Inferencia sobre la pendiente

La pendiente calculada con una muestra es una estimación de la pendiente verdadera de la población, así que tiene incertidumbre asociada.

La pregunta central es si existe una relación lineal real, y eso se traduce en un test sobre si la pendiente verdadera vale cero.

Si la pendiente fuera cero, la recta sería horizontal y la variable explicativa no aportaría nada para predecir la respuesta.

El test es un t común, con el estadístico calculado como la pendiente estimada dividida por su error estándar. Los grados de libertad son la cantidad de puntos menos dos.

Ese menos dos aparece porque se estimaron dos parámetros: la pendiente y la ordenada.

También se puede construir un intervalo de confianza para la pendiente. Si el cero queda adentro, no hay evidencia de relación lineal.

Rechazar la nula significa que hay relación lineal, no que la relación sea fuerte ni que sea causal. Con muestras muy grandes, relaciones muy débiles pueden dar resultados significativos.

Por eso conviene mirar el valor p junto con el coeficiente de determinación.

t = b_{1} / \operatorname{EE}(b_{1})

· con

n - 2

grados ·

H_{0}

\beta _{1} = 0

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta si la relación lineal es significativa. Los grados de libertad son la cantidad de puntos menos dos. Significativo no es lo mismo que fuerte.

Ejemplo 1

Un ajuste con $16$ datos da pendiente $3{,}6998$ con error estándar $0{,}1881$ . Decidir al $5$ % si la pendiente difiere de cero.

Calculamos el estadístico. $t = 3{,}6998 / 0{,}1881 \approx 19{,}67$ .
Buscamos el crítico. Con $\nu = 14$ a dos colas al $5 \%$ es $2{,}1448$ .
Comparamos. Lo supera con holgura, así que se rechaza: la relación es real.
Respuesta: Se rechaza

Ejemplo 2

Con los mismos datos, construir el intervalo del $95$ % para la pendiente.

Aplicamos la fórmula del intervalo. $3{,}6998 \pm 2{,}1448 \cdot 0{,}1881$ .
Calculamos el medio ancho. $2{,}1448 \cdot 0{,}1881 \approx 0{,}4034$ .
Armamos el intervalo. De $3{,}2964$ a $4{,}1032$ . No contiene al cero.
Respuesta: De $3{,}2963 a 4{,}1032$

Error típico

Usar n menos $1$ grados de libertad como en los tests de una media. La regresión estima dos parámetros y por eso pierde dos.

Practicar

← Coeficiente de determinación Predicción y sus límites →

Otros subtemas de Inferencia estadística

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .