Ejercicios: Coeficiente de determinación

1. En una regresión de las ventas del día sobre la cantidad de visitas con $8$ casos, la variabilidad total de $y$ es $\sum (y - \bar{y})^{2} = 123{,}875$ y la parte no explicada por el modelo es $25{,}46$ . Calculá el coeficiente de determinación.

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1. Escribimos la descomposición. La variabilidad total de $y$ se parte en dos: la que el modelo explica y la que queda en los residuos. $SCT = SCE + SCR$ .

2. Calculamos la parte explicada. $SCE = 123{,}875 - 25{,}46 = 98{,}415$

3. Aplicamos la fórmula. $R^{2} = 1 - \dfrac{SCR}{SCT} = 1 - \dfrac{25{,}46}{123{,}875} \approx 0{,}7945$

4. Verificamos el rango. $0 \leq 0{,}7945 \leq 1$ , como tiene que ser siempre.

5. Interpretamos. El modelo explica el $79{,}45\%$ de la variabilidad de las ventas del día. El resto, un $20{,}55\%$ , queda sin explicar por esta variable.

6. Lo que un $R^{2}$ alto no garantiza. Que el modelo lineal sea el correcto. Hay que mirar los residuos igual: un patrón en ellos indica un modelo mal elegido por más alto que sea el $R^{2}$ .

Respuesta: $R^{2} = 0{,}7945$ , o sea el $79{,}45\%$

2. Con los datos $(3; 27)$ · $(4; 24)$ · $(5; 20)$ · $(6; 20)$ · $(11; -1)$ · $(13; -3)$ · $(15; -10)$ · $(17; -17)$ , calculá el coeficiente de correlación lineal y el de determinación, y verificá la relación entre los dos.

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1. Calculamos las tres sumas centradas. $S_{xx} = 205{,}5$ , $S_{yy} = 2054$ y $S_{xy} = -647$ .

2. Calculamos la correlación. $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \dfrac{-647}{\sqrt{205{,}5 \cdot 2054}} = -0{,}9959$

3. Calculamos el coeficiente de determinación. $R^{2} = \dfrac{SCE}{SCT} = \dfrac{2037{,}0268}{2054} \approx 0{,}9917$

4. Verificamos la relación. $r^{2} = (-0{,}9959)^{2} \approx 0{,}9917$ , que coincide con $R^{2}$ . En regresión lineal simple los dos son exactamente lo mismo, y de ahí viene la notación.

5. Vemos qué aporta cada uno. $r = -0{,}9959$ conserva el signo, así que dice si la relación es creciente o decreciente. $R^{2} = 0{,}9917$ pierde el signo pero se interpreta como proporción de variabilidad explicada.

6. Un aviso. La igualdad $R^{2} = r^{2}$ vale solo con una variable explicativa. En regresión múltiple el $R^{2}$ sigue existiendo pero ya no es el cuadrado de una correlación simple.

Respuesta: $r = -0{,}9959$ y $R^{2} = 0{,}9917 = r^{2}$

3. En una regresión de las ventas del día sobre la cantidad de visitas, la variabilidad total es $750$ y el coeficiente de determinación dio $0{,}88$ . Calculá la variabilidad explicada y la no explicada, e interpretá el resultado.

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1. Escribimos la definición. $R^{2} = \dfrac{SCE}{SCT}$ , la proporción de la variabilidad de $y$ que el modelo explica.

2. Despejamos la parte explicada. $SCE = 0{,}88 \cdot 750 = 660$

3. Calculamos la no explicada. $SCR = 750 - 660 = 90$

4. Interpretamos. El $88\%$ de la variabilidad de las ventas del día queda explicado por la cantidad de visitas. El $12\%$ restante se debe a otros factores o al azar.

5. Evaluamos la calidad del ajuste. Es un ajuste fuerte: la variable explicativa da cuenta de la mayor parte de la variabilidad.

6. Lo que hay que hacer igual. Mirar los residuos. Un $R^{2}$ alto con un patrón claro en los residuos indica que la relación existe pero no es lineal, y el modelo está mal elegido.

Respuesta: $SCE = 660$ y $SCR = 90$ : el modelo explica el $88\%$

4. En una regresión lineal simple se obtuvo lo siguiente: $R^{2} = 0{,}94$ , pero al graficar los residuos contra $x$ aparece una curva clara en forma de U. Decidí si el modelo es adecuado y qué habría que hacer.

