Integradores de Anexo para Ingeniería

1.

El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{2}$ en el intervalo $[0; 2]$ y cero fuera. Se registraron cinco jornadas de observación: $2$ ; $3$ ; $4$ ; $3$ ; $3$ . Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $2$ y $3$ , y en $10$ ensayos hubo $7$ éxitos. Las frecuencias observadas por categoría fueron: A: $30$ · B: $20$ · C: $25$ · D: $25$ .

a)Si el costo de la puesta en marcha es $Y = 3x + 1$ , hallá la densidad de $Y$ por el método del Jacobiano.
b)Estimá por máxima verosimilitud el parámetro de la Poisson que modela esas jornadas.
c)Calculá los parámetros de la distribución posterior y su media.
d)Contrastá al $5$ por ciento si las categorías se reparten de forma pareja.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $3x + 1$ vale $3$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 3x + 1$ sale $x = \dfrac{y - 1}{3}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{3}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[0; 2]$ se transforma en $[1; 7]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{6}$ entre $1$ y $7$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la Poisson evaluada en cada uno de los $5$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada de la log verosimilitud se anula cuando el parámetro es el promedio de los datos: $\dfrac{15}{5} = 3$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $3$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $2$ y $3$ , con media $\dfrac{2}{5} \approx 0{,}4$ . En $10$ ensayos hubo $7$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{7}{10} \approx 0{,}7$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $2 + 7 = 9$ y $3 + 10 - 7 = 6$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{9}{9 + 6} = \dfrac{3}{5} \approx 0{,}6$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}4$ y la proporción observada $0{,}7$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $9$ y $6$ , con media $\dfrac{3}{5} \approx 0{,}6$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{4}$ del total, o sea $\dfrac{100}{4} = 25$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $25$ dividido por $25$ , y el total da $2 \approx 2$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $4 - 1 = 3$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $3$ grados de libertad es $7{,}81$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $2 \approx 2$ con $3$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Transformación de variables y el método del Jacobiano · Estimación por máxima verosimilitud · Análisis bayesiano · Test de bondad de ajuste

2.

El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{4}$ en el intervalo $[0; 4]$ y cero fuera. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(0; 1)$ : $0{,}15$ · $(0; 2)$ : $0{,}25$ · $(1; 1)$ : $0{,}35$ · $(1; 2)$ : $0{,}25$ . Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $3$ y $2$ , y en $12$ ensayos hubo $9$ éxitos. Las frecuencias observadas por categoría fueron: norte: $42$ · sur: $33$ · este: $45$ .

a)Transformá la variable con $Y = 2x + 3$ y escribí la densidad resultante.
b)Calculá la esperanza condicional de $Y$ dado que $X$ toma su primer valor.
c)Actualizá la previa con los datos y escribí la posterior y su media.
d)Decidí al $5$ por ciento si el reparto entre categorías es uniforme.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $2x + 3$ vale $2$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 2x + 3$ sale $x = \dfrac{y - 3}{2}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{2}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[0; 4]$ se transforma en $[3; 11]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{8}$ entre $3$ y $11$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la fila que corresponde. Se toma la fila de $X = 0$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa fila queda $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $Y$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}4$ : queda $\dfrac{13}{8} \approx 1{,}625$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $Y$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $X$ vale $0$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $\dfrac{13}{8} \approx 1{,}625$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $3$ y $2$ , con media $\dfrac{3}{5} \approx 0{,}6$ . En $12$ ensayos hubo $9$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{3}{4} \approx 0{,}75$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $3 + 9 = 12$ y $2 + 12 - 9 = 5$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{12}{12 + 5} = \dfrac{12}{17} \approx 0{,}7059$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}6$ y la proporción observada $0{,}75$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $12$ y $5$ , con media $\dfrac{12}{17} \approx 0{,}7059$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{3}$ del total, o sea $\dfrac{120}{3} = 40$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $40$ dividido por $40$ , y el total da $\dfrac{39}{20} \approx 1{,}95$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $3 - 1 = 2$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $2$ grados de libertad es $5{,}99$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{39}{20} \approx 1{,}95$ con $2$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Transformación de variables y el método del Jacobiano · Esperanza condicional y predicción · Análisis bayesiano · Test de bondad de ajuste

3.

