Ejercicios: Comparación de varianzas

1. Para comparar la variabilidad de dos proveedores en la demora de entrega, se tomaron muestras de $10$ y $11$ casos, con desvíos muestrales $5$ y $13$ . De tabla, $F_{0{,}95}(9; 10) = 3{,}0204$ . Realizá el test de una cola al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 > \sigma^{2}_2$ .

2. Verificamos el supuesto. El test se apoya en que las dos poblaciones sean normales. Es un supuesto fuerte: la $F$ es bastante sensible a que no se cumpla.

3. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2} = \dfrac{25}{169} \approx 0{,}1479$ , con $9$ y $10$ grados de libertad.

4. Comparamos con el valor de tabla. $0{,}1479$ no supera a $3{,}0204$ .

5. Decidimos. No se rechaza la nula: los datos son compatibles con que las dos variabilidades sean iguales.

6. Por qué comparar varianzas importa. Dos procesos pueden dar el mismo promedio y ser muy distintos en consistencia. En control de calidad, la variabilidad suele importar más que el promedio.

Respuesta: $F = 0{,}1479$ contra $3{,}0204$ : no se rechaza la nula

2. Dos muestras de $9$ y $25$ casos dieron desvíos $5$ y $11$ . De tabla, $F_{0{,}95}(8; 24) = 2{,}3551$ y $F_{0{,}95}(24; 8) = 3{,}1152$ . Mostrá qué pasa si se buscan los grados de libertad en el orden equivocado.

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1. Calculamos el estadístico con la primera varianza arriba. $F = \dfrac{25}{121} \approx 0{,}2066$ , con $8$ grados en el numerador y $24$ en el denominador.

2. Identificamos el valor de tabla correcto. El que corresponde es $F_{0{,}95}(8; 24) = 2{,}3551$ : primero los del numerador.

3. Decidimos correctamente. $0{,}2066$ no supera a $2{,}3551$ : no se rechaza la nula.

4. Vemos qué pasa con los grados invertidos. Usando $3{,}1152$ la comparación daría no rechazo, la misma conclusión, pero por casualidad.

5. Explicamos por qué no son intercambiables. La $F$ no es simétrica y sus dos parámetros hacen cosas distintas: uno describe la incertidumbre de la varianza de arriba y el otro la de abajo.

6. La regla de trabajo. Anotar cuál muestra va en el numerador antes de buscar en la tabla. El error no se nota mirando el resultado, porque los dos números son plausibles.

Respuesta: El crítico correcto es $2{,}3551$ y no $3{,}1152$ : los grados de libertad no se pueden invertir

3. Antes de comparar las medias de dos procesos de corte en la longitud de las piezas, se quiere decidir si se puede suponer que las dos varianzas poblacionales son iguales. Las muestras de $10$ y $16$ casos dieron desvíos $6$ y $6$ , y de tabla $F_{0{,}975}(9; 15) = 3{,}1227$ . Resolvé el test y decidí cómo seguir.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2$ , de dos colas.

2. Calculamos el cociente poniendo la varianza mayor arriba. $F = \dfrac{36}{36} = 1$ . Poner la mayor arriba permite usar solo la cola derecha de la tabla.

3. Comparamos con el crítico. $1$ no supera a $3{,}1227$ .

4. Decidimos sobre las varianzas. No se rechaza: los datos son compatibles con varianzas iguales.

5. Decidimos cómo seguir con las medias. Como se puede suponer varianzas iguales, el test de dos medias puede usar una varianza ponderada, que aprovecha los datos de las dos muestras y gana grados de libertad.

6. Por qué este test aparece como paso previo. Casi nunca es la pregunta final. Sirve para decidir qué versión del test de medias corresponde.

Respuesta: $F = 1$ contra $3{,}1227$ : no se rechaza la igualdad de varianzas

4. Dos procesos de dos proveedores producen el mismo promedio de $110$ en la demora de entrega, pero con desvíos muestrales $4$ y $8$ , sobre muestras de $21$ y $25$ casos. De tabla, $F_{0{,}95}(24; 20) = 2{,}0825$ . Decidí si hay evidencia de que difieran en consistencia.

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1. Vemos por qué comparar medias no alcanza. Los dos promedios valen $110$ , así que un test de medias no encontraría nada. Pero la pregunta es sobre la dispersión, que es otro parámetro.

2. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2$ .

3. Calculamos el estadístico con la varianza mayor arriba. $F = \dfrac{64}{16} = 4$ , con $24$ y $20$ grados de libertad.

4. Comparamos con el crítico. $4$ supera a $2{,}0825$ .

5. Concluimos. Hay evidencia de que el segundo proceso es bastante más variable, aunque los promedios coincidan.

6. Por qué esto importa en la práctica. Un proceso con la misma media pero más disperso produce más unidades fuera de especificación. En control de calidad, la consistencia es a menudo lo que más pesa.

