Ejercicios: Inferencia sobre la pendiente

1. En una regresión de el consumo de energía sobre la temperatura con $7$ casos se obtuvo $b_1 = 1{,}6897$ , $\sum (x - \bar{x})^{2} = 24{,}8571$ y una suma de cuadrados de los residuos de $17{,}0345$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ sobre la pendiente.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\beta_1 = 0$ contra $H_1$ : $\beta_1 \neq 0$ . Si la pendiente verdadera fuera cero, la recta sería horizontal y $x$ no aportaría nada para predecir $y$ .

2. Estimamos la varianza de los errores. $s^{2} = \dfrac{SCR}{n - 2} = \dfrac{17{,}0345}{5} = 3{,}4069$ . Se pierden dos grados de libertad porque se estimaron dos coeficientes.

3. Calculamos el error estándar de la pendiente. $EE(b_1) = \sqrt{\dfrac{s^{2}}{\sum (x - \bar{x})^{2}}} = \sqrt{\dfrac{3{,}4069}{24{,}8571}} \approx 0{,}3702$

4. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{b_1}{EE(b_1)} = \dfrac{1{,}6897}{0{,}3702} \approx 4{,}564$ , con $n - 2 = 5$ grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es $\pm 2{,}5706$ . Como $|4{,}564| = 4{,}564$ , se rechaza la nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que existe una relación lineal entre las dos variables.

Respuesta: $t = 4{,}564$ con $5$ grados, contra $2{,}5706$ : se rechaza la nula

2. En una regresión de el sueldo en miles sobre los años de antigüedad con $7$ casos se obtuvo $b_1 = 4{,}1128$ con error estándar $0{,}0935$ . Construí el intervalo del $95\%$ para la pendiente verdadera y decidí si la relación lineal existe.

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1. Escribimos la estructura del intervalo. $b_1 \pm t \cdot EE(b_1)$ , con la $t$ de $n - 2$ grados de libertad.

2. Buscamos el valor crítico. Con $5$ grados y nivel del $95\%$ : $t = 2{,}5706$ .

3. Calculamos el margen. $2{,}5706 \cdot 0{,}0935 \approx 0{,}2403$

4. Armamos el intervalo. $4{,}1128 \pm 0{,}2403$ , o sea $[3{,}8725; 4{,}353]$ .

5. Decidimos mirando el cero. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que la pendiente verdadera no es nula: la relación lineal existe.

6. Interpretamos el rango. Con confianza del $95\%$ , cada unidad más de los años de antigüedad cambia el sueldo en miles en algo entre $3{,}8725$ y $4{,}353$ miles de pesos en promedio.

Respuesta: El intervalo es $[3{,}8725; 4{,}353]$

3. Con $200$ casos, una regresión de el consumo de energía sobre la temperatura dio $b_1 = 0{,}09$ con error estándar $0{,}0214$ y $R^{2} = 0{,}07$ . Realizá el test sobre la pendiente al $5\%$ y evaluá qué se puede concluir sobre la fuerza de la relación.

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1. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{0{,}09}{0{,}0214} \approx 4{,}2$ , con $198$ grados de libertad.

2. Decidimos. El crítico es $\pm 1{,}972$ , y $|4{,}2| > 1{,}972$ : se rechaza la nula. Hay evidencia de que la pendiente verdadera no es cero.

3. Miramos el coeficiente de determinación. $R^{2} = 0{,}07$ : el modelo explica solo el $7\%$ de la variabilidad de el consumo de energía.

4. Separamos las dos conclusiones. El test dice que la relación existe. El $R^{2}$ dice que es débil. No se contradicen: son preguntas distintas.

5. Explicamos por qué se puede detectar algo tan débil. Con $n = 200$ el error estándar de la pendiente es muy chico, así que hasta una relación mínima da un estadístico grande. Con muchos datos se detectan efectos que en la práctica no importan.

6. Qué informar entonces. La estimación de la pendiente con su intervalo, más el $R^{2}$ . Decir solo «la relación es estadísticamente significativa» sugiere una fuerza que los datos no respaldan.

Respuesta: $t = 4{,}2$ : se rechaza la pendiente nula, pero con $R^{2} = 0{,}07$ la relación es débil

4. Una regresión de las ventas del día sobre la cantidad de visitas con $6$ casos dio $b_1 = -2{,}295$ , $EE(b_1) = 0{,}1471$ y $R^{2} = 0{,}9838$ . Calculá el estadístico y explicá qué afirma y qué no afirma el resultado del test.