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1. Leemos el coeficiente de determinación. El valor es alto, así que la recta explica buena parte de la variabilidad. Mirado solo, el ajuste parece muy bueno.

2. Vemos por qué eso no alcanza. El $R^{2}$ resume el tamaño de los residuos, pero no dice nada sobre su forma. Un modelo mal elegido puede dejar residuos chicos y con un patrón evidente.

3. Diagnosticamos. Acá la relación es fuerte pero no lineal: el modelo recto captura la tendencia general y falla de forma sistemática en los extremos y en el centro.

4. Concluimos sobre el modelo. El modelo lineal no es adecuado, aunque el número del ajuste sugiera lo contrario.

5. Decidimos qué hacer. Conviene probar un modelo cuadrático o transformar alguna de las variables.

6. La regla que deja el ejercicio. Mirar los residuos siempre, aunque el $R^{2}$ sea alto. El gráfico de residuos detecta problemas que ningún resumen numérico muestra.

Respuesta: El modelo no es adecuado pese al $R^{2}$ alto: la relación es fuerte pero no lineal: el modelo recto captura la tendencia general y falla de forma sistemática en los extremos y en el centro. Conviene probar un modelo cuadrático o transformar alguna de las variables

5. En una regresión de el sueldo en miles sobre los años de antigüedad con $8$ casos, la variabilidad total de $y$ es $\sum (y - \bar{y})^{2} = 1237{,}5$ y la parte no explicada por el modelo es $45{,}55$ . Calculá el coeficiente de determinación.

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1. Escribimos la descomposición. La variabilidad total de $y$ se parte en dos: la que el modelo explica y la que queda en los residuos. $SCT = SCE + SCR$ .

2. Calculamos la parte explicada. $SCE = 1237{,}5 - 45{,}55 = 1191{,}95$

3. Aplicamos la fórmula. $R^{2} = 1 - \dfrac{SCR}{SCT} = 1 - \dfrac{45{,}55}{1237{,}5} \approx 0{,}9632$

4. Verificamos el rango. $0 \leq 0{,}9632 \leq 1$ , como tiene que ser siempre.

5. Interpretamos. El modelo explica el $96{,}32\%$ de la variabilidad de el sueldo en miles. El resto, un $3{,}68\%$ , queda sin explicar por esta variable.

6. Lo que un $R^{2}$ alto no garantiza. Que el modelo lineal sea el correcto. Hay que mirar los residuos igual: un patrón en ellos indica un modelo mal elegido por más alto que sea el $R^{2}$ .

Respuesta: $R^{2} = 0{,}9632$ , o sea el $96{,}32\%$

6. Con los datos $(1; 28)$ · $(2; 31)$ · $(3; 36)$ · $(4; 35)$ · $(5; 35)$ · $(11; 47)$ · $(7; 42)$ , calculá el coeficiente de correlación lineal y el de determinación, y verificá la relación entre los dos.

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1. Calculamos las tres sumas centradas. $S_{xx} = 69{,}4286$ , $S_{yy} = 247{,}4286$ y $S_{xy} = 126{,}5714$ .

2. Calculamos la correlación. $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \dfrac{126{,}5714}{\sqrt{69{,}4286 \cdot 247{,}4286}} = 0{,}9657$

3. Calculamos el coeficiente de determinación. $R^{2} = \dfrac{SCE}{SCT} = \dfrac{230{,}7454}{247{,}4286} \approx 0{,}9326$

4. Verificamos la relación. $r^{2} = (0{,}9657)^{2} \approx 0{,}9326$ , que coincide con $R^{2}$ . En regresión lineal simple los dos son exactamente lo mismo, y de ahí viene la notación.

5. Vemos qué aporta cada uno. $r = 0{,}9657$ conserva el signo, así que dice si la relación es creciente o decreciente. $R^{2} = 0{,}9326$ pierde el signo pero se interpreta como proporción de variabilidad explicada.

6. Un aviso. La igualdad $R^{2} = r^{2}$ vale solo con una variable explicativa. En regresión múltiple el $R^{2}$ sigue existiendo pero ya no es el cuadrado de una correlación simple.

