Ejercicios: El valor p

1. En un test de dos colas sobre $H_0$ : $\mu = 80$ quintales, con desvío conocido $18$ y una muestra de $36$ casos, el promedio dio $89$ . Calculá el valor p y decidí al $5\%$ .

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1. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{89 - 80}{3} = 3$

2. Definimos el valor p. Es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado, o más, suponiendo que la nula es cierta. Mide qué tan sorprendente sería esta muestra si $H_0$ fuera verdad.

3. Calculamos una cola. $P(Z > 3) = 1 - 0{,}9987 = 0{,}0013$

4. Duplicamos por ser dos colas. Un resultado igual de extremo del otro lado también cuenta: $p = 2 \cdot 0{,}0013 \approx 0{,}0027$ .

5. Decidimos. $0{,}0027$ es menor que $\alpha = 0{,}05$ , así que se rechaza la nula.

6. Lo que agrega el valor p. La decisión binaria dice solo si se rechazó. El valor p $0{,}0027$ dice además cuán al límite estuvo, y permite que cada lector decida con su propio nivel.

Respuesta: $p = 0{,}0027$ : se rechaza la nula al $5\%$

2. En un test de una cola sobre $H_0$ : $\mu = 90$ contra $H_1$ : $\mu > 90$ puntos, con desvío conocido $17$ y muestra de $36$ casos, el promedio dio $94{,}82$ . Calculá el valor p y decidí al $5\%$ .

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1. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{94{,}82 - 90}{2{,}8333} \approx 1{,}7012$

2. Identificamos hacia qué lado va la cola. La alternativa apunta hacia valores mayores, así que el valor p es el área de esa sola cola.

3. Calculamos. $p = P(Z > 1{,}7012) = 1 - 0{,}9555 = 0{,}0445$

4. Decidimos. $0{,}0445$ es menor que $0{,}05$ , así que se rechaza la nula.

5. Comparamos con el test de dos colas. Con dos colas el valor p sería $0{,}0889$ , el doble. Por eso los tests de una cola detectan más fácil en la dirección elegida.

6. La condición que hay que respetar. La dirección de la alternativa se fija antes de ver los datos. Elegirla después duplica de hecho el nivel real del test.

Respuesta: $p = 0{,}0445$ : se rechaza la nula al $5\%$

3. Un test arrojó un valor p de $0{,}03$ . Decidí la conclusión a los niveles del $10\%$ , $5\%$ y $1\%$ , y explicá qué significa el número.

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1. Escribimos la regla de decisión. Si el valor p es menor o igual que $\alpha$ , se rechaza la nula. Si es mayor, no se rechaza.

2. Aplicamos al $10\%$ . $0{,}03$ es menor que $0{,}1$ : se rechaza.

3. Aplicamos al $5\%$ . $0{,}03$ es menor que $0{,}05$ : se rechaza.

4. Aplicamos al $1\%$ . $0{,}03$ es mayor que $0{,}01$ : no se rechaza.

5. Interpretamos el número. Si la nula fuera cierta, en un $3\%$ de las muestras se obtendría un resultado tan extremo como este o más. Cuanto más chico, más raro resulta el dato bajo la nula.

6. Lo que el valor p no es. No es la probabilidad de que la nula sea cierta. Se calcula suponiendo que lo es, así que no puede ser una probabilidad sobre ella.

Respuesta: Al $10\%$ se rechaza, al $5\%$ se rechaza, al $1\%$ no se rechaza

4. Dos estudios distintos sobre el mismo tema dieron valores p de $0{,}045$ y $0{,}0005$ . Los dos rechazan al $5\%$ . Explicá qué información se pierde si solo se informa la decisión.

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1. Aplicamos la regla en los dos casos. $0{,}045 < 0{,}05$ y $0{,}0005 < 0{,}05$ : los dos rechazan la nula al $5\%$ .

2. Vemos qué dice cada número. El primero indica que un resultado así de extremo ocurriría en un $4{,}5\%$ de las muestras si la nula fuera cierta. El segundo, en un $0{,}05\%$ : mucho más raro.

3. Comparamos. $\dfrac{0{,}045}{0{,}0005} = 90$ : el segundo resultado es unas 90 veces menos probable bajo la nula que el primero.

4. Vemos qué se pierde con la decisión sola. Reportar solo «se rechaza al $5\%$ » iguala los dos estudios, cuando la fuerza de la evidencia es completamente distinta.

5. Vemos qué se pierde igual con el valor p. El tamaño del efecto. Un valor p muy chico puede venir de una diferencia mínima medida con una muestra enorme, y eso no lo dice el valor p.

6. Qué conviene informar. El valor p junto con la estimación puntual y su intervalo de confianza. Los tres juntos dicen si el efecto existe, cuánto vale y con qué precisión se lo midió.

