Ejercicios: Análisis bayesiano

1. Para la tasa de germinación de un lote se toma una a priori Beta $(4; 4)$ . Se observan $40$ semillas y $13$ cumplen la condición. Hallá la distribución a posteriori y su media.

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1. Escribimos el esquema bayesiano. $f(\theta \mid x) \propto f(x \mid \theta) \cdot f(\theta)$ : el posteriori es proporcional a la verosimilitud por la a priori.

2. Escribimos la verosimilitud. Con $13$ éxitos en $40$ ensayos: $f(x \mid p) \propto p^{13} (1 - p)^{27}$ .

3. Escribimos la a priori. Beta $(4; 4)$ : $f(p) \propto p^{3} (1 - p)^{3}$ .

4. Multiplicamos y reconocemos la forma. $f(p \mid x) \propto p^{13 + 3} (1 - p)^{27 + 3} = p^{16} (1 - p)^{30}$ , que es una Beta $(17; 31)$ .

5. Calculamos la media a posteriori. $E[p \mid x] = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} = \dfrac{17}{17 + 31} \approx 0{,}3542$

6. Comparamos los tres números. A priori $0{,}5$ , estimación de máxima verosimilitud $0{,}325$ , a posteriori $0{,}3542$ . La media a posteriori queda entre las otras dos: es un compromiso entre lo que se creía y lo que dicen los datos.

Respuesta: El posteriori es Beta $(17; 31)$ , con media $0{,}3542$

2. Con una a priori Beta $(6; 7)$ para la proporción de clientes que renuevan y datos de $4$ casos favorables en $15$ clientes, el posteriori es Beta $(10; 18)$ . Compará la creencia antes y después de ver los datos.

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1. Calculamos la media a priori. $\dfrac{6}{6 + 7} \approx 0{,}4615$ : lo que se creía antes de mirar los datos.

2. Calculamos la media a posteriori. $\dfrac{10}{10 + 18} \approx 0{,}3571$

3. Medimos cuánto se movió la creencia. De $0{,}4615$ a $0{,}3571$ : bajó $0{,}1044$ , empujada por los datos, que por sí solos sugieren $0{,}2667$ .

4. Calculamos las dos varianzas. A priori: $\dfrac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^{2} (\alpha + \beta + 1)} = 0{,}0178$ . A posteriori: $0{,}0079$ .

5. Interpretamos el cambio de dispersión. $0{,}0079 < 0{,}0178$ : después de ver los datos, la creencia está más concentrada. Los datos no solo mueven el centro, también reducen la incertidumbre.

6. Cómo se lee el resultado. El posteriori es una distribución completa sobre el parámetro, no un solo número. De ahí se puede sacar la media, un intervalo creíble, o cualquier probabilidad sobre el parámetro.

Respuesta: La media pasa de $0{,}4615$ a $0{,}3571$ y la varianza de $0{,}0178$ a $0{,}0079$

3. Con una a priori Beta $(3; 6)$ para la tasa de germinación de un lote, se observan muestras en las que la proporción de casos favorables es siempre $0{,}53$ , con $n = 10$ , $n = 100$ , $n = 1000$ . Calculá la media a posteriori en cada caso y describí el efecto del tamaño de muestra.

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1. Calculamos la media a priori. $\dfrac{3}{3 + 6} \approx 0{,}3333$ , la creencia de partida.

2. Escribimos la media a posteriori en general. $E[p \mid x] = \dfrac{\alpha + k}{\alpha + \beta + n}$ , con $k$ los casos favorables.

3. Calculamos los tres casos. $n = 10$ : $\dfrac{3 + 5}{9 + 10} \approx 0{,}4211$ · $n = 100$ : $\dfrac{3 + 53}{9 + 100} \approx 0{,}5138$ · $n = 1000$ : $\dfrac{3 + 530}{9 + 1000} \approx 0{,}5282$

4. Describimos la tendencia. Las medias van de $0{,}4211$ a $0{,}5282$ , acercándose cada vez más a $0{,}53$ , que es lo que dicen los datos.

5. Explicamos por qué. Los parámetros de la a priori funcionan como una muestra ficticia de $9$ observaciones. Con $n = 10$ esa muestra ficticia pesa mucho; con $n = 1000$ queda diluida.

6. La conclusión general. Con pocos datos la a priori manda, y con muchos datos casi no influye: el posteriori se acerca a la estimación clásica. Por eso la elección de la a priori importa sobre todo en muestras chicas.

