Método

Ejercicios: Tamaño de muestra necesario

media: n=(zσ/E)2n = (z \sigma / E)^{2} · proporción: n=z2pq/E2n = z^{2} p q / E^{2}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Se quiere estimar la media de el gasto mensual con un margen de error de 33 miles de pesos y confianza del 90%90\%. El desvío poblacional es 1818 miles de pesos. Calculá el tamaño de muestra necesario.

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1. Escribimos la fórmula del margen. E=z⋅σnE = z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, con EE fijado de antemano y nn como incógnita.

2. Despejamos. n=zσE\sqrt{n} = \dfrac{z \sigma}{E}, así que n=(zσE)2n = \left(\dfrac{z \sigma}{E}\right)^{2}.

3. Buscamos el valor crítico. Para el 90%90\%, z=1,6449z = 1{,}6449.

4. Reemplazamos. n=(1,6449⋅183)2≈(9,8691)2≈97,3996n = \left(\dfrac{1{,}6449 \cdot 18}{3}\right)^{2} \approx \left(9{,}8691\right)^{2} \approx 97{,}3996

5. Redondeamos hacia arriba. El tamaño tiene que ser entero y cumplir la condición, así que n=98n = 98 casos. Siempre se redondea para arriba: para abajo el margen quedaría más grande que el pedido.

6. Verificamos. Con n=98n = 98: E=1,6449⋅1898=2,9908E = 1{,}6449 \cdot \dfrac{18}{\sqrt{98}} = 2{,}9908, que no supera 33.

Respuesta: Hace falta n=98n = 98 casos

2. Se quiere estimar la proporción de los alumnos que aprueban con un margen de error de 0,030{,}03 y confianza del 95%95\%. Un estudio previo sugiere que la proporción ronda 0,230{,}23. Calculá el tamaño de muestra necesario.

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1. Escribimos la fórmula del margen. E=z⋅p(1−p)nE = z \cdot \sqrt{\dfrac{p (1 - p)}{n}}

2. Despejamos. n=z2⋅p(1−p)E2n = \dfrac{z^{2} \cdot p (1 - p)}{E^{2}}

3. Reemplazamos. n=1,962⋅0,23⋅0,770,032=3,8415⋅0,17710,0009≈755,9137n = \dfrac{1{,}96^{2} \cdot 0{,}23 \cdot 0{,}77}{0{,}03^{2}} = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}1771}{0{,}0009} \approx 755{,}9137

4. Redondeamos hacia arriba. n=756n = 756 alumnos.

5. Verificamos. E=1,96⋅0,1771756≈0,03E = 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}1771}{756}} \approx 0{,}03, que no supera 0,030{,}03.

6. De dónde salió el valor de pp. Del estudio previo. Si no hubiera ninguna información, habría que usar el peor caso, que se ve en el ejercicio siguiente.

Respuesta: Hace falta n=756n = 756 alumnos

3. Se quiere estimar una proporción con margen de error 0,040{,}04 y confianza del 95%95\%, sin ninguna información previa sobre su valor. Calculá el tamaño de muestra necesario y compará con el que haría falta si se supiera que la proporción ronda 0,30{,}3.

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1. Vemos cuál es el problema. La fórmula n=z2p(1−p)E2n = \dfrac{z^{2} p (1 - p)}{E^{2}} necesita pp, que es justamente lo desconocido.

2. Buscamos el peor caso. El producto p(1−p)p(1-p) es máximo en p=0,5p = 0{,}5, donde vale 0,250{,}25. Usar ese valor garantiza el margen pedido sea cual sea la proporción verdadera.

3. Calculamos con el peor caso. n=3,8415⋅0,250,0016≈600,2279n = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}25}{0{,}0016} \approx 600{,}2279, o sea n=601n = 601.

4. Calculamos con la información previa. n=3,8415⋅0,210,0016≈504,1915n = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}21}{0{,}0016} \approx 504{,}1915, o sea n=505n = 505.

5. Comparamos. 601601 contra 505505: la información previa ahorra 9696 casos, un 16%16\% menos.

6. Cuándo conviene cada uno. Si hay un estudio previo confiable, usarlo achica la muestra. Si no lo hay, el peor caso es la única opción que garantiza el margen, aunque salga más caro.

