Ejercicios: Comparación de dos proporciones

1. En dos líneas de producción se observó que la pieza sale fallada en $92$ de $400$ casos del primer grupo y en $80$ de $250$ del segundo. Construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia de proporciones.

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1. Calculamos las dos proporciones muestrales. $\hat{p}_1 = \dfrac{92}{400} = 0{,}23$ y $\hat{p}_2 = \dfrac{80}{250} = 0{,}32$ .

2. Calculamos la estimación puntual de la diferencia. $\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0{,}23 - 0{,}32 = -0{,}09$ .

3. Calculamos el error estándar del intervalo. $\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1 (1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2 (1 - \hat{p}_2)}{n_2}} = 0{,}0362$ . Cada proporción entra con la suya, porque acá no se supone que sean iguales.

4. Calculamos el margen. $1{,}96 \cdot 0{,}0362 \approx 0{,}071$ .

5. Armamos el intervalo. $-0{,}09 \pm 0{,}071$ , o sea $[-0{,}161; -0{,}019]$ .

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que las proporciones difieren.

Respuesta: El intervalo es $[-0{,}161; -0{,}019]$

2. En dos líneas de producción se observó que la pieza sale fallada en $176$ de $400$ casos y en $225$ de $500$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ para decidir si las proporciones poblacionales difieren.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $p_1 = p_2$ contra $H_1$ : $p_1 \neq p_2$ .

2. Calculamos las proporciones muestrales. $\hat{p}_1 = 0{,}44$ y $\hat{p}_2 = 0{,}45$ , con una diferencia de $-0{,}01$ .

3. Calculamos la proporción combinada. Bajo la nula las dos proporciones son iguales, así que se estima una sola con todos los datos: $\hat{p} = \dfrac{176 + 225}{400 + 500} \approx 0{,}4456$ .

4. Calculamos el error estándar del test. $\sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) \left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)} = 0{,}0333$

5. Calculamos el estadístico y decidimos. $z = \dfrac{-0{,}01}{0{,}0333} \approx -0{,}2999$ , contra un crítico de $\pm 1{,}96$ : no se rechaza la nula.

6. Escribimos la conclusión. No hay evidencia suficiente para afirmar que difieran.

Respuesta: $z = -0{,}2999$ contra $1{,}96$ : no se rechaza la nula

3. Con $81$ de $300$ y $135$ de $300$ casos en que la pieza sale fallada, calculá el error estándar que corresponde al intervalo de confianza y el que corresponde al test, y explicá por qué son distintos.

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1. Calculamos las proporciones. $\hat{p}_1 = 0{,}27$ y $\hat{p}_2 = 0{,}45$ .

2. Calculamos el error estándar del intervalo. $\sqrt{\dfrac{0{,}27 \cdot 0{,}73}{300} + \dfrac{0{,}45 \cdot 0{,}55}{300}} \approx 0{,}0385$

3. Calculamos la proporción combinada. $\hat{p} = \dfrac{81 + 135}{300 + 300} = 0{,}36$

4. Calculamos el error estándar del test. $\sqrt{0{,}36 \cdot 0{,}64 \left(\dfrac{1}{300} + \dfrac{1}{300}\right)} = 0{,}0392$

5. Comparamos. $0{,}0385$ contra $0{,}0392$ : se parecen pero no son iguales, con una diferencia de $0{,}0007$ .

6. Explicamos por qué difieren. El test calcula todo bajo la hipótesis nula, que dice que las dos proporciones son iguales, así que estima una sola proporción con los datos juntos. El intervalo no supone nada: usa cada proporción por separado. No es un descuido, es una diferencia de lógica.

Respuesta: Intervalo: $0{,}0385$ . Test: $0{,}0392$ . El test estima una proporción combinada bajo la nula

4. En dos campañas publicitarias se registró que el cliente responde en $80$ de $400$ casos y en $238$ de $700$ . Realizá el test al $5\%$ , construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia, y escribí la conclusión.

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1. Calculamos las proporciones y la diferencia. $\hat{p}_1 = 0{,}2$ , $\hat{p}_2 = 0{,}34$ y la diferencia es $-0{,}14$ .

2. Hacemos el test con la proporción combinada. $\hat{p} = 0{,}2891$ , $EE = 0{,}0284$ y $z = \dfrac{-0{,}14}{0{,}0284} \approx -4{,}927$ .

3. Decidimos. Contra un crítico de $\pm 1{,}96$ : se rechaza la nula.

4. Construimos el intervalo con el otro error estándar. $EE = 0{,}0268$ , margen $0{,}0526$ , intervalo $[-0{,}1926; -0{,}0874]$ .

5. Verificamos la coherencia. El test rechaza y el intervalo no contiene al cero: las dos lecturas coinciden.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de una diferencia, estimada en $-0{,}14$ con un rango plausible de $[-0{,}1926; -0{,}0874]$ .