Respuesta: Los dos rechazan al $5\%$ , pero $0{,}0005$ es evidencia mucho más fuerte que $0{,}045$ : informar solo la decisión borra esa diferencia

5. En un test de dos colas sobre $H_0$ : $\mu = 50$ gramos, con desvío conocido $10$ y una muestra de $36$ casos, el promedio dio $52{,}5$ . Calculá el valor p y decidí al $5\%$ .

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1. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{52{,}5 - 50}{1{,}6667} \approx 1{,}5$

2. Definimos el valor p. Es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado, o más, suponiendo que la nula es cierta. Mide qué tan sorprendente sería esta muestra si $H_0$ fuera verdad.

3. Calculamos una cola. $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

4. Duplicamos por ser dos colas. Un resultado igual de extremo del otro lado también cuenta: $p = 2 \cdot 0{,}0668 = 0{,}1336$ .

5. Decidimos. $0{,}1336$ no es menor que $\alpha = 0{,}05$ , así que no se rechaza la nula.

6. Lo que agrega el valor p. La decisión binaria dice solo si se rechazó. El valor p $0{,}1336$ dice además cuán al límite estuvo, y permite que cada lector decida con su propio nivel.

Respuesta: $p = 0{,}1336$ : no se rechaza la nula al $5\%$

6. En un test de una cola sobre $H_0$ : $\mu = 60$ contra $H_1$ : $\mu > 60$ minutos, con desvío conocido $13$ y muestra de $36$ casos, el promedio dio $62{,}6$ . Calculá el valor p y decidí al $5\%$ .

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1. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{62{,}6 - 60}{2{,}1667} \approx 1{,}2$

2. Identificamos hacia qué lado va la cola. La alternativa apunta hacia valores mayores, así que el valor p es el área de esa sola cola.

3. Calculamos. $p = P(Z > 1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$

4. Decidimos. $0{,}1151$ no es menor que $0{,}05$ , así que no se rechaza la nula.

5. Comparamos con el test de dos colas. Con dos colas el valor p sería $0{,}2301$ , el doble. Por eso los tests de una cola detectan más fácil en la dirección elegida.

6. La condición que hay que respetar. La dirección de la alternativa se fija antes de ver los datos. Elegirla después duplica de hecho el nivel real del test.

Respuesta: $p = 0{,}1151$ : no se rechaza la nula al $5\%$

7. Un test arrojó un valor p de $0{,}012$ . Decidí la conclusión a los niveles del $10\%$ , $5\%$ y $1\%$ , y explicá qué significa el número.

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1. Escribimos la regla de decisión. Si el valor p es menor o igual que $\alpha$ , se rechaza la nula. Si es mayor, no se rechaza.

2. Aplicamos al $10\%$ . $0{,}012$ es menor que $0{,}1$ : se rechaza.

3. Aplicamos al $5\%$ . $0{,}012$ es menor que $0{,}05$ : se rechaza.

4. Aplicamos al $1\%$ . $0{,}012$ es mayor que $0{,}01$ : no se rechaza.

5. Interpretamos el número. Si la nula fuera cierta, en un $1{,}2\%$ de las muestras se obtendría un resultado tan extremo como este o más. Cuanto más chico, más raro resulta el dato bajo la nula.

6. Lo que el valor p no es. No es la probabilidad de que la nula sea cierta. Se calcula suponiendo que lo es, así que no puede ser una probabilidad sobre ella.

Respuesta: Al $10\%$ se rechaza, al $5\%$ se rechaza, al $1\%$ no se rechaza

8. Dos estudios distintos sobre el mismo tema dieron valores p de $0{,}04$ y $0{,}0001$ . Los dos rechazan al $5\%$ . Explicá qué información se pierde si solo se informa la decisión.

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1. Aplicamos la regla en los dos casos. $0{,}04 < 0{,}05$ y $0{,}0001 < 0{,}05$ : los dos rechazan la nula al $5\%$ .

2. Vemos qué dice cada número. El primero indica que un resultado así de extremo ocurriría en un $4\%$ de las muestras si la nula fuera cierta. El segundo, en un $0{,}01\%$ : mucho más raro.

3. Comparamos. $\dfrac{0{,}04}{0{,}0001} = 400$ : el segundo resultado es unas 400 veces menos probable bajo la nula que el primero.

4. Vemos qué se pierde con la decisión sola. Reportar solo «se rechaza al $5\%$ » iguala los dos estudios, cuando la fuerza de la evidencia es completamente distinta.

5. Vemos qué se pierde igual con el valor p. El tamaño del efecto. Un valor p muy chico puede venir de una diferencia mínima medida con una muestra enorme, y eso no lo dice el valor p.

6. Qué conviene informar. El valor p junto con la estimación puntual y su intervalo de confianza. Los tres juntos dicen si el efecto existe, cuánto vale y con qué precisión se lo midió.

Respuesta: Los dos rechazan al $5\%$ , pero $0{,}0001$ es evidencia mucho más fuerte que $0{,}04$ : informar solo la decisión borra esa diferencia

9. En un test de dos colas sobre $H_0$ : $\mu = 120$ minutos, con desvío conocido $10$ y una muestra de $36$ casos, el promedio dio $123{,}33$ . Calculá el valor p y decidí al $5\%$ .