Respuesta: Sin información previa hacen falta 601601 casos; con la información previa, 505505

4. Con desvío poblacional 1616 y confianza del 95%95\%, calculá el tamaño de muestra necesario para un margen de 44 y para un margen de 22, y explicá la relación entre los dos.

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1. Calculamos el primero. n=(1,96⋅164)2≈61,4633n = \left(\dfrac{1{,}96 \cdot 16}{4}\right)^{2} \approx 61{,}4633, o sea n=62n = 62.

2. Calculamos el segundo. n=(1,96⋅162)2≈245,8534n = \left(\dfrac{1{,}96 \cdot 16}{2}\right)^{2} \approx 245{,}8534, o sea n=246n = 246.

3. Comparamos. 24662≈4\dfrac{246}{62} \approx 4: reducir el margen a la mitad cuadruplicó la muestra.

4. Explicamos por qué. En la fórmula n=(zσE)2n = \left(\dfrac{z \sigma}{E}\right)^{2} el margen aparece al cuadrado en el denominador. Dividirlo por dos multiplica nn por cuatro.

5. Sacamos la regla general. Para dividir el margen por kk hay que multiplicar la muestra por k2k^{2}.

6. La consecuencia práctica. Pedir la mitad de margen no cuesta el doble: cuesta cuatro veces. Por eso la precisión de una encuesta tiene rendimientos decrecientes y hay un punto donde deja de convenir agrandar la muestra.

Respuesta: Para margen 44 hacen falta 6262 casos y para 22, 246246: cuatro veces más

5. Se quiere estimar la media de el peso de los envases con un margen de error de 33 gramos y confianza del 99%99\%. El desvío poblacional es 2525 gramos. Calculá el tamaño de muestra necesario.

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1. Escribimos la fórmula del margen. E=z⋅σnE = z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, con EE fijado de antemano y nn como incógnita.

2. Despejamos. n=zσE\sqrt{n} = \dfrac{z \sigma}{E}, así que n=(zσE)2n = \left(\dfrac{z \sigma}{E}\right)^{2}.

3. Buscamos el valor crítico. Para el 99%99\%, z=2,5758z = 2{,}5758.

4. Reemplazamos. n=(2,5758⋅253)2≈(21,4652)2≈460,7567n = \left(\dfrac{2{,}5758 \cdot 25}{3}\right)^{2} \approx \left(21{,}4652\right)^{2} \approx 460{,}7567

5. Redondeamos hacia arriba. El tamaño tiene que ser entero y cumplir la condición, así que n=461n = 461 casos. Siempre se redondea para arriba: para abajo el margen quedaría más grande que el pedido.

6. Verificamos. Con n=461n = 461: E=2,5758⋅25461=2,9992E = 2{,}5758 \cdot \dfrac{25}{\sqrt{461}} = 2{,}9992, que no supera 33.

Respuesta: Hace falta n=461n = 461 casos

6. Se quiere estimar la proporción de las piezas defectuosas con un margen de error de 0,030{,}03 y confianza del 95%95\%. Un estudio previo sugiere que la proporción ronda 0,220{,}22. Calculá el tamaño de muestra necesario.

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1. Escribimos la fórmula del margen. E=z⋅p(1−p)nE = z \cdot \sqrt{\dfrac{p (1 - p)}{n}}

2. Despejamos. n=z2⋅p(1−p)E2n = \dfrac{z^{2} \cdot p (1 - p)}{E^{2}}

3. Reemplazamos. n=1,962⋅0,22⋅0,780,032=3,8415⋅0,17160,0009≈732,4381n = \dfrac{1{,}96^{2} \cdot 0{,}22 \cdot 0{,}78}{0{,}03^{2}} = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}1716}{0{,}0009} \approx 732{,}4381

4. Redondeamos hacia arriba. n=733n = 733 piezas.

5. Verificamos. E=1,96⋅0,1716733≈0,03E = 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}1716}{733}} \approx 0{,}03, que no supera 0,030{,}03.

6. De dónde salió el valor de pp. Del estudio previo. Si no hubiera ninguna información, habría que usar el peor caso, que se ve en el ejercicio siguiente.