Respuesta: Las medias a posteriori son $0{,}4211$ ; $0{,}5138$ ; $0{,}5282$ , cada vez más cerca de $0{,}53$

4. Evaluá esta afirmación sobre el enfoque bayesiano: «En el enfoque bayesiano el parámetro es una variable aleatoria con su propia distribución.»

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1. Escribimos la diferencia de fondo entre los dos enfoques. El clásico trata al parámetro como un número fijo desconocido. El bayesiano lo trata como una variable aleatoria con distribución propia.

2. Vemos qué habilita esa diferencia. Permite hacer afirmaciones de probabilidad directamente sobre el parámetro, cosa que en el enfoque clásico no tiene sentido.

3. Analizamos la afirmación. Acá esa es exactamente la diferencia de fondo con el enfoque clásico, donde el parámetro es un número fijo aunque desconocido.

4. Concluimos. La afirmación es correcta.

5. El esquema que resume el método. $f(\theta \mid x) \propto f(x \mid \theta) \cdot f(\theta)$ : la creencia previa se actualiza con lo que muestran los datos.

6. Lo que los dos enfoques comparten. La verosimilitud. La diferencia está en si se la usa sola, como en máxima verosimilitud, o combinada con una distribución previa sobre el parámetro.

Respuesta: Es correcta: esa es exactamente la diferencia de fondo con el enfoque clásico, donde el parámetro es un número fijo aunque desconocido

5. Para la proporción de piezas defectuosas se toma una a priori Beta $(5; 7)$ . Se observan $20$ piezas y $7$ cumplen la condición. Hallá la distribución a posteriori y su media.

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1. Escribimos el esquema bayesiano. $f(\theta \mid x) \propto f(x \mid \theta) \cdot f(\theta)$ : el posteriori es proporcional a la verosimilitud por la a priori.

2. Escribimos la verosimilitud. Con $7$ éxitos en $20$ ensayos: $f(x \mid p) \propto p^{7} (1 - p)^{13}$ .

3. Escribimos la a priori. Beta $(5; 7)$ : $f(p) \propto p^{4} (1 - p)^{6}$ .

4. Multiplicamos y reconocemos la forma. $f(p \mid x) \propto p^{7 + 4} (1 - p)^{13 + 6} = p^{11} (1 - p)^{19}$ , que es una Beta $(12; 20)$ .

5. Calculamos la media a posteriori. $E[p \mid x] = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} = \dfrac{12}{12 + 20} = 0{,}375$

6. Comparamos los tres números. A priori $0{,}4167$ , estimación de máxima verosimilitud $0{,}35$ , a posteriori $0{,}375$ . La media a posteriori queda entre las otras dos: es un compromiso entre lo que se creía y lo que dicen los datos.

Respuesta: El posteriori es Beta $(12; 20)$ , con media $0{,}375$

6. Con una a priori Beta $(6; 7)$ para la proporción de piezas defectuosas y datos de $11$ casos favorables en $25$ piezas, el posteriori es Beta $(17; 21)$ . Compará la creencia antes y después de ver los datos.

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1. Calculamos la media a priori. $\dfrac{6}{6 + 7} \approx 0{,}4615$ : lo que se creía antes de mirar los datos.

2. Calculamos la media a posteriori. $\dfrac{17}{17 + 21} \approx 0{,}4474$

3. Medimos cuánto se movió la creencia. De $0{,}4615$ a $0{,}4474$ : bajó $0{,}0142$ , empujada por los datos, que por sí solos sugieren $0{,}44$ .

4. Calculamos las dos varianzas. A priori: $\dfrac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^{2} (\alpha + \beta + 1)} = 0{,}0178$ . A posteriori: $0{,}0063$ .

5. Interpretamos el cambio de dispersión. $0{,}0063 < 0{,}0178$ : después de ver los datos, la creencia está más concentrada. Los datos no solo mueven el centro, también reducen la incertidumbre.

6. Cómo se lee el resultado. El posteriori es una distribución completa sobre el parámetro, no un solo número. De ahí se puede sacar la media, un intervalo creíble, o cualquier probabilidad sobre el parámetro.

Respuesta: La media pasa de $0{,}4615$ a $0{,}4474$ y la varianza de $0{,}0178$ a $0{,}0063$

7. Con una a priori Beta $(5; 6)$ para la proporción de votantes de la opción A, se observan muestras en las que la proporción de casos favorables es siempre $0{,}33$ , con $n = 10$ , $n = 100$ , $n = 1000$ . Calculá la media a posteriori en cada caso y describí el efecto del tamaño de muestra.