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1. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{123{,}33 - 120}{1{,}6667} \approx 1{,}998$

2. Definimos el valor p. Es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado, o más, suponiendo que la nula es cierta. Mide qué tan sorprendente sería esta muestra si $H_0$ fuera verdad.

3. Calculamos una cola. $P(Z > 1{,}998) = 1 - 0{,}9771 = 0{,}0229$

4. Duplicamos por ser dos colas. Un resultado igual de extremo del otro lado también cuenta: $p = 2 \cdot 0{,}0229 \approx 0{,}0457$ .

5. Decidimos. $0{,}0457$ es menor que $\alpha = 0{,}05$ , así que se rechaza la nula.

6. Lo que agrega el valor p. La decisión binaria dice solo si se rechazó. El valor p $0{,}0457$ dice además cuán al límite estuvo, y permite que cada lector decida con su propio nivel.

Respuesta: $p = 0{,}0457$ : se rechaza la nula al $5\%$

10. En un test de una cola sobre $H_0$ : $\mu = 80$ contra $H_1$ : $\mu < 80$ quintales, con desvío conocido $13$ y muestra de $25$ casos, el promedio dio $76{,}88$ . Calculá el valor p y decidí al $5\%$ .

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1. Calculamos el estadístico. $z = \dfrac{76{,}88 - 80}{2{,}6} = -1{,}2$

2. Identificamos hacia qué lado va la cola. La alternativa apunta hacia valores menores, así que el valor p es el área de esa sola cola.

3. Calculamos. $p = P(Z < -1{,}2) = 0{,}1151$

4. Decidimos. $0{,}1151$ no es menor que $0{,}05$ , así que no se rechaza la nula.

5. Comparamos con el test de dos colas. Con dos colas el valor p sería $0{,}2301$ , el doble. Por eso los tests de una cola detectan más fácil en la dirección elegida.

6. La condición que hay que respetar. La dirección de la alternativa se fija antes de ver los datos. Elegirla después duplica de hecho el nivel real del test.

Respuesta: $p = 0{,}1151$ : no se rechaza la nula al $5\%$

11. Un test arrojó un valor p de $0{,}08$ . Decidí la conclusión a los niveles del $10\%$ , $5\%$ y $1\%$ , y explicá qué significa el número.

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1. Escribimos la regla de decisión. Si el valor p es menor o igual que $\alpha$ , se rechaza la nula. Si es mayor, no se rechaza.

2. Aplicamos al $10\%$ . $0{,}08$ es menor que $0{,}1$ : se rechaza.

3. Aplicamos al $5\%$ . $0{,}08$ es mayor que $0{,}05$ : no se rechaza.

4. Aplicamos al $1\%$ . $0{,}08$ es mayor que $0{,}01$ : no se rechaza.

5. Interpretamos el número. Si la nula fuera cierta, en un $8\%$ de las muestras se obtendría un resultado tan extremo como este o más. Cuanto más chico, más raro resulta el dato bajo la nula.

6. Lo que el valor p no es. No es la probabilidad de que la nula sea cierta. Se calcula suponiendo que lo es, así que no puede ser una probabilidad sobre ella.

Respuesta: Al $10\%$ se rechaza, al $5\%$ no se rechaza, al $1\%$ no se rechaza

12. Dos estudios distintos sobre el mismo tema dieron valores p de $0{,}038$ y $0{,}0002$ . Los dos rechazan al $5\%$ . Explicá qué información se pierde si solo se informa la decisión.

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1. Aplicamos la regla en los dos casos. $0{,}038 < 0{,}05$ y $0{,}0002 < 0{,}05$ : los dos rechazan la nula al $5\%$ .

2. Vemos qué dice cada número. El primero indica que un resultado así de extremo ocurriría en un $3{,}8\%$ de las muestras si la nula fuera cierta. El segundo, en un $0{,}02\%$ : mucho más raro.

3. Comparamos. $\dfrac{0{,}038}{0{,}0002} = 190$ : el segundo resultado es unas 190 veces menos probable bajo la nula que el primero.

4. Vemos qué se pierde con la decisión sola. Reportar solo «se rechaza al $5\%$ » iguala los dos estudios, cuando la fuerza de la evidencia es completamente distinta.

5. Vemos qué se pierde igual con el valor p. El tamaño del efecto. Un valor p muy chico puede venir de una diferencia mínima medida con una muestra enorme, y eso no lo dice el valor p.

6. Qué conviene informar. El valor p junto con la estimación puntual y su intervalo de confianza. Los tres juntos dicen si el efecto existe, cuánto vale y con qué precisión se lo midió.

Respuesta: Los dos rechazan al $5\%$ , pero $0{,}0002$ es evidencia mucho más fuerte que $0{,}038$ : informar solo la decisión borra esa diferencia