Ejercicios: Test de bondad de ajuste

1. Se tiró un dado $180$ veces y las caras del $1$ al $6$ salieron $26$ ; $25$ ; $38$ ; $35$ ; $32$ ; $24$ veces. De tabla, el valor crítico al $5\%$ con $5$ grados de libertad es $11{,}0705$ . Decidí si el dado es equilibrado.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : las seis caras son igualmente probables. $H_1$ : al menos una no lo es.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo la nula cada cara tiene probabilidad $\dfrac{1}{6}$ , así que $E = \dfrac{180}{6} = 30$ para las seis.

3. Verificamos la condición. Todas las esperadas valen $30$ , muy por encima de $5$ : el test se puede aplicar.

4. Calculamos el estadístico. $\chi^{2} = \sum \dfrac{(O - E)^{2}}{E} = \dfrac{(26 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(25 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(38 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(35 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(32 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(24 - 30)^{2}}{30} = 5{,}6667$

5. Damos los grados de libertad. $k - 1 - p = 6 - 1 - 0 = 5$ . No se descuenta nada más porque no se estimó ningún parámetro de los datos: la distribución propuesta estaba completamente especificada.

6. Decidimos. $5{,}6667$ no supera a $11{,}0705$ , así que no se rechaza: los datos son compatibles con un dado equilibrado.

Respuesta: $\chi^{2} = 5{,}6667$ contra $11{,}0705$ con $5$ grados: no se rechaza el ajuste

2. Se probó el ajuste de una distribución a una muestra agrupada en $6$ clases, estimando $1$ parámetro a partir de los propios datos. El estadístico dio $10{,}678$ . De tabla, los valores críticos al $5\%$ son $9{,}4877$ con $4$ grados y $11{,}0705$ con $5$ . Decidí el test con los grados correctos.

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1. Escribimos la regla de los grados de libertad. $gl = k - 1 - p$ , con $k$ la cantidad de clases y $p$ la cantidad de parámetros estimados de los datos.

2. Calculamos. $gl = 6 - 1 - 1 = 4$ .

3. Explicamos por qué se descuenta. Cada parámetro estimado de la muestra hace que el modelo ya venga ajustado a esos mismos datos. El ajuste va a parecer mejor de lo que es, y descontar grados de libertad compensa ese efecto.

4. Decidimos con los grados correctos. $10{,}678$ supera a $9{,}4877$ : se rechaza el ajuste.

5. Vemos qué pasaría con los grados sin descontar. Con $5$ grados el crítico sería $11{,}0705$ , y la decisión sería no rechazar: la conclusión cambia.

6. En qué dirección se equivoca el error. Usar más grados de los que corresponde da un crítico más alto y hace más difícil rechazar: el modelo pasa el test con más facilidad de la que merece.

Respuesta: Con $gl = 4$ y crítico $9{,}4877$ : se rechaza el ajuste

3. Un modelo teórico predice que los casos se reparten en las categorías Bajo, Medio, Alto con probabilidades $0{,}25$ , $0{,}5$ y $0{,}25$ . En $80$ casos observados se contaron $17$ ; $40$ ; $23$ . De tabla, el crítico al $5\%$ con $2$ grados es $5{,}9915$ . Realizá el test de bondad de ajuste.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : los datos siguen el reparto propuesto. $H_1$ : no lo siguen.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo: $80 \cdot 0{,}25 = 20$ · Medio: $80 \cdot 0{,}5 = 40$ · Alto: $80 \cdot 0{,}25 = 20$ , que suman $80$ .

3. Verificamos la condición. La esperada más chica es $20$ , mayor que $5$ : el test se puede aplicar.

4. Calculamos el estadístico. $\dfrac{(17 - 20)^{2}}{20} + \dfrac{(40 - 40)^{2}}{40} + \dfrac{(23 - 20)^{2}}{20} = 0{,}9$

5. Damos los grados de libertad. $k - 1 - p = 3 - 1 - 0 = 2$ : no se estimó ningún parámetro, las probabilidades venían del modelo.

6. Decidimos. $0{,}9$ no supera a $5{,}9915$ , así que no se rechaza: los datos son compatibles con el reparto propuesto.

Respuesta: $\chi^{2} = 0{,}9$ contra $5{,}9915$ : no se rechaza el ajuste

4. Se quiere probar si la cantidad de fallas por turno sigue una Poisson de parámetro $1{,}2$ , con $100$ turnos observados agrupados en las clases $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ o más. Calculá las frecuencias esperadas y verificá si se cumple la condición del test.