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1. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{-2{,}295}{0{,}1471} \approx -15{,}6061$ , con $4$ grados de libertad.

2. Decidimos al $5\%$ . El crítico es $\pm 2{,}7764$ , así que se rechaza la hipótesis de pendiente nula.

3. Escribimos qué afirma el test. Que la pendiente verdadera es distinta de cero, o sea que existe una relación lineal entre las dos variables.

4. Escribimos qué no afirma. No dice que la relación sea fuerte: eso lo mide el $R^{2}$ , que acá vale $0{,}9838$ . Tampoco dice que la relación sea lineal: eso hay que verificarlo mirando los residuos.

5. Y lo que menos afirma. Nada sobre causa. Que la cantidad de visitas sirva para predecir las ventas del día no dice que la empuje, ni descarta que las mueva a las dos una tercera variable.

6. Cómo informar bien el resultado. Con las tres cosas juntas: el estadístico o el valor p, la estimación de la pendiente con su intervalo, y el $R^{2}$ . Cada uno responde una pregunta distinta.

Respuesta: $t = -15{,}6061$ : el test dice que la relación lineal existe, pero no que sea fuerte ni que haya causa

5. En una regresión de el sueldo en miles sobre los años de antigüedad con $6$ casos se obtuvo $b_1 = 4{,}0177$ , $\sum (x - \bar{x})^{2} = 18{,}8333$ y una suma de cuadrados de los residuos de $15{,}3274$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ sobre la pendiente.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\beta_1 = 0$ contra $H_1$ : $\beta_1 \neq 0$ . Si la pendiente verdadera fuera cero, la recta sería horizontal y $x$ no aportaría nada para predecir $y$ .

2. Estimamos la varianza de los errores. $s^{2} = \dfrac{SCR}{n - 2} = \dfrac{15{,}3274}{4} \approx 3{,}8319$ . Se pierden dos grados de libertad porque se estimaron dos coeficientes.

3. Calculamos el error estándar de la pendiente. $EE(b_1) = \sqrt{\dfrac{s^{2}}{\sum (x - \bar{x})^{2}}} = \sqrt{\dfrac{3{,}8319}{18{,}8333}} \approx 0{,}4511$

4. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{b_1}{EE(b_1)} = \dfrac{4{,}0177}{0{,}4511} \approx 8{,}9071$ , con $n - 2 = 4$ grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es $\pm 2{,}7764$ . Como $|8{,}9071| = 8{,}9071$ , se rechaza la nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que existe una relación lineal entre las dos variables.

Respuesta: $t = 8{,}9071$ con $4$ grados, contra $2{,}7764$ : se rechaza la nula

6. En una regresión de el consumo de energía sobre la temperatura con $7$ casos se obtuvo $b_1 = -1{,}9314$ con error estándar $0{,}2978$ . Construí el intervalo del $95\%$ para la pendiente verdadera y decidí si la relación lineal existe.

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1. Escribimos la estructura del intervalo. $b_1 \pm t \cdot EE(b_1)$ , con la $t$ de $n - 2$ grados de libertad.

2. Buscamos el valor crítico. Con $5$ grados y nivel del $95\%$ : $t = 2{,}5706$ .

3. Calculamos el margen. $2{,}5706 \cdot 0{,}2978 \approx 0{,}7656$

4. Armamos el intervalo. $-1{,}9314 \pm 0{,}7656$ , o sea $[-2{,}6969; -1{,}1658]$ .

5. Decidimos mirando el cero. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que la pendiente verdadera no es nula: la relación lineal existe.

6. Interpretamos el rango. Con confianza del $95\%$ , cada unidad más de la temperatura cambia el consumo de energía en algo entre $-2{,}6969$ y $-1{,}1658$ kWh en promedio.

Respuesta: El intervalo es $[-2{,}6969; -1{,}1658]$

7. Con $1000$ casos, una regresión de la nota del parcial sobre las horas de estudio dio $b_1 = 0{,}07$ con error estándar $0{,}0137$ y $R^{2} = 0{,}02$ . Realizá el test sobre la pendiente al $5\%$ y evaluá qué se puede concluir sobre la fuerza de la relación.

