Ejercicios: Intervalo para una proporción

1. En una muestra de $800$ piezas, $160$ corresponden a las piezas defectuosas. Construí el intervalo de confianza del $99\%$ para la proporción poblacional.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{160}{800} = 0{,}2$

2. Verificamos las condiciones. $n \hat{p} = 160$ y $n (1 - \hat{p}) = 640$ , los dos mayores que $5$ , así que la proporción muestral se puede tratar como aproximadamente normal.

3. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}16}{800}} \approx 0{,}0141$ . Se usa $\hat{p}$ porque la proporción verdadera es justamente lo desconocido.

4. Buscamos el valor crítico y calculamos el margen. $z = 2{,}5758$ , así que el margen es $2{,}5758 \cdot 0{,}0141 \approx 0{,}0364$ .

5. Armamos el intervalo. $0{,}2 \pm 0{,}0364$ , o sea $[0{,}1636; 0{,}2364]$ .

6. Lo expresamos en porcentaje. Entre el $16{,}36\%$ y el $23{,}64\%$ , con confianza del $99\%$ .

Respuesta: El intervalo es $[0{,}1636; 0{,}2364]$

2. Una encuesta a $1200$ alumnos encontró que $516$ corresponden a los alumnos que aprueban. Calculá el margen de error al $95\%$ y explicá qué significa exactamente ese número.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{516}{1200} = 0{,}43$ , o sea el $43\\%$ .

2. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{0{,}43 \cdot 0{,}57}{1200}} \approx 0{,}0143$

3. Calculamos el margen. $1{,}96 \cdot 0{,}0143 \approx 0{,}028$ , o sea $2{,}8$ puntos porcentuales.

4. Escribimos el resultado como se publica. $43\%$ con un margen de $2{,}8$ puntos, que equivale al intervalo $[40{,}2\%; 45{,}8\%]$ .

5. Aclaramos qué es el margen. Es el medio ancho del intervalo de confianza, no el error que efectivamente se cometió. El error real es desconocido, porque la proporción verdadera es desconocida.

6. Qué cubre y qué no. El margen mide solo el error de muestreo. No incluye sesgos de selección, preguntas mal formuladas ni gente que no responde, y esos suelen pesar más que el margen publicado.

Respuesta: El margen es $0{,}028$ , o sea $2{,}8$ puntos porcentuales

3. En una muestra de $60$ clientes se encontraron solo $3$ casos de los clientes que renuevan. Verificá si se cumplen las condiciones para usar el intervalo normal y decidí si el resultado es confiable.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{3}{60} = 0{,}05$

2. Verificamos la primera condición. $n \hat{p} = 60 \cdot 0{,}05 = 3$ , que no llega a $5$ .

3. Verificamos la segunda. $n (1 - \hat{p}) = 57$ , que sí la cumple holgadamente.

4. Decidimos. La primera condición falla, así que la aproximación normal no es confiable acá. Con tan pocos éxitos la distribución de la proporción muestral queda muy asimétrica.

5. Mostramos el problema concreto. Si igual se aplicara la fórmula, el margen sería $1{,}96 \cdot 0{,}0281 \approx 0{,}0551$ y el extremo inferior daría $-0{,}0051$ , que es negativo y no puede ser una proporción.

6. Qué hacer en su lugar. Usar un intervalo exacto basado en la binomial, o agrandar la muestra hasta que se cumplan las dos condiciones.

Respuesta: No se cumplen: $n \hat{p} = 3 < 5$ , así que el intervalo normal no es confiable

4. Una encuesta a $1500$ personas da $43\%$ para el candidato A y $52\%$ para el B, con un margen de error informado del $95\%$ . Calculá los dos intervalos y decidí si se puede afirmar que B está adelante.

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1. Calculamos el margen del candidato A. $\sqrt{\dfrac{0{,}43 \cdot 0{,}57}{1500}} \approx 0{,}0128$ , y el margen es $1{,}96 \cdot 0{,}0128 \approx 0{,}0251$ .

2. Calculamos el del candidato B. Margen $0{,}0253$ , con el mismo procedimiento.

3. Armamos los dos intervalos. A: $[40{,}49\%; 45{,}51\%]$ . B: $[49{,}47\%; 54{,}53\%]$ .

4. Comparamos. Los intervalos no se pisan, lo que es evidencia fuerte de que B está adelante.

5. Marcamos un cuidado importante. Comparar dos intervalos individuales no es el procedimiento correcto para decidir sobre una diferencia. Hay que construir el intervalo de la diferencia, que se ve más adelante y suele ser más sensible.

6. Lo que el margen no cubre. Solo el error de muestreo. La gente que no responde, los indecisos y el momento del relevamiento no entran en esa cuenta.