Respuesta: Hace falta n=733n = 733 piezas

7. Se quiere estimar una proporción con margen de error 0,020{,}02 y confianza del 95%95\%, sin ninguna información previa sobre su valor. Calculá el tamaño de muestra necesario y compará con el que haría falta si se supiera que la proporción ronda 0,350{,}35.

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1. Vemos cuál es el problema. La fórmula n=z2p(1−p)E2n = \dfrac{z^{2} p (1 - p)}{E^{2}} necesita pp, que es justamente lo desconocido.

2. Buscamos el peor caso. El producto p(1−p)p(1-p) es máximo en p=0,5p = 0{,}5, donde vale 0,250{,}25. Usar ese valor garantiza el margen pedido sea cual sea la proporción verdadera.

3. Calculamos con el peor caso. n=3,8415⋅0,250,0004≈2400,9118n = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}25}{0{,}0004} \approx 2400{,}9118, o sea n=2401n = 2401.

4. Calculamos con la información previa. n=3,8415⋅0,22750,0004≈2184,8297n = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}2275}{0{,}0004} \approx 2184{,}8297, o sea n=2185n = 2185.

5. Comparamos. 24012401 contra 21852185: la información previa ahorra 216216 casos, un 9%9\% menos.

6. Cuándo conviene cada uno. Si hay un estudio previo confiable, usarlo achica la muestra. Si no lo hay, el peor caso es la única opción que garantiza el margen, aunque salga más caro.

Respuesta: Sin información previa hacen falta 24012401 casos; con la información previa, 21852185

8. Con desvío poblacional 1515 y confianza del 95%95\%, calculá el tamaño de muestra necesario para un margen de 44 y para un margen de 22, y explicá la relación entre los dos.

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1. Calculamos el primero. n=(1,96⋅154)2≈54,0205n = \left(\dfrac{1{,}96 \cdot 15}{4}\right)^{2} \approx 54{,}0205, o sea n=55n = 55.

2. Calculamos el segundo. n=(1,96⋅152)2≈216,0821n = \left(\dfrac{1{,}96 \cdot 15}{2}\right)^{2} \approx 216{,}0821, o sea n=217n = 217.

3. Comparamos. 21755≈4\dfrac{217}{55} \approx 4: reducir el margen a la mitad cuadruplicó la muestra.

4. Explicamos por qué. En la fórmula n=(zσE)2n = \left(\dfrac{z \sigma}{E}\right)^{2} el margen aparece al cuadrado en el denominador. Dividirlo por dos multiplica nn por cuatro.

5. Sacamos la regla general. Para dividir el margen por kk hay que multiplicar la muestra por k2k^{2}.

6. La consecuencia práctica. Pedir la mitad de margen no cuesta el doble: cuesta cuatro veces. Por eso la precisión de una encuesta tiene rendimientos decrecientes y hay un punto donde deja de convenir agrandar la muestra.

Respuesta: Para margen 44 hacen falta 5555 casos y para 22, 217217: cuatro veces más

9. Se quiere estimar la media de el tiempo de atención con un margen de error de 55 minutos y confianza del 90%90\%. El desvío poblacional es 88 minutos. Calculá el tamaño de muestra necesario.

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1. Escribimos la fórmula del margen. E=z⋅σnE = z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, con EE fijado de antemano y nn como incógnita.

2. Despejamos. n=zσE\sqrt{n} = \dfrac{z \sigma}{E}, así que n=(zσE)2n = \left(\dfrac{z \sigma}{E}\right)^{2}.

3. Buscamos el valor crítico. Para el 90%90\%, z=1,6449z = 1{,}6449.

4. Reemplazamos. n=(1,6449⋅85)2≈(2,6318)2≈6,9262n = \left(\dfrac{1{,}6449 \cdot 8}{5}\right)^{2} \approx \left(2{,}6318\right)^{2} \approx 6{,}9262

5. Redondeamos hacia arriba. El tamaño tiene que ser entero y cumplir la condición, así que n=7n = 7 casos. Siempre se redondea para arriba: para abajo el margen quedaría más grande que el pedido.

6. Verificamos. Con n=7n = 7: E=1,6449⋅87=4,9736E = 1{,}6449 \cdot \dfrac{8}{\sqrt{7}} = 4{,}9736, que no supera 55.

Respuesta: Hace falta n=7n = 7 casos

10. Se quiere estimar la proporción de los clientes que renuevan con un margen de error de 0,050{,}05 y confianza del 95%95\%. Un estudio previo sugiere que la proporción ronda 0,570{,}57. Calculá el tamaño de muestra necesario.