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1. Calculamos las probabilidades de cada clase bajo el modelo. $P(X = 0) = 0{,}3012$ · $P(X = 1) = 0{,}3614$ · $P(X = 2) = 0{,}2169$ · $P(X = 3) = 0{,}0867$ · $P(X \geq 4) = 1 - 0{,}9662 = 0{,}0338$ .

2. Verificamos que sumen uno. $1$ , como corresponde: las clases cubren todos los valores posibles.

3. Calculamos las esperadas. $0$ : $100 \cdot 0{,}3012 \approx 30{,}1194$ · $1$ : $100 \cdot 0{,}3614 \approx 36{,}1433$ · $2$ : $100 \cdot 0{,}2169 \approx 21{,}686$ · $3$ : $100 \cdot 0{,}0867 \approx 8{,}6744$ · $4$ o más: $100 \cdot 0{,}0338 \approx 3{,}3769$

4. Revisamos la condición. $4$ o más: $3{,}3769$ , que no llegan a $5$ .

5. Decidimos cómo seguir. Hay que agrupar las clases con esperada chica con la vecina antes de calcular el estadístico. Al hacerlo baja la cantidad de clases, y con ella los grados de libertad.

6. Anotamos los grados de libertad que corresponderían. $k - 1 - p$ , con $p = 0$ si el parámetro $1{,}2$ viene de afuera, o $p = 1$ si se lo estimó con el promedio de los propios datos.

Respuesta: No se cumple en la clase $4$ o más, con $3{,}3769$ : hay que agrupar clases

5. Se tiró un dado $300$ veces y las caras del $1$ al $6$ salieron $42$ ; $48$ ; $43$ ; $50$ ; $46$ ; $71$ veces. De tabla, el valor crítico al $5\%$ con $5$ grados de libertad es $11{,}0705$ . Decidí si el dado es equilibrado.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : las seis caras son igualmente probables. $H_1$ : al menos una no lo es.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo la nula cada cara tiene probabilidad $\dfrac{1}{6}$ , así que $E = \dfrac{300}{6} = 50$ para las seis.

3. Verificamos la condición. Todas las esperadas valen $50$ , muy por encima de $5$ : el test se puede aplicar.

4. Calculamos el estadístico. $\chi^{2} = \sum \dfrac{(O - E)^{2}}{E} = \dfrac{(42 - 50)^{2}}{50} + \dfrac{(48 - 50)^{2}}{50} + \dfrac{(43 - 50)^{2}}{50} + \dfrac{(50 - 50)^{2}}{50} + \dfrac{(46 - 50)^{2}}{50} + \dfrac{(71 - 50)^{2}}{50} = 11{,}48$

5. Damos los grados de libertad. $k - 1 - p = 6 - 1 - 0 = 5$ . No se descuenta nada más porque no se estimó ningún parámetro de los datos: la distribución propuesta estaba completamente especificada.

6. Decidimos. $11{,}48$ supera a $11{,}0705$ , así que se rechaza: hay evidencia de que el dado no es equilibrado.

Respuesta: $\chi^{2} = 11{,}48$ contra $11{,}0705$ con $5$ grados: se rechaza el ajuste

6. Se probó el ajuste de una distribución a una muestra agrupada en $5$ clases, estimando $1$ parámetro a partir de los propios datos. El estadístico dio $13{,}483$ . De tabla, los valores críticos al $5\%$ son $7{,}8147$ con $3$ grados y $9{,}4877$ con $4$ . Decidí el test con los grados correctos.

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1. Escribimos la regla de los grados de libertad. $gl = k - 1 - p$ , con $k$ la cantidad de clases y $p$ la cantidad de parámetros estimados de los datos.

2. Calculamos. $gl = 5 - 1 - 1 = 3$ .

3. Explicamos por qué se descuenta. Cada parámetro estimado de la muestra hace que el modelo ya venga ajustado a esos mismos datos. El ajuste va a parecer mejor de lo que es, y descontar grados de libertad compensa ese efecto.

4. Decidimos con los grados correctos. $13{,}483$ supera a $7{,}8147$ : se rechaza el ajuste.

5. Vemos qué pasaría con los grados sin descontar. Con $4$ grados el crítico sería $9{,}4877$ , y la decisión sería rechazar: la misma, pero por casualidad.

6. En qué dirección se equivoca el error. Usar más grados de los que corresponde da un crítico más alto y hace más difícil rechazar: el modelo pasa el test con más facilidad de la que merece.

