Ejercicios: Transformación de variables y el método del Jacobiano

2. Hallamos el recorrido de $Y$. Cuando $x$ va de $0$ a $4$, $y = 2x + 8$ va de $8$ a $16$.

3. Escribimos la acumulada de $Y$. $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(2X + 8 \leq y) = P\left(X \leq \dfrac{y - 8}{2}\right) = F_X\left(\dfrac{y - 8}{2}\right)$

4. Reemplazamos la acumulada de $X$. Para $x$ en el rango, $F_X(x) = \dfrac{x}{4}$, así que $F_Y(y) = \dfrac{y - 8}{2 \cdot 4} = \dfrac{y - 8}{8}$.

5. Derivamos para obtener la densidad. $f_Y(y) = \dfrac{1}{8}$ para $8 \leq y \leq 16$, y $0$ fuera.

6. Verificamos que sea una densidad. El área es $\dfrac{16 - 8}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$. $Y$ quedó uniforme en $[8; 16]$: una transformación lineal de una uniforme sigue siendo uniforme.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{8}$ en $[8; 16]$: $Y$ es uniforme en ese intervalo

2. Despejamos la inversa. De $y = -5x + 20$ sale $x = \dfrac{20 - y}{5}$.

3. Calculamos el Jacobiano. $J = \dfrac{dx}{dy} = -\dfrac{1}{5}$, que es negativo porque la transformación es decreciente.

4. Tomamos valor absoluto. $|J| = \dfrac{1}{5}$. Sin el módulo la densidad saldría negativa, y eso no existe: el Jacobiano mide cuánto se estira el espacio, y un estiramiento no puede ser negativo.

5. Armamos la densidad. $f_Y(y) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{20}$, y el recorrido de $Y$ va de $0$ a $20$.

6. Verificamos. $\dfrac{20 - 0}{20} = 1$: el área vale uno. La transformación dio vuelta el intervalo pero la densidad quedó igual de plana.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{20}$ en $[0; 20]$, con $|J| = \dfrac{1}{5}$

2. Escribimos la acumulada. $F_Y(y) = P(X^{2} \leq y) = P(X \leq \sqrt{y})$, válido porque en el rango $X$ no toma valores negativos.

3. Reemplazamos. $F_Y(y) = \dfrac{\sqrt{y}}{4}$ para $0 \leq y \leq 16$.

4. Derivamos. $f_Y(y) = \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{\sqrt{y}}{4}\right) = \dfrac{1}{2 \cdot 4 \sqrt{y}} = \dfrac{1}{8 \sqrt{y}}$

5. Verificamos que integre uno. $\displaystyle\int_{0}^{16} \dfrac{dy}{8 \sqrt{y}} = \left[\dfrac{\sqrt{y}}{4}\right]_{0}^{16} = \dfrac{4}{4} = 1$

6. Notamos qué cambió. La densidad de $X$ era constante y la de $Y$ no lo es: crece sin límite cerca de cero. Una transformación no lineal deforma la densidad, aunque la de partida fuera plana.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{8 \sqrt{y}}$ en $(0; 16]$

2. Despejamos la inversa y su derivada. $x = \dfrac{y}{3}$, así que $J = \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{3}$, ya positivo.

3. Aplicamos la fórmula. $f_Y(y) = f_X\left(\dfrac{y}{3}\right) \cdot \dfrac{1}{3} = 3 e^{-3 y / 3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} e^{-\frac{3}{3} y}$

4. Reconocemos la distribución. Es una exponencial de parámetro $\dfrac{3}{3} = 1$. Multiplicar una exponencial por una constante positiva da otra exponencial con la tasa dividida.

5. Verificamos que integre uno. $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{3}{3} e^{-\frac{3}{3} y} dy = 1$, porque es la densidad de una exponencial con ese parámetro.