Respuesta: $z = -4{,}927$ : se rechaza la nula, y el intervalo es $[-0{,}1926; -0{,}0874]$

5. En dos campañas publicitarias se observó que el cliente responde en $66$ de $300$ casos del primer grupo y en $120$ de $250$ del segundo. Construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia de proporciones.

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1. Calculamos las dos proporciones muestrales. $\hat{p}_1 = \dfrac{66}{300} = 0{,}22$ y $\hat{p}_2 = \dfrac{120}{250} = 0{,}48$ .

2. Calculamos la estimación puntual de la diferencia. $\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0{,}22 - 0{,}48 = -0{,}26$ .

3. Calculamos el error estándar del intervalo. $\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1 (1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2 (1 - \hat{p}_2)}{n_2}} = 0{,}0396$ . Cada proporción entra con la suya, porque acá no se supone que sean iguales.

4. Calculamos el margen. $1{,}96 \cdot 0{,}0396 \approx 0{,}0777$ .

5. Armamos el intervalo. $-0{,}26 \pm 0{,}0777$ , o sea $[-0{,}3377; -0{,}1823]$ .

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que las proporciones difieren.

Respuesta: El intervalo es $[-0{,}3377; -0{,}1823]$

6. En dos regiones se observó que el votante elige la opción A en $120$ de $300$ casos y en $220$ de $400$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ para decidir si las proporciones poblacionales difieren.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $p_1 = p_2$ contra $H_1$ : $p_1 \neq p_2$ .

2. Calculamos las proporciones muestrales. $\hat{p}_1 = 0{,}4$ y $\hat{p}_2 = 0{,}55$ , con una diferencia de $-0{,}15$ .

3. Calculamos la proporción combinada. Bajo la nula las dos proporciones son iguales, así que se estima una sola con todos los datos: $\hat{p} = \dfrac{120 + 220}{300 + 400} \approx 0{,}4857$ .

4. Calculamos el error estándar del test. $\sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) \left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)} = 0{,}0382$

5. Calculamos el estadístico y decidimos. $z = \dfrac{-0{,}15}{0{,}0382} \approx -3{,}9295$ , contra un crítico de $\pm 1{,}96$ : se rechaza la nula.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos proporciones poblacionales difieren.

Respuesta: $z = -3{,}9295$ contra $1{,}96$ : se rechaza la nula

7. Con $50$ de $200$ y $132$ de $300$ casos en que el visitante se registra, calculá el error estándar que corresponde al intervalo de confianza y el que corresponde al test, y explicá por qué son distintos.

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1. Calculamos las proporciones. $\hat{p}_1 = 0{,}25$ y $\hat{p}_2 = 0{,}44$ .

2. Calculamos el error estándar del intervalo. $\sqrt{\dfrac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{200} + \dfrac{0{,}44 \cdot 0{,}56}{300}} \approx 0{,}0419$

3. Calculamos la proporción combinada. $\hat{p} = \dfrac{50 + 132}{200 + 300} = 0{,}364$

4. Calculamos el error estándar del test. $\sqrt{0{,}364 \cdot 0{,}636 \left(\dfrac{1}{200} + \dfrac{1}{300}\right)} = 0{,}0439$

5. Comparamos. $0{,}0419$ contra $0{,}0439$ : se parecen pero no son iguales, con una diferencia de $0{,}002$ .

6. Explicamos por qué difieren. El test calcula todo bajo la hipótesis nula, que dice que las dos proporciones son iguales, así que estima una sola proporción con los datos juntos. El intervalo no supone nada: usa cada proporción por separado. No es un descuido, es una diferencia de lógica.

Respuesta: Intervalo: $0{,}0419$ . Test: $0{,}0439$ . El test estima una proporción combinada bajo la nula

8. En dos líneas de producción se registró que la pieza sale fallada en $80$ de $500$ casos y en $203$ de $550$ . Realizá el test al $5\%$ , construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia, y escribí la conclusión.

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1. Calculamos las proporciones y la diferencia. $\hat{p}_1 = 0{,}16$ , $\hat{p}_2 = 0{,}3691$ y la diferencia es $-0{,}2091$ .

2. Hacemos el test con la proporción combinada. $\hat{p} = 0{,}2695$ , $EE = 0{,}0274$ y $z = \dfrac{-0{,}2091}{0{,}0274} \approx -7{,}6261$ .

3. Decidimos. Contra un crítico de $\pm 1{,}96$ : se rechaza la nula.

4. Construimos el intervalo con el otro error estándar. $EE = 0{,}0263$ , margen $0{,}0516$ , intervalo $[-0{,}2607; -0{,}1575]$ .

5. Verificamos la coherencia. El test rechaza y el intervalo no contiene al cero: las dos lecturas coinciden.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de una diferencia, estimada en $-0{,}2091$ con un rango plausible de $[-0{,}2607; -0{,}1575]$ .

Respuesta: $z = -7{,}6261$ : se rechaza la nula, y el intervalo es $[-0{,}2607; -0{,}1575]$

9. En dos versiones de una página se observó que el visitante se registra en $42$ de $200$ casos del primer grupo y en $215$ de $500$ del segundo. Construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia de proporciones.