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1. Calculamos la media a priori. $\dfrac{5}{5 + 6} \approx 0{,}4545$ , la creencia de partida.

2. Escribimos la media a posteriori en general. $E[p \mid x] = \dfrac{\alpha + k}{\alpha + \beta + n}$ , con $k$ los casos favorables.

3. Calculamos los tres casos. $n = 10$ : $\dfrac{5 + 3}{11 + 10} \approx 0{,}381$ · $n = 100$ : $\dfrac{5 + 33}{11 + 100} \approx 0{,}3423$ · $n = 1000$ : $\dfrac{5 + 330}{11 + 1000} \approx 0{,}3314$

4. Describimos la tendencia. Las medias van de $0{,}381$ a $0{,}3314$ , acercándose cada vez más a $0{,}33$ , que es lo que dicen los datos.

5. Explicamos por qué. Los parámetros de la a priori funcionan como una muestra ficticia de $11$ observaciones. Con $n = 10$ esa muestra ficticia pesa mucho; con $n = 1000$ queda diluida.

6. La conclusión general. Con pocos datos la a priori manda, y con muchos datos casi no influye: el posteriori se acerca a la estimación clásica. Por eso la elección de la a priori importa sobre todo en muestras chicas.

Respuesta: Las medias a posteriori son $0{,}381$ ; $0{,}3423$ ; $0{,}3314$ , cada vez más cerca de $0{,}33$

8. Evaluá esta afirmación sobre el enfoque bayesiano: «Un intervalo creíble del $95\%$ y un intervalo de confianza del $95\%$ significan lo mismo.»

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1. Escribimos la diferencia de fondo entre los dos enfoques. El clásico trata al parámetro como un número fijo desconocido. El bayesiano lo trata como una variable aleatoria con distribución propia.

2. Vemos qué habilita esa diferencia. Permite hacer afirmaciones de probabilidad directamente sobre el parámetro, cosa que en el enfoque clásico no tiene sentido.

3. Analizamos la afirmación. Acá el creíble sí admite decir que hay un $95\%$ de probabilidad de que el parámetro esté adentro, porque el parámetro tiene distribución. El de confianza no: ahí el $95\%$ describe al procedimiento.

4. Concluimos. La afirmación es incorrecta.

5. El esquema que resume el método. $f(\theta \mid x) \propto f(x \mid \theta) \cdot f(\theta)$ : la creencia previa se actualiza con lo que muestran los datos.

6. Lo que los dos enfoques comparten. La verosimilitud. La diferencia está en si se la usa sola, como en máxima verosimilitud, o combinada con una distribución previa sobre el parámetro.

Respuesta: Es incorrecta: el creíble sí admite decir que hay un $95\%$ de probabilidad de que el parámetro esté adentro, porque el parámetro tiene distribución. El de confianza no: ahí el $95\%$ describe al procedimiento

9. Para la proporción de clientes que renuevan se toma una a priori Beta $(2; 7)$ . Se observan $20$ clientes y $7$ cumplen la condición. Hallá la distribución a posteriori y su media.

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1. Escribimos el esquema bayesiano. $f(\theta \mid x) \propto f(x \mid \theta) \cdot f(\theta)$ : el posteriori es proporcional a la verosimilitud por la a priori.

2. Escribimos la verosimilitud. Con $7$ éxitos en $20$ ensayos: $f(x \mid p) \propto p^{7} (1 - p)^{13}$ .

3. Escribimos la a priori. Beta $(2; 7)$ : $f(p) \propto p^{1} (1 - p)^{6}$ .

4. Multiplicamos y reconocemos la forma. $f(p \mid x) \propto p^{7 + 1} (1 - p)^{13 + 6} = p^{8} (1 - p)^{19}$ , que es una Beta $(9; 20)$ .

5. Calculamos la media a posteriori. $E[p \mid x] = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} = \dfrac{9}{9 + 20} \approx 0{,}3103$

6. Comparamos los tres números. A priori $0{,}2222$ , estimación de máxima verosimilitud $0{,}35$ , a posteriori $0{,}3103$ . La media a posteriori queda entre las otras dos: es un compromiso entre lo que se creía y lo que dicen los datos.