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1. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{0{,}07}{0{,}0137} \approx 5{,}1$ , con $998$ grados de libertad.

2. Decidimos. El crítico es $\pm 1{,}9623$ , y $|5{,}1| > 1{,}9623$ : se rechaza la nula. Hay evidencia de que la pendiente verdadera no es cero.

3. Miramos el coeficiente de determinación. $R^{2} = 0{,}02$ : el modelo explica solo el $2\%$ de la variabilidad de la nota del parcial.

4. Separamos las dos conclusiones. El test dice que la relación existe. El $R^{2}$ dice que es débil. No se contradicen: son preguntas distintas.

5. Explicamos por qué se puede detectar algo tan débil. Con $n = 1000$ el error estándar de la pendiente es muy chico, así que hasta una relación mínima da un estadístico grande. Con muchos datos se detectan efectos que en la práctica no importan.

6. Qué informar entonces. La estimación de la pendiente con su intervalo, más el $R^{2}$ . Decir solo «la relación es estadísticamente significativa» sugiere una fuerza que los datos no respaldan.

Respuesta: $t = 5{,}1$ : se rechaza la pendiente nula, pero con $R^{2} = 0{,}02$ la relación es débil

8. Una regresión de la cantidad de consultas sobre el gasto en publicidad con $7$ casos dio $b_1 = 3{,}1802$ , $EE(b_1) = 0{,}1719$ y $R^{2} = 0{,}9856$ . Calculá el estadístico y explicá qué afirma y qué no afirma el resultado del test.

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1. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{3{,}1802}{0{,}1719} \approx 18{,}5022$ , con $5$ grados de libertad.

2. Decidimos al $5\%$ . El crítico es $\pm 2{,}5706$ , así que se rechaza la hipótesis de pendiente nula.

3. Escribimos qué afirma el test. Que la pendiente verdadera es distinta de cero, o sea que existe una relación lineal entre las dos variables.

4. Escribimos qué no afirma. No dice que la relación sea fuerte: eso lo mide el $R^{2}$ , que acá vale $0{,}9856$ . Tampoco dice que la relación sea lineal: eso hay que verificarlo mirando los residuos.

5. Y lo que menos afirma. Nada sobre causa. Que el gasto en publicidad sirva para predecir la cantidad de consultas no dice que la empuje, ni descarta que las mueva a las dos una tercera variable.

6. Cómo informar bien el resultado. Con las tres cosas juntas: el estadístico o el valor p, la estimación de la pendiente con su intervalo, y el $R^{2}$ . Cada uno responde una pregunta distinta.

Respuesta: $t = 18{,}5022$ : el test dice que la relación lineal existe, pero no que sea fuerte ni que haya causa

9. En una regresión de la cantidad de consultas sobre el gasto en publicidad con $8$ casos se obtuvo $b_1 = -3{,}1269$ , $\sum (x - \bar{x})^{2} = 73{,}875$ y una suma de cuadrados de los residuos de $13{,}6853$ . Realizá el test de dos colas al $5\%$ sobre la pendiente.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\beta_1 = 0$ contra $H_1$ : $\beta_1 \neq 0$ . Si la pendiente verdadera fuera cero, la recta sería horizontal y $x$ no aportaría nada para predecir $y$ .

2. Estimamos la varianza de los errores. $s^{2} = \dfrac{SCR}{n - 2} = \dfrac{13{,}6853}{6} \approx 2{,}2809$ . Se pierden dos grados de libertad porque se estimaron dos coeficientes.

3. Calculamos el error estándar de la pendiente. $EE(b_1) = \sqrt{\dfrac{s^{2}}{\sum (x - \bar{x})^{2}}} = \sqrt{\dfrac{2{,}2809}{73{,}875}} \approx 0{,}1757$

4. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{b_1}{EE(b_1)} = \dfrac{-3{,}1269}{0{,}1757} \approx -17{,}7956$ , con $n - 2 = 6$ grados de libertad.

5. Decidimos. El crítico es $\pm 2{,}4469$ . Como $|-17{,}7956| = 17{,}7956$ , se rechaza la nula al $5\%$ .

6. Escribimos la conclusión. Hay evidencia de que existe una relación lineal entre las dos variables.

Respuesta: $t = -17{,}7956$ con $6$ grados, contra $2{,}4469$ : se rechaza la nula

10. En una regresión de la nota del parcial sobre las horas de estudio con $7$ casos se obtuvo $b_1 = -1{,}8203$ con error estándar $0{,}1918$ . Construí el intervalo del $95\%$ para la pendiente verdadera y decidí si la relación lineal existe.