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1. Calculamos las dos proporciones muestrales. $\hat{p}_1 = \dfrac{42}{200} = 0{,}21$ y $\hat{p}_2 = \dfrac{215}{500} = 0{,}43$ .

2. Calculamos la estimación puntual de la diferencia. $\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0{,}21 - 0{,}43 = -0{,}22$ .

3. Calculamos el error estándar del intervalo. $\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1 (1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2 (1 - \hat{p}_2)}{n_2}} = 0{,}0363$ . Cada proporción entra con la suya, porque acá no se supone que sean iguales.

4. Calculamos el margen. $1{,}96 \cdot 0{,}0363 \approx 0{,}0712$ .

5. Armamos el intervalo. $-0{,}22 \pm 0{,}0712$ , o sea $[-0{,}2912; -0{,}1488]$ .

6. Interpretamos. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que las proporciones difieren.

Respuesta: El intervalo es $[-0{,}2912; -0{,}1488]$

10. En dos versiones de una página se observó que el visitante se registra en $60$ de $300$ casos y en $255$ de $500$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ para decidir si las proporciones poblacionales difieren.

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $p_1 = p_2$ contra $H_1$ : $p_1 \neq p_2$ .

2. Calculamos las proporciones muestrales. $\hat{p}_1 = 0{,}2$ y $\hat{p}_2 = 0{,}51$ , con una diferencia de $-0{,}31$ .

3. Calculamos la proporción combinada. Bajo la nula las dos proporciones son iguales, así que se estima una sola con todos los datos: $\hat{p} = \dfrac{60 + 255}{300 + 500} \approx 0{,}3937$ .

4. Calculamos el error estándar del test. $\sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) \left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)} = 0{,}0357$

5. Calculamos el estadístico y decidimos. $z = \dfrac{-0{,}31}{0{,}0357} \approx -8{,}6881$ , contra un crítico de $\pm 1{,}96$ : se rechaza la nula.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que las dos proporciones poblacionales difieren.

Respuesta: $z = -8{,}6881$ contra $1{,}96$ : se rechaza la nula

11. Con $117$ de $300$ y $128$ de $400$ casos en que el votante elige la opción A, calculá el error estándar que corresponde al intervalo de confianza y el que corresponde al test, y explicá por qué son distintos.

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1. Calculamos las proporciones. $\hat{p}_1 = 0{,}39$ y $\hat{p}_2 = 0{,}32$ .

2. Calculamos el error estándar del intervalo. $\sqrt{\dfrac{0{,}39 \cdot 0{,}61}{300} + \dfrac{0{,}32 \cdot 0{,}68}{400}} \approx 0{,}0366$

3. Calculamos la proporción combinada. $\hat{p} = \dfrac{117 + 128}{300 + 400} = 0{,}35$

4. Calculamos el error estándar del test. $\sqrt{0{,}35 \cdot 0{,}65 \left(\dfrac{1}{300} + \dfrac{1}{400}\right)} = 0{,}0364$

5. Comparamos. $0{,}0366$ contra $0{,}0364$ : se parecen pero no son iguales, con una diferencia de $0{,}0001$ .

6. Explicamos por qué difieren. El test calcula todo bajo la hipótesis nula, que dice que las dos proporciones son iguales, así que estima una sola proporción con los datos juntos. El intervalo no supone nada: usa cada proporción por separado. No es un descuido, es una diferencia de lógica.

Respuesta: Intervalo: $0{,}0366$ . Test: $0{,}0364$ . El test estima una proporción combinada bajo la nula

12. En dos regiones se registró que el votante elige la opción A en $125$ de $500$ casos y en $193$ de $450$ . Realizá el test al $5\%$ , construí el intervalo del $95\%$ para la diferencia, y escribí la conclusión.

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1. Calculamos las proporciones y la diferencia. $\hat{p}_1 = 0{,}25$ , $\hat{p}_2 = 0{,}4289$ y la diferencia es $-0{,}1789$ .

2. Hacemos el test con la proporción combinada. $\hat{p} = 0{,}3347$ , $EE = 0{,}0307$ y $z = \dfrac{-0{,}1789}{0{,}0307} \approx -5{,}834$ .

3. Decidimos. Contra un crítico de $\pm 1{,}96$ : se rechaza la nula.

4. Construimos el intervalo con el otro error estándar. $EE = 0{,}0303$ , margen $0{,}0594$ , intervalo $[-0{,}2383; -0{,}1195]$ .

5. Verificamos la coherencia. El test rechaza y el intervalo no contiene al cero: las dos lecturas coinciden.

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de una diferencia, estimada en $-0{,}1789$ con un rango plausible de $[-0{,}2383; -0{,}1195]$ .

Respuesta: $z = -5{,}834$ : se rechaza la nula, y el intervalo es $[-0{,}2383; -0{,}1195]$