Respuesta: A: $[40{,}49\%; 45{,}51\%]$ y B: $[49{,}47\%; 54{,}53\%]$ : los intervalos no se pisan

5. En una muestra de $400$ clientes, $256$ corresponden a los clientes que renuevan. Construí el intervalo de confianza del $99\%$ para la proporción poblacional.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{256}{400} = 0{,}64$

2. Verificamos las condiciones. $n \hat{p} = 256$ y $n (1 - \hat{p}) = 144$ , los dos mayores que $5$ , así que la proporción muestral se puede tratar como aproximadamente normal.

3. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}2304}{400}} = 0{,}024$ . Se usa $\hat{p}$ porque la proporción verdadera es justamente lo desconocido.

4. Buscamos el valor crítico y calculamos el margen. $z = 2{,}5758$ , así que el margen es $2{,}5758 \cdot 0{,}024 \approx 0{,}0618$ .

5. Armamos el intervalo. $0{,}64 \pm 0{,}0618$ , o sea $[0{,}5782; 0{,}7018]$ .

6. Lo expresamos en porcentaje. Entre el $57{,}82\%$ y el $70{,}18\%$ , con confianza del $99\%$ .

Respuesta: El intervalo es $[0{,}5782; 0{,}7018]$

6. Una encuesta a $1200$ piezas encontró que $720$ corresponden a las piezas defectuosas. Calculá el margen de error al $95\%$ y explicá qué significa exactamente ese número.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{720}{1200} = 0{,}6$ , o sea el $60\\%$ .

2. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}4}{1200}} \approx 0{,}0141$

3. Calculamos el margen. $1{,}96 \cdot 0{,}0141 \approx 0{,}0277$ , o sea $2{,}77$ puntos porcentuales.

4. Escribimos el resultado como se publica. $60\%$ con un margen de $2{,}77$ puntos, que equivale al intervalo $[57{,}23\%; 62{,}77\%]$ .

5. Aclaramos qué es el margen. Es el medio ancho del intervalo de confianza, no el error que efectivamente se cometió. El error real es desconocido, porque la proporción verdadera es desconocida.

6. Qué cubre y qué no. El margen mide solo el error de muestreo. No incluye sesgos de selección, preguntas mal formuladas ni gente que no responde, y esos suelen pesar más que el margen publicado.

Respuesta: El margen es $0{,}0277$ , o sea $2{,}77$ puntos porcentuales

7. En una muestra de $40$ votantes se encontraron solo $1$ casos de los votantes que eligen la opción A. Verificá si se cumplen las condiciones para usar el intervalo normal y decidí si el resultado es confiable.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{1}{40} = 0{,}025$

2. Verificamos la primera condición. $n \hat{p} = 40 \cdot 0{,}025 = 1$ , que no llega a $5$ .

3. Verificamos la segunda. $n (1 - \hat{p}) = 39$ , que sí la cumple holgadamente.

4. Decidimos. La primera condición falla, así que la aproximación normal no es confiable acá. Con tan pocos éxitos la distribución de la proporción muestral queda muy asimétrica.

5. Mostramos el problema concreto. Si igual se aplicara la fórmula, el margen sería $1{,}96 \cdot 0{,}0247 \approx 0{,}0484$ y el extremo inferior daría $-0{,}0234$ , que es negativo y no puede ser una proporción.

6. Qué hacer en su lugar. Usar un intervalo exacto basado en la binomial, o agrandar la muestra hasta que se cumplan las dos condiciones.

Respuesta: No se cumplen: $n \hat{p} = 1 < 5$ , así que el intervalo normal no es confiable

8. Una encuesta a $800$ personas da $42\%$ para el candidato A y $47\%$ para el B, con un margen de error informado del $95\%$ . Calculá los dos intervalos y decidí si se puede afirmar que B está adelante.

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1. Calculamos el margen del candidato A. $\sqrt{\dfrac{0{,}42 \cdot 0{,}58}{800}} \approx 0{,}0174$ , y el margen es $1{,}96 \cdot 0{,}0174 \approx 0{,}0342$ .

2. Calculamos el del candidato B. Margen $0{,}0346$ , con el mismo procedimiento.

3. Armamos los dos intervalos. A: $[38{,}58\%; 45{,}42\%]$ . B: $[43{,}54\%; 50{,}46\%]$ .

4. Comparamos. Los dos intervalos se pisan, así que con este dato no se puede afirmar que B esté adelante.

5. Marcamos un cuidado importante. Comparar dos intervalos individuales no es el procedimiento correcto para decidir sobre una diferencia. Hay que construir el intervalo de la diferencia, que se ve más adelante y suele ser más sensible.

6. Lo que el margen no cubre. Solo el error de muestreo. La gente que no responde, los indecisos y el momento del relevamiento no entran en esa cuenta.

