Transformación de variables y el método del Jacobiano

Cuando se conoce la distribución de una variable y se define otra a partir de ella, hay que averiguar cómo se distribuye la nueva. Ese es el problema de transformación de variables.

En una dimensión el camino más seguro es pasar por la acumulada. Se escribe la probabilidad de que la nueva variable sea menor que un valor, se traduce esa condición en términos de la variable original, y se deriva para obtener la densidad.

El método directo usa la derivada de la transformación inversa, en valor absoluto. Ese valor absoluto no es un detalle: si la transformación es decreciente, la derivada es negativa y sin el módulo saldría una densidad negativa, que no existe.

En varias dimensiones la derivada se reemplaza por el Jacobiano, que es el determinante de la matriz de derivadas parciales de la transformación inversa. También va en valor absoluto.

La interpretación geométrica del Jacobiano es cuánto estira o comprime el cambio de variables un pedacito de área o de volumen. La densidad tiene que corregirse por ese factor para que la probabilidad total siga sumando uno.

Al final hay que determinar el nuevo dominio, y ese paso se olvida seguido: la transformación cambia el conjunto de valores posibles.

f_{Y}(y) = f_{X}(x(y)) \cdot |J|, \quad J = \det\left[\frac{\partial x}{\partial y}\right]

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio define una variable nueva como función de una o varias conocidas y pide su densidad. No te olvides del valor absoluto del Jacobiano, y determiná bien el nuevo rango antes de escribir la densidad.

Ejemplo 1

Si $X$ es uniforme en $[0{,}1]$ y $Y = 2X$ , hallar la densidad de $Y$ .

Despejamos la inversa. Es $x = \frac{y}{2}$ .
Calculamos su derivada. Vale $\frac{1}{2}$ .
Aplicamos la fórmula. La densidad de $X$ vale $1$ , así que la de $Y$ es $1 \cdot \frac{1}{2}$ .
Determinamos el nuevo dominio. Como $x$ va de $0$ a $1$ , la nueva variable va de $0$ a $2$ .
Respuesta: $f_{Y}(y) = \frac{1}{2}$ en $[0{,}2]$

Ejemplo 2

Si $X$ es uniforme en $[0{,}1]$ y $Y = -X + 1$ , hallar la densidad de $Y$ .

Despejamos la inversa. Es $x = 1 - y$ .
Calculamos su derivada. Vale $-1$ .
Tomamos el valor absoluto. Queda $1$ .
Aplicamos la fórmula. La densidad sigue valiendo $1$ .
Determinamos el dominio. Sigue siendo $[0{,}1]$ , porque la transformación lo da vuelta pero no lo cambia de tamaño.
Respuesta: $f_{Y}(y) = 1$ en $[0{,}1]$

Error típico

Olvidar recalcular el dominio de la nueva variable. La transformación cambia qué valores son posibles.

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