Análisis bayesiano
El enfoque clásico trata al parámetro como un número fijo pero desconocido. El enfoque bayesiano lo trata como una variable aleatoria con su propia distribución, y esa es toda la diferencia de fondo.
Antes de ver los datos se describe lo que se cree sobre el parámetro con una distribución a priori. Esa creencia puede venir de estudios anteriores, de conocimiento del área, o ser deliberadamente poco informativa si no se sabe nada.
Después llegan los datos y se actualiza esa creencia con el teorema de Bayes. El resultado es la distribución a posteriori, que combina lo que se creía con lo que muestran los datos y es proporcional al producto entre la a priori y la verosimilitud.
El peso relativo de cada parte depende de la cantidad de datos. Con muestras chicas la a priori pesa mucho; con muestras grandes los datos dominan y la a priori casi no importa. Ese comportamiento es deseable.
Del posteriori sale todo lo demás. El estimador puntual suele ser su media o su moda, y el equivalente al intervalo de confianza es el intervalo de credibilidad, que tiene una interpretación más directa: la probabilidad de que el parámetro esté ahí adentro es la que se declara.
Ciertas combinaciones de a priori y verosimilitud dan un posteriori de la misma familia que la a priori, y se llaman conjugadas. Son las que se usan en los ejercicios porque salen sin integrar.
Cuando el enunciado da una distribución a priori del parámetro y datos observados. La posteriori es proporcional al producto de la verosimilitud por la priori: alcanza con reconocer la forma y normalizar al final.
Escribir la relación entre a priori, verosimilitud y posteriori.
Identificamos las tres piezas. La a priori describe la creencia antes de ver los datos.
La verosimilitud describe qué tan compatibles son los datos con cada valor del parámetro.
El teorema de Bayes las combina. El posteriori es proporcional al producto de las dos.
Notamos que la constante de proporcionalidad se ajusta al final para que el posteriori integre uno.
Respuesta: posteriori proporcional a verosimilitud por a priori
Explicar qué pasa con la influencia de la a priori al crecer la muestra.
Miramos la verosimilitud. Con más datos se vuelve más concentrada alrededor del valor que mejor los explica.
Miramos la a priori. No cambia con los datos: es siempre la misma.
Comparamos los pesos en el producto. La verosimilitud domina cada vez más.
Concluimos. El posteriori se parece cada vez más al resultado clásico.
Respuesta: la a priori pierde influencia y los datos dominan
Interpretar el intervalo de confianza clásico como probabilidad sobre el parámetro. Eso vale para el intervalo de credibilidad bayesiano, no para el otro.
Otros subtemas de Anexo para Ingeniería
- 1. Procesos de Poisson y la distribución Gamma
- 2. Transformación de variables y el método del Jacobiano
- 3. Esperanza condicional y predicción
- 4. Estimación por máxima verosimilitud
- 6. Test de bondad de ajuste
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