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1. Escribimos la estructura del intervalo. $b_1 \pm t \cdot EE(b_1)$ , con la $t$ de $n - 2$ grados de libertad.

2. Buscamos el valor crítico. Con $5$ grados y nivel del $95\%$ : $t = 2{,}5706$ .

3. Calculamos el margen. $2{,}5706 \cdot 0{,}1918 \approx 0{,}4929$

4. Armamos el intervalo. $-1{,}8203 \pm 0{,}4929$ , o sea $[-2{,}3132; -1{,}3274]$ .

5. Decidimos mirando el cero. El intervalo no contiene al cero, así que hay evidencia de que la pendiente verdadera no es nula: la relación lineal existe.

6. Interpretamos el rango. Con confianza del $95\%$ , cada unidad más de las horas de estudio cambia la nota del parcial en algo entre $-2{,}3132$ y $-1{,}3274$ puntos en promedio.

Respuesta: El intervalo es $[-2{,}3132; -1{,}3274]$

11. Con $500$ casos, una regresión de las ventas del día sobre la cantidad de visitas dio $b_1 = 0{,}09$ con error estándar $0{,}0257$ y $R^{2} = 0{,}02$ . Realizá el test sobre la pendiente al $5\%$ y evaluá qué se puede concluir sobre la fuerza de la relación.

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1. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{0{,}09}{0{,}0257} \approx 3{,}5$ , con $498$ grados de libertad.

2. Decidimos. El crítico es $\pm 1{,}9647$ , y $|3{,}5| > 1{,}9647$ : se rechaza la nula. Hay evidencia de que la pendiente verdadera no es cero.

3. Miramos el coeficiente de determinación. $R^{2} = 0{,}02$ : el modelo explica solo el $2\%$ de la variabilidad de las ventas del día.

4. Separamos las dos conclusiones. El test dice que la relación existe. El $R^{2}$ dice que es débil. No se contradicen: son preguntas distintas.

5. Explicamos por qué se puede detectar algo tan débil. Con $n = 500$ el error estándar de la pendiente es muy chico, así que hasta una relación mínima da un estadístico grande. Con muchos datos se detectan efectos que en la práctica no importan.

6. Qué informar entonces. La estimación de la pendiente con su intervalo, más el $R^{2}$ . Decir solo «la relación es estadísticamente significativa» sugiere una fuerza que los datos no respaldan.

Respuesta: $t = 3{,}5$ : se rechaza la pendiente nula, pero con $R^{2} = 0{,}02$ la relación es débil

12. Una regresión de la nota del parcial sobre las horas de estudio con $6$ casos dio $b_1 = -1{,}9162$ , $EE(b_1) = 0{,}0473$ y $R^{2} = 0{,}9976$ . Calculá el estadístico y explicá qué afirma y qué no afirma el resultado del test.

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1. Calculamos el estadístico. $t = \dfrac{-1{,}9162}{0{,}0473} \approx -40{,}5312$ , con $4$ grados de libertad.

2. Decidimos al $5\%$ . El crítico es $\pm 2{,}7764$ , así que se rechaza la hipótesis de pendiente nula.

3. Escribimos qué afirma el test. Que la pendiente verdadera es distinta de cero, o sea que existe una relación lineal entre las dos variables.

4. Escribimos qué no afirma. No dice que la relación sea fuerte: eso lo mide el $R^{2}$ , que acá vale $0{,}9976$ . Tampoco dice que la relación sea lineal: eso hay que verificarlo mirando los residuos.

5. Y lo que menos afirma. Nada sobre causa. Que las horas de estudio sirva para predecir la nota del parcial no dice que la empuje, ni descarta que las mueva a las dos una tercera variable.

6. Cómo informar bien el resultado. Con las tres cosas juntas: el estadístico o el valor p, la estimación de la pendiente con su intervalo, y el $R^{2}$ . Cada uno responde una pregunta distinta.

Respuesta: $t = -40{,}5312$ : el test dice que la relación lineal existe, pero no que sea fuerte ni que haya causa