El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{5}$ en el intervalo $[0; 5]$ y cero fuera. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(1; 0)$ : $0{,}3$ · $(1; 1)$ : $0{,}2$ · $(2; 0)$ : $0{,}1$ · $(2; 1)$ : $0{,}4$ . Se registraron cinco jornadas de observación: $4$ ; $5$ ; $6$ ; $5$ ; $5$ . Las frecuencias observadas por categoría fueron: I: $28$ · II: $22$ · III: $26$ · IV: $24$ .

a)Obtené la densidad de $Y = 4x + 2$ usando el método del Jacobiano.
b)Obtené el valor esperado de $Y$ cuando $X$ toma su segundo valor.
c)Con esos registros, obtené el estimador de máxima verosimilitud del parámetro de la Poisson.
d)Poné a prueba al $5$ por ciento la hipótesis de reparto uniforme entre categorías.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $4x + 2$ vale $4$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 4x + 2$ sale $x = \dfrac{y - 2}{4}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{4}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{20}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[0; 5]$ se transforma en $[2; 22]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{20}$ entre $2$ y $22$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la fila que corresponde. Se toma la fila de $X = 2$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa fila queda $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $Y$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}5$ : queda $\dfrac{4}{5} \approx 0{,}8$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $Y$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $X$ vale $2$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $\dfrac{4}{5} \approx 0{,}8$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la Poisson evaluada en cada uno de los $5$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada de la log verosimilitud se anula cuando el parámetro es el promedio de los datos: $\dfrac{25}{5} = 5$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $5$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{4}$ del total, o sea $\dfrac{100}{4} = 25$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $25$ dividido por $25$ , y el total da $\dfrac{4}{5} \approx 0{,}8$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $4 - 1 = 3$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $3$ grados de libertad es $7{,}81$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{4}{5} \approx 0{,}8$ con $3$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Transformación de variables y el método del Jacobiano · Esperanza condicional y predicción · Estimación por máxima verosimilitud · Test de bondad de ajuste

4.

El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{3}$ en el intervalo $[0; 3]$ y cero fuera. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(0; 0)$ : $0{,}1$ · $(0; 1)$ : $0{,}2$ · $(0; 2)$ : $0{,}2$ · $(1; 0)$ : $0{,}2$ · $(1; 1)$ : $0{,}1$ · $(1; 2)$ : $0{,}2$ . Se registraron cuatro jornadas de observación: $3$ ; $4$ ; $5$ ; $4$ . Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $2$ y $2$ , y en $15$ ensayos hubo $6$ éxitos.

a)Con el cambio de variable $Y = 5x + 1$ , deduci la densidad de $Y$ .
b)Calculá cuánto vale $E(X)$ condicionado a que $Y$ toma su primer valor.
c)Aplicá el método de máxima verosimilitud para estimar el parámetro de la exponencial.
d)Obtené la posterior que resulta de combinar la previa con lo observado, y su media.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $5x + 1$ vale $5$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 5x + 1$ sale $x = \dfrac{y - 1}{5}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{5}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[0; 3]$ se transforma en $[1; 16]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{15}$ entre $1$ y $16$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la columna que corresponde. Se toma la columna de $Y = 0$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa columna queda $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $X$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}3$ : queda $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $X$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $Y$ vale $0$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la exponencial evaluada en cada uno de los $4$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada se anula cuando el parámetro es la inversa del promedio: $\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $\dfrac{1}{4} \approx 0{,}25$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $2$ y $2$ , con media $\dfrac{1}{2} \approx 0{,}5$ . En $15$ ensayos hubo $6$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{2}{5} \approx 0{,}4$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $2 + 6 = 8$ y $2 + 15 - 6 = 11$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{8}{8 + 11} = \dfrac{8}{19} \approx 0{,}4211$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}5$ y la proporción observada $0{,}4$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $8$ y $11$ , con media $\dfrac{8}{19} \approx 0{,}4211$

Repasá: Transformación de variables y el método del Jacobiano · Esperanza condicional y predicción · Estimación por máxima verosimilitud · Análisis bayesiano

5.