Respuesta: $r = 0{,}9657$ y $R^{2} = 0{,}9326 = r^{2}$

7. En una regresión de la nota del parcial sobre las horas de estudio, la variabilidad total es $250$ y el coeficiente de determinación dio $0{,}15$ . Calculá la variabilidad explicada y la no explicada, e interpretá el resultado.

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1. Escribimos la definición. $R^{2} = \dfrac{SCE}{SCT}$ , la proporción de la variabilidad de $y$ que el modelo explica.

2. Despejamos la parte explicada. $SCE = 0{,}15 \cdot 250 = 37{,}5$

3. Calculamos la no explicada. $SCR = 250 - 37{,}5 = 212{,}5$

4. Interpretamos. El $15\%$ de la variabilidad de la nota del parcial queda explicado por las horas de estudio. El $85\%$ restante se debe a otros factores o al azar.

5. Evaluamos la calidad del ajuste. Es un ajuste débil: la mayor parte de la variabilidad queda sin explicar por este modelo.

6. Lo que hay que hacer igual. Mirar los residuos. Un $R^{2}$ alto con un patrón claro en los residuos indica que la relación existe pero no es lineal, y el modelo está mal elegido.

Respuesta: $SCE = 37{,}5$ y $SCR = 212{,}5$ : el modelo explica el $15\%$

8. En una regresión lineal simple se obtuvo lo siguiente: $R^{2} = 0{,}91$ , y los residuos se abren en forma de embudo al crecer $x$ . Decidí si el modelo es adecuado y qué habría que hacer.

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1. Leemos el coeficiente de determinación. El valor es alto, así que la recta explica buena parte de la variabilidad. Mirado solo, el ajuste parece muy bueno.

2. Vemos por qué eso no alcanza. El $R^{2}$ resume el tamaño de los residuos, pero no dice nada sobre su forma. Un modelo mal elegido puede dejar residuos chicos y con un patrón evidente.

3. Diagnosticamos. Acá la varianza de los errores no es constante: el modelo predice bien para $x$ chicos y cada vez peor a medida que $x$ crece.

4. Concluimos sobre el modelo. El modelo lineal no es adecuado, aunque el número del ajuste sugiera lo contrario.

5. Decidimos qué hacer. Conviene transformar $y$ , por ejemplo con logaritmo, o usar mínimos cuadrados ponderados.

6. La regla que deja el ejercicio. Mirar los residuos siempre, aunque el $R^{2}$ sea alto. El gráfico de residuos detecta problemas que ningún resumen numérico muestra.

Respuesta: El modelo no es adecuado pese al $R^{2}$ alto: la varianza de los errores no es constante: el modelo predice bien para $x$ chicos y cada vez peor a medida que $x$ crece. Conviene transformar $y$ , por ejemplo con logaritmo, o usar mínimos cuadrados ponderados

9. En una regresión de la cantidad de consultas sobre el gasto en publicidad con $8$ casos, la variabilidad total de $y$ es $\sum (y - \bar{y})^{2} = 223{,}875$ y la parte no explicada por el modelo es $22{,}8636$ . Calculá el coeficiente de determinación.

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1. Escribimos la descomposición. La variabilidad total de $y$ se parte en dos: la que el modelo explica y la que queda en los residuos. $SCT = SCE + SCR$ .

2. Calculamos la parte explicada. $SCE = 223{,}875 - 22{,}8636 = 201{,}0114$

3. Aplicamos la fórmula. $R^{2} = 1 - \dfrac{SCR}{SCT} = 1 - \dfrac{22{,}8636}{223{,}875} \approx 0{,}8979$

4. Verificamos el rango. $0 \leq 0{,}8979 \leq 1$ , como tiene que ser siempre.

5. Interpretamos. El modelo explica el $89{,}79\%$ de la variabilidad de la cantidad de consultas. El resto, un $10{,}21\%$ , queda sin explicar por esta variable.

6. Lo que un $R^{2}$ alto no garantiza. Que el modelo lineal sea el correcto. Hay que mirar los residuos igual: un patrón en ellos indica un modelo mal elegido por más alto que sea el $R^{2}$ .