Respuesta: A: $[38{,}58\%; 45{,}42\%]$ y B: $[43{,}54\%; 50{,}46\%]$ : los intervalos se pisan, así que no alcanza para afirmarlo

9. En una muestra de $500$ votantes, $185$ corresponden a los votantes que eligen la opción A. Construí el intervalo de confianza del $90\%$ para la proporción poblacional.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{185}{500} = 0{,}37$

2. Verificamos las condiciones. $n \hat{p} = 185$ y $n (1 - \hat{p}) = 315$ , los dos mayores que $5$ , así que la proporción muestral se puede tratar como aproximadamente normal.

3. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}2331}{500}} \approx 0{,}0216$ . Se usa $\hat{p}$ porque la proporción verdadera es justamente lo desconocido.

4. Buscamos el valor crítico y calculamos el margen. $z = 1{,}6449$ , así que el margen es $1{,}6449 \cdot 0{,}0216 \approx 0{,}0355$ .

5. Armamos el intervalo. $0{,}37 \pm 0{,}0355$ , o sea $[0{,}3345; 0{,}4055]$ .

6. Lo expresamos en porcentaje. Entre el $33{,}45\%$ y el $40{,}55\%$ , con confianza del $90\%$ .

Respuesta: El intervalo es $[0{,}3345; 0{,}4055]$

10. Una encuesta a $1000$ votantes encontró que $460$ corresponden a los votantes que eligen la opción A. Calculá el margen de error al $95\%$ y explicá qué significa exactamente ese número.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{460}{1000} = 0{,}46$ , o sea el $46\\%$ .

2. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{0{,}46 \cdot 0{,}54}{1000}} \approx 0{,}0158$

3. Calculamos el margen. $1{,}96 \cdot 0{,}0158 \approx 0{,}0309$ , o sea $3{,}09$ puntos porcentuales.

4. Escribimos el resultado como se publica. $46\%$ con un margen de $3{,}09$ puntos, que equivale al intervalo $[42{,}91\%; 49{,}09\%]$ .

5. Aclaramos qué es el margen. Es el medio ancho del intervalo de confianza, no el error que efectivamente se cometió. El error real es desconocido, porque la proporción verdadera es desconocida.

6. Qué cubre y qué no. El margen mide solo el error de muestreo. No incluye sesgos de selección, preguntas mal formuladas ni gente que no responde, y esos suelen pesar más que el margen publicado.

Respuesta: El margen es $0{,}0309$ , o sea $3{,}09$ puntos porcentuales

11. En una muestra de $80$ alumnos se encontraron solo $1$ casos de los alumnos que aprueban. Verificá si se cumplen las condiciones para usar el intervalo normal y decidí si el resultado es confiable.

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1. Calculamos la proporción muestral. $\hat{p} = \dfrac{1}{80} = 0{,}0125$

2. Verificamos la primera condición. $n \hat{p} = 80 \cdot 0{,}0125 = 1$ , que no llega a $5$ .

3. Verificamos la segunda. $n (1 - \hat{p}) = 79$ , que sí la cumple holgadamente.

4. Decidimos. La primera condición falla, así que la aproximación normal no es confiable acá. Con tan pocos éxitos la distribución de la proporción muestral queda muy asimétrica.

5. Mostramos el problema concreto. Si igual se aplicara la fórmula, el margen sería $1{,}96 \cdot 0{,}0124 \approx 0{,}0243$ y el extremo inferior daría $-0{,}0118$ , que es negativo y no puede ser una proporción.

6. Qué hacer en su lugar. Usar un intervalo exacto basado en la binomial, o agrandar la muestra hasta que se cumplan las dos condiciones.

Respuesta: No se cumplen: $n \hat{p} = 1 < 5$ , así que el intervalo normal no es confiable

12. Una encuesta a $800$ personas da $38\%$ para el candidato A y $48\%$ para el B, con un margen de error informado del $95\%$ . Calculá los dos intervalos y decidí si se puede afirmar que B está adelante.

Ver solución

1. Calculamos el margen del candidato A. $\sqrt{\dfrac{0{,}38 \cdot 0{,}62}{800}} \approx 0{,}0172$ , y el margen es $1{,}96 \cdot 0{,}0172 \approx 0{,}0336$ .

2. Calculamos el del candidato B. Margen $0{,}0346$ , con el mismo procedimiento.

3. Armamos los dos intervalos. A: $[34{,}64\%; 41{,}36\%]$ . B: $[44{,}54\%; 51{,}46\%]$ .

4. Comparamos. Los intervalos no se pisan, lo que es evidencia fuerte de que B está adelante.

5. Marcamos un cuidado importante. Comparar dos intervalos individuales no es el procedimiento correcto para decidir sobre una diferencia. Hay que construir el intervalo de la diferencia, que se ve más adelante y suele ser más sensible.

6. Lo que el margen no cubre. Solo el error de muestreo. La gente que no responde, los indecisos y el momento del relevamiento no entran en esa cuenta.

Respuesta: A: $[34{,}64\%; 41{,}36\%]$ y B: $[44{,}54\%; 51{,}46\%]$ : los intervalos no se pisan