Se registraron cinco jornadas de observación: $5$ ; $6$ ; $7$ ; $6$ ; $6$ . Las fallas de un horno industrial ocurren según un proceso de Poisson cuya tasa hay que estimar. Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $4$ y $2$ , y en $18$ ensayos hubo $11$ éxitos. Las frecuencias observadas por categoría fueron: leve: $47$ · media: $29$ · grave: $34$ .

a)Escribí la log verosimilitud de la Poisson sobre esos datos y despejá el estimador.
b)Calculá la probabilidad de que en $1$ horas no ocurra ninguna falla.
c)Escribí los dos parámetros de la posterior y calculá el valor esperado a posteriori.
d)Contrastá con un chi cuadrado al $5$ por ciento si todas las categorías son igualmente frecuentes.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la Poisson evaluada en cada uno de los $5$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada de la log verosimilitud se anula cuando el parámetro es el promedio de los datos: $\dfrac{30}{5} = 6$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $6$

b)

1. Tomamos la tasa estimada en a). El proceso no trae la tasa declarada: se usa la estimación de a), $\lambda = 6$ .

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $1$ hora el proceso tiene parámetro $\lambda t = 6 \cdot 1 = 6$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $0$ eventos es la tasa escalada elevada a $0$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $0$ .

4. Calculamos. Queda $e^{-6} \approx 0{,}0025$ .

Respuesta: la probabilidad es $e^{-6} \approx 0{,}0025$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $4$ y $2$ , con media $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$ . En $18$ ensayos hubo $11$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{11}{18} \approx 0{,}6111$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $4 + 11 = 15$ y $2 + 18 - 11 = 9$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{15}{15 + 9} = \dfrac{5}{8} \approx 0{,}625$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}6667$ y la proporción observada $0{,}6111$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $15$ y $9$ , con media $\dfrac{5}{8} \approx 0{,}625$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{3}$ del total, o sea $\dfrac{110}{3} = \dfrac{110}{3}$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $\dfrac{110}{3}$ dividido por $\dfrac{110}{3}$ , y el total da $\dfrac{259}{55} \approx 4{,}7091$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $3 - 1 = 2$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $2$ grados de libertad es $5{,}99$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{259}{55} \approx 4{,}7091$ con $2$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Estimación por máxima verosimilitud · Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Análisis bayesiano · Test de bondad de ajuste

6.

Las fallas de un motor de tracción ocurren según un proceso de Poisson con $\lambda = \dfrac{2}{3}$ por hora. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(1; 0)$ : $0{,}2$ · $(1; 1)$ : $0{,}2$ · $(1; 2)$ : $0{,}1$ · $(2; 0)$ : $0{,}1$ · $(2; 1)$ : $0{,}2$ · $(2; 2)$ : $0{,}2$ . Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $1$ y $3$ , y en $16$ ensayos hubo $5$ éxitos. Las frecuencias observadas por categoría fueron: P: $33$ · Q: $27$ · R: $21$ · S: $39$ .

a)Calculá la probabilidad de que en $3$ horas ocurra exactamente una falla.
b)Determiná la esperanza de $X$ dado que $Y$ toma su segundo valor.
c)Combiná previa y datos para obtener la posterior, y calculá su media.
d)Evaluá al $5$ por ciento si los datos son compatibles con un reparto parejo.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $3$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $1$ eventos es la tasa escalada elevada a $1$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $1$ .

4. Calculamos. Queda $\dfrac{2}{e^{2}} \approx 0{,}2707$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{2}{e^{2}} \approx 0{,}2707$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la columna que corresponde. Se toma la columna de $Y = 1$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa columna queda $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $X$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}4$ : queda $\dfrac{3}{2} \approx 1{,}5$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $X$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $Y$ vale $1$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $\dfrac{3}{2} \approx 1{,}5$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $1$ y $3$ , con media $\dfrac{1}{4} \approx 0{,}25$ . En $16$ ensayos hubo $5$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{5}{16} \approx 0{,}3125$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $1 + 5 = 6$ y $3 + 16 - 5 = 14$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{6}{6 + 14} = \dfrac{3}{10} \approx 0{,}3$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}25$ y la proporción observada $0{,}3125$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $6$ y $14$ , con media $\dfrac{3}{10} \approx 0{,}3$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{4}$ del total, o sea $\dfrac{120}{4} = 30$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $30$ dividido por $30$ , y el total da $6 \approx 6$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $4 - 1 = 3$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $3$ grados de libertad es $7{,}81$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $6 \approx 6$ con $3$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Esperanza condicional y predicción · Análisis bayesiano · Test de bondad de ajuste

7.