Respuesta: $R^{2} = 0{,}8979$ , o sea el $89{,}79\%$

10. Con los datos $(4; 49)$ · $(6; 57)$ · $(8; 65)$ · $(10; 72)$ · $(8; 63)$ · $(14; 89)$ , calculá el coeficiente de correlación lineal y el de determinación, y verificá la relación entre los dos.

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1. Calculamos las tres sumas centradas. $S_{xx} = 59{,}3333$ , $S_{yy} = 944{,}8333$ y $S_{xy} = 236{,}3333$ .

2. Calculamos la correlación. $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \dfrac{236{,}3333}{\sqrt{59{,}3333 \cdot 944{,}8333}} = 0{,}9982$

3. Calculamos el coeficiente de determinación. $R^{2} = \dfrac{SCE}{SCT} = \dfrac{941{,}3502}{944{,}8333} \approx 0{,}9963$

4. Verificamos la relación. $r^{2} = (0{,}9982)^{2} \approx 0{,}9963$ , que coincide con $R^{2}$ . En regresión lineal simple los dos son exactamente lo mismo, y de ahí viene la notación.

5. Vemos qué aporta cada uno. $r = 0{,}9982$ conserva el signo, así que dice si la relación es creciente o decreciente. $R^{2} = 0{,}9963$ pierde el signo pero se interpreta como proporción de variabilidad explicada.

6. Un aviso. La igualdad $R^{2} = r^{2}$ vale solo con una variable explicativa. En regresión múltiple el $R^{2}$ sigue existiendo pero ya no es el cuadrado de una correlación simple.

Respuesta: $r = 0{,}9982$ y $R^{2} = 0{,}9963 = r^{2}$

11. En una regresión de el sueldo en miles sobre los años de antigüedad, la variabilidad total es $600$ y el coeficiente de determinación dio $0{,}15$ . Calculá la variabilidad explicada y la no explicada, e interpretá el resultado.

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1. Escribimos la definición. $R^{2} = \dfrac{SCE}{SCT}$ , la proporción de la variabilidad de $y$ que el modelo explica.

2. Despejamos la parte explicada. $SCE = 0{,}15 \cdot 600 = 90$

3. Calculamos la no explicada. $SCR = 600 - 90 = 510$

4. Interpretamos. El $15\%$ de la variabilidad de el sueldo en miles queda explicado por los años de antigüedad. El $85\%$ restante se debe a otros factores o al azar.

5. Evaluamos la calidad del ajuste. Es un ajuste débil: la mayor parte de la variabilidad queda sin explicar por este modelo.

6. Lo que hay que hacer igual. Mirar los residuos. Un $R^{2}$ alto con un patrón claro en los residuos indica que la relación existe pero no es lineal, y el modelo está mal elegido.

Respuesta: $SCE = 90$ y $SCR = 510$ : el modelo explica el $15\%$

12. En una regresión lineal simple se obtuvo lo siguiente: $R^{2} = 0{,}89$ , y al mirar el gráfico se ve que el ajuste está dominado por un solo punto muy alejado del resto. Decidí si el modelo es adecuado y qué habría que hacer.

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1. Leemos el coeficiente de determinación. El valor es alto, así que la recta explica buena parte de la variabilidad. Mirado solo, el ajuste parece muy bueno.

2. Vemos por qué eso no alcanza. El $R^{2}$ resume el tamaño de los residuos, pero no dice nada sobre su forma. Un modelo mal elegido puede dejar residuos chicos y con un patrón evidente.

3. Diagnosticamos. Acá un dato influyente puede inflar el $R^{2}$ por sí solo: sin ese punto el ajuste sería mucho peor.

4. Concluimos sobre el modelo. El modelo lineal no es adecuado, aunque el número del ajuste sugiera lo contrario.

5. Decidimos qué hacer. Conviene recalcular la recta sin ese punto y comparar, y revisar si es un error de carga o una observación legítima.

6. La regla que deja el ejercicio. Mirar los residuos siempre, aunque el $R^{2}$ sea alto. El gráfico de residuos detecta problemas que ningún resumen numérico muestra.

Respuesta: El modelo no es adecuado pese al $R^{2}$ alto: un dato influyente puede inflar el $R^{2}$ por sí solo: sin ese punto el ajuste sería mucho peor. Conviene recalcular la recta sin ese punto y comparar, y revisar si es un error de carga o una observación legítima