6. Verificamos con la esperanza. $E(Y) = 3 \cdot E(X) = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$, que coincide con $\dfrac{1}{3/3} = 1$, la media de la nueva exponencial.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{3}{3} e^{-\frac{3}{3} y}$: exponencial de parámetro $1$

2. Hallamos el recorrido de $Y$. Cuando $x$ va de $0$ a $6$, $y = 2x + 7$ va de $7$ a $19$.

3. Escribimos la acumulada de $Y$. $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(2X + 7 \leq y) = P\left(X \leq \dfrac{y - 7}{2}\right) = F_X\left(\dfrac{y - 7}{2}\right)$

4. Reemplazamos la acumulada de $X$. Para $x$ en el rango, $F_X(x) = \dfrac{x}{6}$, así que $F_Y(y) = \dfrac{y - 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{y - 7}{12}$.

5. Derivamos para obtener la densidad. $f_Y(y) = \dfrac{1}{12}$ para $7 \leq y \leq 19$, y $0$ fuera.

6. Verificamos que sea una densidad. El área es $\dfrac{19 - 7}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$. $Y$ quedó uniforme en $[7; 19]$: una transformación lineal de una uniforme sigue siendo uniforme.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{12}$ en $[7; 19]$: $Y$ es uniforme en ese intervalo

2. Despejamos la inversa. De $y = -4x + 24$ sale $x = \dfrac{24 - y}{4}$.

3. Calculamos el Jacobiano. $J = \dfrac{dx}{dy} = -\dfrac{1}{4}$, que es negativo porque la transformación es decreciente.

4. Tomamos valor absoluto. $|J| = \dfrac{1}{4}$. Sin el módulo la densidad saldría negativa, y eso no existe: el Jacobiano mide cuánto se estira el espacio, y un estiramiento no puede ser negativo.

5. Armamos la densidad. $f_Y(y) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24}$, y el recorrido de $Y$ va de $0$ a $24$.

6. Verificamos. $\dfrac{24 - 0}{24} = 1$: el área vale uno. La transformación dio vuelta el intervalo pero la densidad quedó igual de plana.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{24}$ en $[0; 24]$, con $|J| = \dfrac{1}{4}$

2. Escribimos la acumulada. $F_Y(y) = P(X^{2} \leq y) = P(X \leq \sqrt{y})$, válido porque en el rango $X$ no toma valores negativos.

3. Reemplazamos. $F_Y(y) = \dfrac{\sqrt{y}}{3}$ para $0 \leq y \leq 9$.

4. Derivamos. $f_Y(y) = \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{\sqrt{y}}{3}\right) = \dfrac{1}{2 \cdot 3 \sqrt{y}} = \dfrac{1}{6 \sqrt{y}}$

5. Verificamos que integre uno. $\displaystyle\int_{0}^{9} \dfrac{dy}{6 \sqrt{y}} = \left[\dfrac{\sqrt{y}}{3}\right]_{0}^{9} = \dfrac{3}{3} = 1$

6. Notamos qué cambió. La densidad de $X$ era constante y la de $Y$ no lo es: crece sin límite cerca de cero. Una transformación no lineal deforma la densidad, aunque la de partida fuera plana.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{6 \sqrt{y}}$ en $(0; 9]$

2. Despejamos la inversa y su derivada. $x = \dfrac{y}{2}$, así que $J = \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{2}$, ya positivo.

3. Aplicamos la fórmula. $f_Y(y) = f_X\left(\dfrac{y}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = 3 e^{-3 y / 2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} e^{-\frac{3}{2} y}$

4. Reconocemos la distribución. Es una exponencial de parámetro $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$. Multiplicar una exponencial por una constante positiva da otra exponencial con la tasa dividida.

5. Verificamos que integre uno. $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{3}{2} e^{-\frac{3}{2} y} dy = 1$, porque es la densidad de una exponencial con ese parámetro.