Se registraron cinco jornadas de observación: $1$ ; $2$ ; $3$ ; $2$ ; $2$ . Las fallas de una caldera ocurren según un proceso de Poisson cuya tasa hay que estimar. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(0; 2)$ : $0{,}4$ · $(0; 3)$ : $0{,}1$ · $(1; 2)$ : $0{,}2$ · $(1; 3)$ : $0{,}3$ . Las frecuencias observadas por categoría fueron: mañana: $41$ · tarde: $36$ · noche: $43$ .

a)Hallá el valor del parámetro de la Poisson que hace máxima la verosimilitud de lo observado.
b)Obtené la probabilidad de que el proceso registre exactamente dos fallas en $2$ horas.
c)Escribí la predicción de $Y$ que corresponde al primer valor de $X$ .
d)Aplicá el test de bondad de ajuste al $5$ por ciento contra el modelo uniforme.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la Poisson evaluada en cada uno de los $5$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada de la log verosimilitud se anula cuando el parámetro es el promedio de los datos: $\dfrac{10}{5} = 2$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $2$

b)

1. Tomamos la tasa estimada en a). El proceso no trae la tasa declarada: se usa la estimación de a), $\lambda = 2$ .

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $2$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = 2 \cdot 2 = 4$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $2$ eventos es la tasa escalada elevada a $2$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $2$ .

4. Calculamos. Queda $\dfrac{8}{e^{4}} \approx 0{,}1465$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{8}{e^{4}} \approx 0{,}1465$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la fila que corresponde. Se toma la fila de $X = 0$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa fila queda $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $Y$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}5$ : queda $\dfrac{11}{5} \approx 2{,}2$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $Y$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $X$ vale $0$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $\dfrac{11}{5} \approx 2{,}2$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{3}$ del total, o sea $\dfrac{120}{3} = 40$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $40$ dividido por $40$ , y el total da $\dfrac{13}{20} \approx 0{,}65$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $3 - 1 = 2$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $2$ grados de libertad es $5{,}99$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{13}{20} \approx 0{,}65$ con $2$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Estimación por máxima verosimilitud · Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Esperanza condicional y predicción · Test de bondad de ajuste

8.

Se registraron cuatro jornadas de observación: $2$ ; $4$ ; $6$ ; $4$ . Las fallas de una válvula de seguridad ocurren según un proceso de Poisson cuya tasa hay que estimar. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(0; 0)$ : $0{,}1$ · $(0; 1)$ : $0{,}3$ · $(0; 2)$ : $0{,}1$ · $(3; 0)$ : $0{,}2$ · $(3; 1)$ : $0{,}1$ · $(3; 2)$ : $0{,}2$ . Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $2$ y $4$ , y en $22$ ensayos hubo $8$ éxitos.

a)Estimá el parámetro de la exponencial maximizando la verosimilitud de las jornadas registradas.
b)Escribí la probabilidad de que no haya ninguna falla a lo largo de $8$ horas.
c)Escribí qué valor de $Y$ se predice cuando $X$ toma su segundo valor.
d)Determiná la distribución posterior de la proporción y su media.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la exponencial evaluada en cada uno de los $4$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada se anula cuando el parámetro es la inversa del promedio: $\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $\dfrac{1}{4} \approx 0{,}25$

b)

1. Tomamos la tasa estimada en a). El proceso no trae la tasa declarada: se usa la estimación de a), $\lambda = \dfrac{1}{4}$ .

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $8$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = \dfrac{1}{4} \cdot 8 = 2$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $0$ eventos es la tasa escalada elevada a $0$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $0$ .