Respuesta: $F = 4$ contra $2{,}0825$ : se rechaza la igualdad de varianzas

5. Para comparar la variabilidad de dos operarios en el tiempo de armado, se tomaron muestras de $10$ y $21$ casos, con desvíos muestrales $13$ y $11$ . De tabla, $F_{0{,}95}(9; 20) = 2{,}3928$ . Realizá el test de una cola al $5\%$ .

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 > \sigma^{2}_2$ .

2. Verificamos el supuesto. El test se apoya en que las dos poblaciones sean normales. Es un supuesto fuerte: la $F$ es bastante sensible a que no se cumpla.

3. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2} = \dfrac{169}{121} \approx 1{,}3967$ , con $9$ y $20$ grados de libertad.

4. Comparamos con el valor de tabla. $1{,}3967$ no supera a $2{,}3928$ .

5. Decidimos. No se rechaza la nula: los datos son compatibles con que las dos variabilidades sean iguales.

6. Por qué comparar varianzas importa. Dos procesos pueden dar el mismo promedio y ser muy distintos en consistencia. En control de calidad, la variabilidad suele importar más que el promedio.

Respuesta: $F = 1{,}3967$ contra $2{,}3928$ : no se rechaza la nula

6. Dos muestras de $9$ y $13$ casos dieron desvíos $11$ y $6$ . De tabla, $F_{0{,}95}(8; 12) = 2{,}8486$ y $F_{0{,}95}(12; 8) = 3{,}2839$ . Mostrá qué pasa si se buscan los grados de libertad en el orden equivocado.

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1. Calculamos el estadístico con la primera varianza arriba. $F = \dfrac{121}{36} \approx 3{,}3611$ , con $8$ grados en el numerador y $12$ en el denominador.

2. Identificamos el valor de tabla correcto. El que corresponde es $F_{0{,}95}(8; 12) = 2{,}8486$ : primero los del numerador.

3. Decidimos correctamente. $3{,}3611$ supera a $2{,}8486$ : se rechaza la nula.

4. Vemos qué pasa con los grados invertidos. Usando $3{,}2839$ la comparación daría rechazo, la misma conclusión, pero por casualidad.

5. Explicamos por qué no son intercambiables. La $F$ no es simétrica y sus dos parámetros hacen cosas distintas: uno describe la incertidumbre de la varianza de arriba y el otro la de abajo.

6. La regla de trabajo. Anotar cuál muestra va en el numerador antes de buscar en la tabla. El error no se nota mirando el resultado, porque los dos números son plausibles.

Respuesta: El crítico correcto es $2{,}8486$ y no $3{,}2839$ : los grados de libertad no se pueden invertir

7. Antes de comparar las medias de dos proveedores en la demora de entrega, se quiere decidir si se puede suponer que las dos varianzas poblacionales son iguales. Las muestras de $13$ y $12$ casos dieron desvíos $9$ y $7$ , y de tabla $F_{0{,}975}(12; 11) = 3{,}4296$ . Resolvé el test y decidí cómo seguir.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2$ , de dos colas.

2. Calculamos el cociente poniendo la varianza mayor arriba. $F = \dfrac{81}{49} \approx 1{,}6531$ . Poner la mayor arriba permite usar solo la cola derecha de la tabla.

3. Comparamos con el crítico. $1{,}6531$ no supera a $3{,}4296$ .

4. Decidimos sobre las varianzas. No se rechaza: los datos son compatibles con varianzas iguales.

5. Decidimos cómo seguir con las medias. Como se puede suponer varianzas iguales, el test de dos medias puede usar una varianza ponderada, que aprovecha los datos de las dos muestras y gana grados de libertad.

6. Por qué este test aparece como paso previo. Casi nunca es la pregunta final. Sirve para decidir qué versión del test de medias corresponde.

Respuesta: $F = 1{,}6531$ contra $3{,}4296$ : no se rechaza la igualdad de varianzas

8. Dos procesos de dos operarios producen el mismo promedio de $110$ en el tiempo de armado, pero con desvíos muestrales $5$ y $15$ , sobre muestras de $21$ y $11$ casos. De tabla, $F_{0{,}95}(10; 20) = 2{,}3479$ . Decidí si hay evidencia de que difieran en consistencia.

Ver solución

1. Vemos por qué comparar medias no alcanza. Los dos promedios valen $110$ , así que un test de medias no encontraría nada. Pero la pregunta es sobre la dispersión, que es otro parámetro.

2. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2$ .

3. Calculamos el estadístico con la varianza mayor arriba. $F = \dfrac{225}{25} = 9$ , con $10$ y $20$ grados de libertad.

4. Comparamos con el crítico. $9$ supera a $2{,}3479$ .

5. Concluimos. Hay evidencia de que el segundo proceso es bastante más variable, aunque los promedios coincidan.

6. Por qué esto importa en la práctica. Un proceso con la misma media pero más disperso produce más unidades fuera de especificación. En control de calidad, la consistencia es a menudo lo que más pesa.