6. Verificamos con la esperanza. $E(Y) = 2 \cdot E(X) = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \approx 0{,}6667$, que coincide con $\dfrac{1}{3/2} \approx 0{,}6667$, la media de la nueva exponencial.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{3}{2} e^{-\frac{3}{2} y}$: exponencial de parámetro $1{,}5$

2. Hallamos el recorrido de $Y$. Cuando $x$ va de $0$ a $5$, $y = 5x + 3$ va de $3$ a $28$.

3. Escribimos la acumulada de $Y$. $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(5X + 3 \leq y) = P\left(X \leq \dfrac{y - 3}{5}\right) = F_X\left(\dfrac{y - 3}{5}\right)$

4. Reemplazamos la acumulada de $X$. Para $x$ en el rango, $F_X(x) = \dfrac{x}{5}$, así que $F_Y(y) = \dfrac{y - 3}{5 \cdot 5} = \dfrac{y - 3}{25}$.

5. Derivamos para obtener la densidad. $f_Y(y) = \dfrac{1}{25}$ para $3 \leq y \leq 28$, y $0$ fuera.

6. Verificamos que sea una densidad. El área es $\dfrac{28 - 3}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$. $Y$ quedó uniforme en $[3; 28]$: una transformación lineal de una uniforme sigue siendo uniforme.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{25}$ en $[3; 28]$: $Y$ es uniforme en ese intervalo

2. Despejamos la inversa. De $y = -4x + 8$ sale $x = \dfrac{8 - y}{4}$.

3. Calculamos el Jacobiano. $J = \dfrac{dx}{dy} = -\dfrac{1}{4}$, que es negativo porque la transformación es decreciente.

4. Tomamos valor absoluto. $|J| = \dfrac{1}{4}$. Sin el módulo la densidad saldría negativa, y eso no existe: el Jacobiano mide cuánto se estira el espacio, y un estiramiento no puede ser negativo.

5. Armamos la densidad. $f_Y(y) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}$, y el recorrido de $Y$ va de $0$ a $8$.

6. Verificamos. $\dfrac{8 - 0}{8} = 1$: el área vale uno. La transformación dio vuelta el intervalo pero la densidad quedó igual de plana.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{8}$ en $[0; 8]$, con $|J| = \dfrac{1}{4}$

2. Escribimos la acumulada. $F_Y(y) = P(X^{2} \leq y) = P(X \leq \sqrt{y})$, válido porque en el rango $X$ no toma valores negativos.

3. Reemplazamos. $F_Y(y) = \dfrac{\sqrt{y}}{2}$ para $0 \leq y \leq 4$.

4. Derivamos. $f_Y(y) = \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{\sqrt{y}}{2}\right) = \dfrac{1}{2 \cdot 2 \sqrt{y}} = \dfrac{1}{4 \sqrt{y}}$

5. Verificamos que integre uno. $\displaystyle\int_{0}^{4} \dfrac{dy}{4 \sqrt{y}} = \left[\dfrac{\sqrt{y}}{2}\right]_{0}^{4} = \dfrac{2}{2} = 1$

6. Notamos qué cambió. La densidad de $X$ era constante y la de $Y$ no lo es: crece sin límite cerca de cero. Una transformación no lineal deforma la densidad, aunque la de partida fuera plana.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{1}{4 \sqrt{y}}$ en $(0; 4]$

2. Despejamos la inversa y su derivada. $x = \dfrac{y}{3}$, así que $J = \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{3}$, ya positivo.

3. Aplicamos la fórmula. $f_Y(y) = f_X\left(\dfrac{y}{3}\right) \cdot \dfrac{1}{3} = 4 e^{-4 y / 3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} e^{-\frac{4}{3} y}$

4. Reconocemos la distribución. Es una exponencial de parámetro $\dfrac{4}{3} \approx 1{,}3333$. Multiplicar una exponencial por una constante positiva da otra exponencial con la tasa dividida.

5. Verificamos que integre uno. $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{4}{3} e^{-\frac{4}{3} y} dy = 1$, porque es la densidad de una exponencial con ese parámetro.

6. Verificamos con la esperanza. $E(Y) = 3 \cdot E(X) = 3 \cdot \dfrac{1}{4} = 0{,}75$, que coincide con $\dfrac{1}{4/3} = 0{,}75$, la media de la nueva exponencial.

Respuesta: $f_Y(y) = \dfrac{4}{3} e^{-\frac{4}{3} y}$: exponencial de parámetro $1{,}3333$