4. Calculamos. Queda $e^{-2} \approx 0{,}1353$ .

Respuesta: la probabilidad es $e^{-2} \approx 0{,}1353$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la fila que corresponde. Se toma la fila de $X = 3$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa fila queda $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $Y$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}5$ : queda $1 \approx 1$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $Y$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $X$ vale $3$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $1 \approx 1$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $2$ y $4$ , con media $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$ . En $22$ ensayos hubo $8$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{4}{11} \approx 0{,}3636$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $2 + 8 = 10$ y $4 + 22 - 8 = 18$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{10}{10 + 18} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}3571$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}3333$ y la proporción observada $0{,}3636$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $10$ y $18$ , con media $\dfrac{5}{14} \approx 0{,}3571$

Repasá: Estimación por máxima verosimilitud · Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Esperanza condicional y predicción · Análisis bayesiano

9.

Se registraron cinco jornadas de observación: $1$ ; $2$ ; $1$ ; $2$ ; $4$ . Las fallas de un generador de respaldo ocurren según un proceso de Poisson cuya tasa hay que estimar. El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{2}$ en el intervalo $[1; 3]$ y cero fuera. Las frecuencias observadas por categoría fueron: E: $36$ · F: $24$ · G: $30$ · H: $30$ .

a)Derivá la log verosimilitud de la Poisson y encontrá el estimador.
b)Determiná con qué probabilidad se cuenta exactamente una falla en un lapso de $3$ horas.
c)Aplicá el método del Jacobiano a $Y = 4x + 3$ y escribí la densidad que queda.
d)Decidí, con un chi cuadrado al $5$ por ciento, si las categorías tienen la misma probabilidad.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la Poisson evaluada en cada uno de los $5$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada de la log verosimilitud se anula cuando el parámetro es el promedio de los datos: $\dfrac{10}{5} = 2$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $2$

b)

1. Tomamos la tasa estimada en a). El proceso no trae la tasa declarada: se usa la estimación de a), $\lambda = 2$ .

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $3$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = 2 \cdot 3 = 6$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $1$ eventos es la tasa escalada elevada a $1$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $1$ .

4. Calculamos. Queda $\dfrac{6}{e^{6}} \approx 0{,}0149$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{6}{e^{6}} \approx 0{,}0149$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $4x + 3$ vale $4$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 4x + 3$ sale $x = \dfrac{y - 3}{4}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{4}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[1; 3]$ se transforma en $[7; 15]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{8}$ entre $7$ y $15$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{4}$ del total, o sea $\dfrac{120}{4} = 30$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $30$ dividido por $30$ , y el total da $\dfrac{12}{5} \approx 2{,}4$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $4 - 1 = 3$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $3$ grados de libertad es $7{,}81$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{12}{5} \approx 2{,}4$ con $3$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Estimación por máxima verosimilitud · Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Transformación de variables y el método del Jacobiano · Test de bondad de ajuste

10.

Se registraron cuatro jornadas de observación: $4$ ; $8$ ; $12$ ; $8$ . Las fallas de una prensa hidráulica ocurren según un proceso de Poisson cuya tasa hay que estimar. El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{4}$ en el intervalo $[2; 6]$ y cero fuera. Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $1$ y $2$ , y en $30$ ensayos hubo $12$ éxitos.

a)Obtené, maximizando la verosimilitud, el parámetro de la exponencial que ajusta esos registros.
b)Calculá qué tan probable es observar dos fallas en un intervalo de $8$ horas.
c)Escribí la densidad de la variable transformada $Y = 3x + 2$ .
d)Calculá la posterior de la proporción y el valor que se espera a posteriori.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escribimos la verosimilitud. Es el producto de la densidad de la exponencial evaluada en cada uno de los $4$ datos, mirado como función del parámetro y no de los datos.

3. Pasamos al logaritmo. Tomar logaritmo convierte el producto en suma y no cambia dónde está el máximo, porque el logaritmo es creciente.

4. Derivamos e igualamos a cero. La derivada se anula cuando el parámetro es la inversa del promedio: $\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ .

5. Verificamos que sea un máximo. La derivada segunda de la log verosimilitud da negativa en ese punto, así que es un máximo y no un mínimo. Sin ese chequeo el estimador podría estar al revés.

Respuesta: el estimador de máxima verosimilitud vale $\dfrac{1}{8} \approx 0{,}125$

b)

1. Tomamos la tasa estimada en a). El proceso no trae la tasa declarada: se usa la estimación de a), $\lambda = \dfrac{1}{8}$ .