Respuesta: $F = 9$ contra $2{,}3479$ : se rechaza la igualdad de varianzas

9. Para comparar la variabilidad de dos procesos de corte en la longitud de las piezas, se tomaron muestras de $10$ y $15$ casos, con desvíos muestrales $6$ y $6$ . De tabla, $F_{0{,}95}(9; 14) = 2{,}6458$ . Realizá el test de una cola al $5\%$ .

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 > \sigma^{2}_2$ .

2. Verificamos el supuesto. El test se apoya en que las dos poblaciones sean normales. Es un supuesto fuerte: la $F$ es bastante sensible a que no se cumpla.

3. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{s^{2}_1}{s^{2}_2} = \dfrac{36}{36} = 1$ , con $9$ y $14$ grados de libertad.

4. Comparamos con el valor de tabla. $1$ no supera a $2{,}6458$ .

5. Decidimos. No se rechaza la nula: los datos son compatibles con que las dos variabilidades sean iguales.

6. Por qué comparar varianzas importa. Dos procesos pueden dar el mismo promedio y ser muy distintos en consistencia. En control de calidad, la variabilidad suele importar más que el promedio.

Respuesta: $F = 1$ contra $2{,}6458$ : no se rechaza la nula

10. Dos muestras de $16$ y $13$ casos dieron desvíos $5$ y $7$ . De tabla, $F_{0{,}95}(15; 12) = 2{,}6169$ y $F_{0{,}95}(12; 15) = 2{,}4753$ . Mostrá qué pasa si se buscan los grados de libertad en el orden equivocado.

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1. Calculamos el estadístico con la primera varianza arriba. $F = \dfrac{25}{49} \approx 0{,}5102$ , con $15$ grados en el numerador y $12$ en el denominador.

2. Identificamos el valor de tabla correcto. El que corresponde es $F_{0{,}95}(15; 12) = 2{,}6169$ : primero los del numerador.

3. Decidimos correctamente. $0{,}5102$ no supera a $2{,}6169$ : no se rechaza la nula.

4. Vemos qué pasa con los grados invertidos. Usando $2{,}4753$ la comparación daría no rechazo, la misma conclusión, pero por casualidad.

5. Explicamos por qué no son intercambiables. La $F$ no es simétrica y sus dos parámetros hacen cosas distintas: uno describe la incertidumbre de la varianza de arriba y el otro la de abajo.

6. La regla de trabajo. Anotar cuál muestra va en el numerador antes de buscar en la tabla. El error no se nota mirando el resultado, porque los dos números son plausibles.

Respuesta: El crítico correcto es $2{,}6169$ y no $2{,}4753$ : los grados de libertad no se pueden invertir

11. Antes de comparar las medias de dos máquinas de llenado en el peso de los envases, se quiere decidir si se puede suponer que las dos varianzas poblacionales son iguales. Las muestras de $13$ y $12$ casos dieron desvíos $10$ y $6$ , y de tabla $F_{0{,}975}(12; 11) = 3{,}4296$ . Resolvé el test y decidí cómo seguir.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2$ , de dos colas.

2. Calculamos el cociente poniendo la varianza mayor arriba. $F = \dfrac{100}{36} \approx 2{,}7778$ . Poner la mayor arriba permite usar solo la cola derecha de la tabla.

3. Comparamos con el crítico. $2{,}7778$ no supera a $3{,}4296$ .

4. Decidimos sobre las varianzas. No se rechaza: los datos son compatibles con varianzas iguales.

5. Decidimos cómo seguir con las medias. Como se puede suponer varianzas iguales, el test de dos medias puede usar una varianza ponderada, que aprovecha los datos de las dos muestras y gana grados de libertad.

6. Por qué este test aparece como paso previo. Casi nunca es la pregunta final. Sirve para decidir qué versión del test de medias corresponde.

Respuesta: $F = 2{,}7778$ contra $3{,}4296$ : no se rechaza la igualdad de varianzas

12. Dos procesos de dos procesos de corte producen el mismo promedio de $80$ en la longitud de las piezas, pero con desvíos muestrales $4$ y $12$ , sobre muestras de $21$ y $11$ casos. De tabla, $F_{0{,}95}(10; 20) = 2{,}3479$ . Decidí si hay evidencia de que difieran en consistencia.

Ver solución

1. Vemos por qué comparar medias no alcanza. Los dos promedios valen $80$ , así que un test de medias no encontraría nada. Pero la pregunta es sobre la dispersión, que es otro parámetro.

2. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2$ contra $H_1$ : $\sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2$ .

3. Calculamos el estadístico con la varianza mayor arriba. $F = \dfrac{144}{16} = 9$ , con $10$ y $20$ grados de libertad.

4. Comparamos con el crítico. $9$ supera a $2{,}3479$ .

5. Concluimos. Hay evidencia de que el segundo proceso es bastante más variable, aunque los promedios coincidan.

6. Por qué esto importa en la práctica. Un proceso con la misma media pero más disperso produce más unidades fuera de especificación. En control de calidad, la consistencia es a menudo lo que más pesa.

Respuesta: $F = 9$ contra $2{,}3479$ : se rechaza la igualdad de varianzas