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1. Escribimos la fórmula del margen. E=z⋅p(1−p)nE = z \cdot \sqrt{\dfrac{p (1 - p)}{n}}

2. Despejamos. n=z2⋅p(1−p)E2n = \dfrac{z^{2} \cdot p (1 - p)}{E^{2}}

3. Reemplazamos. n=1,962⋅0,57⋅0,430,052=3,8415⋅0,24510,0025≈376,6166n = \dfrac{1{,}96^{2} \cdot 0{,}57 \cdot 0{,}43}{0{,}05^{2}} = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}2451}{0{,}0025} \approx 376{,}6166

4. Redondeamos hacia arriba. n=377n = 377 clientes.

5. Verificamos. E=1,96⋅0,2451377≈0,05E = 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}2451}{377}} \approx 0{,}05, que no supera 0,050{,}05.

6. De dónde salió el valor de pp. Del estudio previo. Si no hubiera ninguna información, habría que usar el peor caso, que se ve en el ejercicio siguiente.

Respuesta: Hace falta n=377n = 377 clientes

11. Se quiere estimar una proporción con margen de error 0,030{,}03 y confianza del 95%95\%, sin ninguna información previa sobre su valor. Calculá el tamaño de muestra necesario y compará con el que haría falta si se supiera que la proporción ronda 0,290{,}29.

Ver solución

1. Vemos cuál es el problema. La fórmula n=z2p(1−p)E2n = \dfrac{z^{2} p (1 - p)}{E^{2}} necesita pp, que es justamente lo desconocido.

2. Buscamos el peor caso. El producto p(1−p)p(1-p) es máximo en p=0,5p = 0{,}5, donde vale 0,250{,}25. Usar ese valor garantiza el margen pedido sea cual sea la proporción verdadera.

3. Calculamos con el peor caso. n=3,8415⋅0,250,0009≈1067,0719n = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}25}{0{,}0009} \approx 1067{,}0719, o sea n=1068n = 1068.

4. Calculamos con la información previa. n=3,8415⋅0,20590,0009≈878,8404n = \dfrac{3{,}8415 \cdot 0{,}2059}{0{,}0009} \approx 878{,}8404, o sea n=879n = 879.

5. Comparamos. 10681068 contra 879879: la información previa ahorra 189189 casos, un 17,64%17{,}64\% menos.

6. Cuándo conviene cada uno. Si hay un estudio previo confiable, usarlo achica la muestra. Si no lo hay, el peor caso es la única opción que garantiza el margen, aunque salga más caro.

Respuesta: Sin información previa hacen falta 10681068 casos; con la información previa, 879879

12. Con desvío poblacional 1818 y confianza del 95%95\%, calculá el tamaño de muestra necesario para un margen de 22 y para un margen de 11, y explicá la relación entre los dos.

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1. Calculamos el primero. n=(1,96⋅182)2≈311,1582n = \left(\dfrac{1{,}96 \cdot 18}{2}\right)^{2} \approx 311{,}1582, o sea n=312n = 312.

2. Calculamos el segundo. n=(1,96⋅181)2≈1244,6327n = \left(\dfrac{1{,}96 \cdot 18}{1}\right)^{2} \approx 1244{,}6327, o sea n=1245n = 1245.

3. Comparamos. 1245312≈4\dfrac{1245}{312} \approx 4: reducir el margen a la mitad cuadruplicó la muestra.

4. Explicamos por qué. En la fórmula n=(zσE)2n = \left(\dfrac{z \sigma}{E}\right)^{2} el margen aparece al cuadrado en el denominador. Dividirlo por dos multiplica nn por cuatro.

5. Sacamos la regla general. Para dividir el margen por kk hay que multiplicar la muestra por k2k^{2}.

6. La consecuencia práctica. Pedir la mitad de margen no cuesta el doble: cuesta cuatro veces. Por eso la precisión de una encuesta tiene rendimientos decrecientes y hay un punto donde deja de convenir agrandar la muestra.

Respuesta: Para margen 22 hacen falta 312312 casos y para 11, 12451245: cuatro veces más

Integradores de Inferencia estadística: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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