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $8$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = \dfrac{1}{8} \cdot 8 = 1$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $2$ eventos es la tasa escalada elevada a $2$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $2$ .

4. Calculamos. Queda $\dfrac{1}{2 e} \approx 0{,}1839$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{1}{2 e} \approx 0{,}1839$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $3x + 2$ vale $3$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 3x + 2$ sale $x = \dfrac{y - 2}{3}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{3}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[2; 6]$ se transforma en $[8; 20]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{12}$ entre $8$ y $20$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $1$ y $2$ , con media $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$ . En $30$ ensayos hubo $12$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{2}{5} \approx 0{,}4$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $1 + 12 = 13$ y $2 + 30 - 12 = 20$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{13}{13 + 20} = \dfrac{13}{33} \approx 0{,}3939$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}3333$ y la proporción observada $0{,}4$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $13$ y $20$ , con media $\dfrac{13}{33} \approx 0{,}3939$

Repasá: Estimación por máxima verosimilitud · Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Transformación de variables y el método del Jacobiano · Análisis bayesiano

11.

Las fallas de una torre de enfriamiento ocurren según un proceso de Poisson con $\lambda = \dfrac{3}{4}$ por hora. El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{6}$ en el intervalo $[1; 7]$ y cero fuera. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(0; 0)$ : $0{,}3$ · $(0; 2)$ : $0{,}3$ · $(5; 0)$ : $0{,}2$ · $(5; 2)$ : $0{,}2$ . Las frecuencias observadas por categoría fueron: A1: $31$ · A2: $29$ · A3: $23$ · A4: $37$ .

a)Hallá la probabilidad de que el intervalo de $4$ horas transcurra sin fallas.
b)Deduci por el Jacobiano cuál es la densidad de $Y = 2x + 9$ .
c)Calculá la esperanza de $X$ condicionada al primer valor de $Y$ .
d)Contrastá si el reparto observado se aparta del uniforme, al $5$ por ciento.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $4$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = \dfrac{3}{4} \cdot 4 = 3$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $0$ eventos es la tasa escalada elevada a $0$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $0$ .

4. Calculamos. Queda $e^{-3} \approx 0{,}0498$ .

Respuesta: la probabilidad es $e^{-3} \approx 0{,}0498$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $2x + 9$ vale $2$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 2x + 9$ sale $x = \dfrac{y - 9}{2}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{2}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[1; 7]$ se transforma en $[11; 23]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{12}$ entre $11$ y $23$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la columna que corresponde. Se toma la columna de $Y = 0$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa columna queda $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $X$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}5$ : queda $2 \approx 2$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $X$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $Y$ vale $0$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $2 \approx 2$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo reparto uniforme cada categoría se lleva $\dfrac{1}{4}$ del total, o sea $\dfrac{120}{4} = 30$ casos, bastante por encima de cinco.

3. Sumamos los aportes. Cada categoría aporta el cuadrado de su diferencia contra $30$ dividido por $30$ , y el total da $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}3333$ .

4. Contamos los grados de libertad. Son $4 - 1 = 3$ . No se descuenta ningún parámetro más porque el modelo uniforme no se estimó de los datos: si se hubiera estimado alguno, habría un grado de libertad menos.

5. Decidimos. El crítico al $5$ por ciento con $3$ grados de libertad es $7{,}81$ , y el estadístico no lo alcanza: no se rechaza el reparto uniforme.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}3333$ con $3$ grados de libertad y no se rechaza

Repasá: Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Transformación de variables y el método del Jacobiano · Esperanza condicional y predicción · Test de bondad de ajuste

12.

Las fallas de un tablero de control ocurren según un proceso de Poisson con $\lambda = \dfrac{5}{3}$ por hora. El tiempo de puesta en marcha, en horas, tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{5}$ en el intervalo $[2; 7]$ y cero fuera. La conjunta de la cantidad de paradas $X$ y la de reclamos $Y$ vale, celda por celda: $(1; 2)$ : $0{,}15$ · $(1; 5)$ : $0{,}35$ · $(4; 2)$ : $0{,}35$ · $(4; 5)$ : $0{,}15$ . Sobre la proporción de jornadas sin incidentes se toma una previa Beta de parámetros $4$ y $4$ , y en $28$ ensayos hubo $21$ éxitos.

a)Calculá la probabilidad de registrar una sola falla durante $3$ horas.
b)Hallá qué densidad tiene $Y = 5x + 3$ después de la transformación.
c)Obtené la mejor predicción de $X$ sabiendo que $Y$ tomó su segundo valor.
d)Actualizá la creencia previa con los ensayos y escribí la media posterior.