Respuesta: El posteriori es Beta $(9; 20)$ , con media $0{,}3103$

10. Con una a priori Beta $(6; 4)$ para la tasa de germinación de un lote y datos de $4$ casos favorables en $15$ semillas, el posteriori es Beta $(10; 15)$ . Compará la creencia antes y después de ver los datos.

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1. Calculamos la media a priori. $\dfrac{6}{6 + 4} = 0{,}6$ : lo que se creía antes de mirar los datos.

2. Calculamos la media a posteriori. $\dfrac{10}{10 + 15} = 0{,}4$

3. Medimos cuánto se movió la creencia. De $0{,}6$ a $0{,}4$ : bajó $0{,}2$ , empujada por los datos, que por sí solos sugieren $0{,}2667$ .

4. Calculamos las dos varianzas. A priori: $\dfrac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^{2} (\alpha + \beta + 1)} = 0{,}0218$ . A posteriori: $0{,}0092$ .

5. Interpretamos el cambio de dispersión. $0{,}0092 < 0{,}0218$ : después de ver los datos, la creencia está más concentrada. Los datos no solo mueven el centro, también reducen la incertidumbre.

6. Cómo se lee el resultado. El posteriori es una distribución completa sobre el parámetro, no un solo número. De ahí se puede sacar la media, un intervalo creíble, o cualquier probabilidad sobre el parámetro.

Respuesta: La media pasa de $0{,}6$ a $0{,}4$ y la varianza de $0{,}0218$ a $0{,}0092$

11. Con una a priori Beta $(7; 6)$ para la proporción de piezas defectuosas, se observan muestras en las que la proporción de casos favorables es siempre $0{,}56$ , con $n = 10$ , $n = 100$ , $n = 1000$ . Calculá la media a posteriori en cada caso y describí el efecto del tamaño de muestra.

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1. Calculamos la media a priori. $\dfrac{7}{7 + 6} \approx 0{,}5385$ , la creencia de partida.

2. Escribimos la media a posteriori en general. $E[p \mid x] = \dfrac{\alpha + k}{\alpha + \beta + n}$ , con $k$ los casos favorables.

3. Calculamos los tres casos. $n = 10$ : $\dfrac{7 + 5}{13 + 10} \approx 0{,}5217$ · $n = 100$ : $\dfrac{7 + 56}{13 + 100} \approx 0{,}5575$ · $n = 1000$ : $\dfrac{7 + 560}{13 + 1000} \approx 0{,}5597$

4. Describimos la tendencia. Las medias van de $0{,}5217$ a $0{,}5597$ , acercándose cada vez más a $0{,}56$ , que es lo que dicen los datos.

5. Explicamos por qué. Los parámetros de la a priori funcionan como una muestra ficticia de $13$ observaciones. Con $n = 10$ esa muestra ficticia pesa mucho; con $n = 1000$ queda diluida.

6. La conclusión general. Con pocos datos la a priori manda, y con muchos datos casi no influye: el posteriori se acerca a la estimación clásica. Por eso la elección de la a priori importa sobre todo en muestras chicas.

Respuesta: Las medias a posteriori son $0{,}5217$ ; $0{,}5575$ ; $0{,}5597$ , cada vez más cerca de $0{,}56$

12. Evaluá esta afirmación sobre el enfoque bayesiano: «Elegir la a priori es arbitrario, así que el resultado bayesiano se puede manipular a gusto siempre.»

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1. Escribimos la diferencia de fondo entre los dos enfoques. El clásico trata al parámetro como un número fijo desconocido. El bayesiano lo trata como una variable aleatoria con distribución propia.

2. Vemos qué habilita esa diferencia. Permite hacer afirmaciones de probabilidad directamente sobre el parámetro, cosa que en el enfoque clásico no tiene sentido.

3. Analizamos la afirmación. Acá la a priori es una elección explícita que se puede discutir y someter a análisis de sensibilidad, y con muchos datos su influencia se vuelve despreciable.

4. Concluimos. La afirmación es incorrecta.

5. El esquema que resume el método. $f(\theta \mid x) \propto f(x \mid \theta) \cdot f(\theta)$ : la creencia previa se actualiza con lo que muestran los datos.

6. Lo que los dos enfoques comparten. La verosimilitud. La diferencia está en si se la usa sola, como en máxima verosimilitud, o combinada con una distribución previa sobre el parámetro.

Respuesta: Es incorrecta: la a priori es una elección explícita que se puede discutir y someter a análisis de sensibilidad, y con muchos datos su influencia se vuelve despreciable