Procesos de Poisson y la distribución Gamma

Un proceso de Poisson modela eventos que ocurren al azar a lo largo del tiempo, sin acumularse ni evitarse: llamadas a una central, fallas de una máquina, partículas que llegan a un detector.

Tiene un solo parámetro, la tasa, que dice cuántos eventos ocurren por unidad de tiempo en promedio. A partir de ahí se responden dos preguntas distintas.

La primera es cuántos eventos ocurren en un intervalo dado. Esa cantidad sigue una Poisson cuyo parámetro es la tasa multiplicada por el largo del intervalo, así que hay que tener cuidado de ajustar las unidades antes de aplicar la fórmula.

La segunda es cuánto hay que esperar hasta el próximo evento. Ese tiempo es continuo y sigue una exponencial de parámetro igual a la tasa.

Si en vez del próximo evento se pregunta por el tiempo hasta el evento número $k$ , la respuesta es una Gamma, que es la suma de $k$ exponenciales independientes. Su esperanza es $k$ dividido la tasa, que es lo intuitivo: si en promedio pasa un evento cada tanto, para juntar $k$ hay que esperar $k$ veces eso.

La exponencial es el caso particular de la Gamma con $k = 1$ .

N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t), \quad T_{k} \sim \text{Gamma}(k, \lambda)

Cuándo se usa

Cuando hay que modelar el tiempo hasta la ocurrencia número k de un proceso de Poisson, o la duración acumulada de varias etapas. Si el parámetro de forma vale uno, la Gamma se reduce a la exponencial: sirve como chequeo.

Ejemplo 1

A una central llegan llamadas a razón de $3$ por hora. Hallar el parámetro para contar las llamadas de $2$ horas.

Identificamos la tasa. Es $3$ por hora.
Identificamos el largo del intervalo. Son $2$ horas.
Multiplicamos.
Interpretamos. En dos horas se esperan $6$ llamadas en promedio.
Respuesta: la cantidad sigue una Poisson de parámetro $6$

Ejemplo 2

Con la misma tasa de $3$ por hora, hallar el tiempo medio de espera hasta la tercera llamada.

Reconocemos la distribución. El tiempo hasta el tercer evento sigue una Gamma con $k = 3$ .
Aplicamos la fórmula de la esperanza. Es $k$ dividido la tasa.
Calculamos. Da $\frac{3}{3} = 1$ hora.
Verificamos que tenga sentido. Cada llamada tarda en promedio veinte minutos, así que tres tardan una hora.
Respuesta: $1$ hora

Error típico

No ajustar el parámetro al largo del intervalo. Si la tasa es por hora y el intervalo son dos horas, el parámetro es el doble.

Practicar

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