Ver solución

a)

1. Ubicamos el dato del enunciado. El contexto trae todo lo que hace falta para esta consigna, así que se arranca de ahí.

2. Escalamos la tasa al intervalo. En $3$ horas el proceso tiene parámetro $\lambda t = \dfrac{5}{3} \cdot 3 = 5$ . Usar $\lambda$ sin escalar es el error del subtema: la tasa está por hora y el intervalo no mide una hora.

3. Aplicamos la fórmula de la Poisson. La probabilidad de $1$ eventos es la tasa escalada elevada a $1$ , por la exponencial de menos esa tasa, sobre el factorial de $1$ .

4. Calculamos. Queda $\dfrac{5}{e^{5}} \approx 0{,}0337$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{5}{e^{5}} \approx 0{,}0337$

b)

1. Retomamos lo hecho en a). El resultado de a) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Chequeamos que la transformación sea monótona. La derivada de $5x + 3$ vale $5$ , positiva en todo el soporte, así que la función es estrictamente creciente y tiene inversa única. Sin eso la fórmula de una sola rama no vale.

3. Escribimos la inversa y su derivada. De $y = 5x + 3$ sale $x = \dfrac{y - 3}{5}$ , cuya derivada respecto de $y$ vale $\dfrac{1}{5}$ .

4. Armamos la densidad transformada. Se evalúa la densidad original en la inversa y se multiplica por el módulo de esa derivada: $\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25}$ .

5. Escribimos el soporte. El intervalo $[2; 7]$ se transforma en $[13; 38]$ , y sobre ese tramo la densidad integra uno.

Respuesta: la densidad de $Y$ vale $\dfrac{1}{25}$ entre $13$ y $38$

c)

1. Retomamos lo hecho en b). El resultado de b) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Aislamos la columna que corresponde. Se toma la columna de $Y = 5$ , que es la única compatible con la condición.

3. Calculamos la marginal del condicionante. Sumando esa columna queda $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , que va como denominador.

4. Ponderamos y dividimos. Cada valor de $X$ se pesa por su probabilidad conjunta y el total se divide por $0{,}5$ : queda $\dfrac{19}{10} \approx 1{,}9$ .

5. Anotamos qué es este número. Es la mejor predicción de $X$ en el sentido del error cuadrático medio cuando se sabe que $Y$ vale $5$ .

Respuesta: la esperanza condicional vale $\dfrac{19}{10} \approx 1{,}9$

d)

1. Retomamos lo hecho en c). El resultado de c) queda fijado y esta consigna trabaja sobre otra pieza del mismo escenario, con el mismo conjunto de datos.

2. Escribimos la previa y los datos. La previa es Beta de parámetros $4$ y $4$ , con media $\dfrac{1}{2} \approx 0{,}5$ . En $28$ ensayos hubo $21$ éxitos, o sea una proporción muestral de $\dfrac{3}{4} \approx 0{,}75$ .

3. Actualizamos. La Beta es conjugada de la binomial, así que la posterior es Beta con parámetros $4 + 21 = 25$ y $4 + 28 - 21 = 11$ .

4. Calculamos la media posterior. $\dfrac{25}{25 + 11} = \dfrac{25}{36} \approx 0{,}6944$ .

5. Controlamos el resultado. La media posterior queda entre la previa $0{,}5$ y la proporción observada $0{,}75$ , que es donde tiene que caer: los datos corren la creencia previa pero no la reemplazan.

Respuesta: la posterior es Beta de parámetros $25$ y $11$ , con media $\dfrac{25}{36} \approx 0{,}6944$

Repasá: Procesos de Poisson y la distribución Gamma · Transformación de variables y el método del Jacobiano · Esperanza condicional y predicción · Análisis bayesiano