2{,}8$ .

4. Estandarizamos con el centro nuevo. $z = \dfrac{94{,}6056 - 99}{2{,}8} \approx -1{,}5694$

5. Calculamos $\beta$ . $\beta = 0{,}0583$ , o sea un $5{,}83\%$ de probabilidad de no detectar la diferencia.

6. Marcamos la diferencia con $\alpha$ . $\alpha$ se fija de antemano. $\beta$ no: depende del valor verdadero, que es desconocido. Por eso se lo calcula para valores alternativos concretos que interese detectar.

Respuesta: $\beta = 0{,}0583$

10. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 80$ contra $H_1$ : $\mu > 80$ puntos, con desvío $8$ y muestra de $36$ casos, calculá la potencia del test frente a $\mu = 88$ .

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1. Hallamos el punto de corte. $EE = 1{,}3333$ y se rechaza si el promedio supera $80 + 1{,}6449 \cdot 1{,}3333 \approx 82{,}1931$ .

2. Definimos potencia. Es $1 - \beta$ : la probabilidad de rechazar la nula cuando efectivamente es falsa. Es la capacidad del test para detectar lo que hay.

3. Calculamos $\beta$ . $z = \dfrac{82{,}1931 - 88}{1{,}3333} \approx -4{,}3551$ , así que $\beta = 0$ .

4. Calculamos la potencia. $1 - 0 = 1$ , o sea un $100\%$ .

5. Interpretamos. Si la media verdadera fuera $88$ , este test la detectaría en un $100\%$ de los casos y la dejaría pasar en un $0\%$ .

6. Por qué esto importa antes de concluir. Si el test no rechaza y la potencia es de solo $100\%$ , no rechazar dice muy poco: el test no tenía capacidad para encontrar la diferencia aunque existiera.

Respuesta: La potencia es $1$ , con $\beta = 0$

11. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 130$ miles de pesos, con desvío $13$ , calculá la potencia frente a $\mu = 135$ para muestras de $25$ , $64$ , $225$ casos, y describí el efecto de $n$ .

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1. Fijamos lo que no cambia. El nivel $\alpha = 0{,}05$ , el crítico $z = 1{,}6449$ , y la distancia a detectar $135 - 130 = 5$ miles de pesos.

2. Calculamos con la muestra chica. $EE = 2{,}6$ , corte en $134{,}2766$ , potencia $0{,}6096$ .

3. Calculamos con la intermedia. $EE = 1{,}625$ , potencia $0{,}9239$ .

4. Calculamos con la grande. $EE = 0{,}8667$ , potencia $1$ .

5. Describimos el efecto. La potencia sube de $0{,}6096$ a $1$ . Al crecer $n$ el error estándar baja, las dos distribuciones se solapan menos y el test distingue mejor.

6. Lo que esto permite hacer. Elegir $n$ de antemano para alcanzar una potencia deseada, típicamente $0{,}80$ . Es la única forma de bajar $\alpha$ y $\beta$ a la vez.

Respuesta: Las potencias son $0{,}6096$ ; $0{,}9239$ ; $1$ , y crecen con $n$

12. En un test de una cola al $5\%$ sobre $H_0$ : $\mu = 110$ quintales, con desvío $16$ y muestra de $36$ casos, calculá la potencia frente a tres valores alternativos: $113$ , $115$ , $123$ . Describí el efecto de la distancia.

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1. Hallamos el punto de corte, que es el mismo en los tres casos. $EE = 2{,}6667$ y se rechaza si el promedio supera $114{,}3863$ .

2. Calculamos la potencia frente a la alternativa más cercana. Con $\mu = 113$ , a $3$ quintales de distancia: potencia $0{,}3016$ .

3. Calculamos frente a la intermedia. Con $\mu = 115$ : potencia $0{,}591$ .

4. Calculamos frente a la más lejana. Con $\mu = 123$ : potencia $0{,}9994$ .

5. Describimos el efecto. La potencia crece de $0{,}3016$ a $0{,}9994$ a medida que la alternativa se aleja de la nula. Las diferencias grandes son fáciles de detectar; las chicas, no.

6. La consecuencia al informar. Un test que no rechaza no descarta diferencias chicas. Acá, una diferencia de $3$ quintales pasaría desapercibida en un $69{,}84\%$ de los casos.

Respuesta: Las potencias son $0{,}3016$ ; $0{,}591$ ; $0{,}9994$ , y crecen con la distancia a la nula