Intervalo para una proporción

Para estimar una proporción poblacional el esquema es el mismo, con el error estándar propio de las proporciones.

El valor crítico sale de la tabla normal, porque para muestras razonables la proporción muestral se distribuye aproximadamente normal.

El error estándar se calcula con la proporción de la muestra, ya que la verdadera es justamente lo desconocido.

La condición para que la aproximación valga es que tanto los casos que cumplen como los que no superen cinco o diez. Con proporciones muy cercanas a cero o a uno eso puede exigir muestras grandes.

Este es el intervalo detrás del margen de error que publican las encuestas. Cuando dicen más o menos tres puntos, están reportando la mitad del ancho de un intervalo del noventa y cinco por ciento.

El margen es máximo cuando la proporción está cerca del cincuenta por ciento, y por eso las encuestas son menos precisas justo cuando la elección está reñida.

El resultado se expresa como porcentaje pero se calcula con proporciones entre cero y uno.

\hat{p} \pm z \cdot \sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) / n}

Cuándo se usa

Cuando la variable es un porcentaje: intención de voto, tasa de defectos, satisfacción. Usá la proporción muestral para el error estándar y verificá la condición antes de aplicar la normal.

Ejemplo 1

En una encuesta de $1000$ personas, $420$ responden que sí. Construir el intervalo del $95$ % para la proporción.

Calculamos la proporción muestral. $420 / 1000 = 0{,}42$ .
Calculamos el error estándar. $\sqrt{0{,}42 \cdot 0{,}58 / 1000} \approx 0{,}0156$ .
Armamos el intervalo. $0{,}42 \pm 1{,}96 \cdot 0{,}0156$ , de $0{,}3894$ a $0{,}4506$ .
Respuesta: De $38{,}94$ % $a 45{,}06$ %

Ejemplo 2

Calcular el margen de error del peor caso al $95$ % para una muestra de $1.000$ .

Identificamos el peor caso. Es $p = 0{,}5$ , donde el error estándar es máximo.
Calculamos el error estándar. $\sqrt{0{,}25 / 1.000} \approx 0{,}0158$ .
Multiplicamos por el valor crítico. $1{,}96 \cdot 0{,}0158 \approx 0{,}031$ , es decir $3{,}1$ puntos porcentuales.
Respuesta: $\pm 3{,}1$ puntos

Error típico

Aplicar la fórmula cuando la proporción muestral es muy chica o muy grande. Con pocos éxitos las condiciones del volumen $4$ no se cumplen y el intervalo puede llegar a incluir valores negativos.

Practicar

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Otros subtemas de Inferencia estadística

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