Respuesta: Con $gl = 3$ y crítico $7{,}8147$ : se rechaza el ajuste

7. Un modelo teórico predice que los casos se reparten en las categorías Bajo, Medio, Alto con probabilidades $0{,}25$ , $0{,}5$ y $0{,}25$ . En $160$ casos observados se contaron $34$ ; $74$ ; $52$ . De tabla, el crítico al $5\%$ con $2$ grados es $5{,}9915$ . Realizá el test de bondad de ajuste.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : los datos siguen el reparto propuesto. $H_1$ : no lo siguen.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo: $160 \cdot 0{,}25 = 40$ · Medio: $160 \cdot 0{,}5 = 80$ · Alto: $160 \cdot 0{,}25 = 40$ , que suman $160$ .

3. Verificamos la condición. La esperada más chica es $40$ , mayor que $5$ : el test se puede aplicar.

4. Calculamos el estadístico. $\dfrac{(34 - 40)^{2}}{40} + \dfrac{(74 - 80)^{2}}{80} + \dfrac{(52 - 40)^{2}}{40} = 4{,}95$

5. Damos los grados de libertad. $k - 1 - p = 3 - 1 - 0 = 2$ : no se estimó ningún parámetro, las probabilidades venían del modelo.

6. Decidimos. $4{,}95$ no supera a $5{,}9915$ , así que no se rechaza: los datos son compatibles con el reparto propuesto.

Respuesta: $\chi^{2} = 4{,}95$ contra $5{,}9915$ : no se rechaza el ajuste

8. Se quiere probar si la cantidad de fallas por turno sigue una Poisson de parámetro $1{,}2$ , con $150$ turnos observados agrupados en las clases $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ o más. Calculá las frecuencias esperadas y verificá si se cumple la condición del test.

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1. Calculamos las probabilidades de cada clase bajo el modelo. $P(X = 0) = 0{,}3012$ · $P(X = 1) = 0{,}3614$ · $P(X = 2) = 0{,}2169$ · $P(X = 3) = 0{,}0867$ · $P(X \geq 4) = 1 - 0{,}9662 = 0{,}0338$ .

2. Verificamos que sumen uno. $1$ , como corresponde: las clases cubren todos los valores posibles.

3. Calculamos las esperadas. $0$ : $150 \cdot 0{,}3012 \approx 45{,}1791$ · $1$ : $150 \cdot 0{,}3614 \approx 54{,}215$ · $2$ : $150 \cdot 0{,}2169 \approx 32{,}529$ · $3$ : $150 \cdot 0{,}0867 \approx 13{,}0116$ · $4$ o más: $150 \cdot 0{,}0338 \approx 5{,}0653$

4. Revisamos la condición. Todas las esperadas superan $5$ , así que la condición se cumple.

5. Decidimos cómo seguir. Se puede calcular el estadístico directamente sobre estas cinco clases.

6. Anotamos los grados de libertad que corresponderían. $k - 1 - p$ , con $p = 0$ si el parámetro $1{,}2$ viene de afuera, o $p = 1$ si se lo estimó con el promedio de los propios datos.

Respuesta: Se cumple: todas las esperadas superan $5$

9. Se tiró un dado $180$ veces y las caras del $1$ al $6$ salieron $36$ ; $27$ ; $29$ ; $25$ ; $29$ ; $34$ veces. De tabla, el valor crítico al $5\%$ con $5$ grados de libertad es $11{,}0705$ . Decidí si el dado es equilibrado.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : las seis caras son igualmente probables. $H_1$ : al menos una no lo es.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo la nula cada cara tiene probabilidad $\dfrac{1}{6}$ , así que $E = \dfrac{180}{6} = 30$ para las seis.

3. Verificamos la condición. Todas las esperadas valen $30$ , muy por encima de $5$ : el test se puede aplicar.

4. Calculamos el estadístico. $\chi^{2} = \sum \dfrac{(O - E)^{2}}{E} = \dfrac{(36 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(27 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(29 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(25 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(29 - 30)^{2}}{30} + \dfrac{(34 - 30)^{2}}{30} = 2{,}9333$

5. Damos los grados de libertad. $k - 1 - p = 6 - 1 - 0 = 5$ . No se descuenta nada más porque no se estimó ningún parámetro de los datos: la distribución propuesta estaba completamente especificada.

6. Decidimos. $2{,}9333$ no supera a $11{,}0705$ , así que no se rechaza: los datos son compatibles con un dado equilibrado.

Respuesta: $\chi^{2} = 2{,}9333$ contra $11{,}0705$ con $5$ grados: no se rechaza el ajuste

10. Se probó el ajuste de una distribución a una muestra agrupada en $6$ clases, estimando $2$ parámetros a partir de los propios datos. El estadístico dio $5{,}086$ . De tabla, los valores críticos al $5\%$ son $7{,}8147$ con $3$ grados y $11{,}0705$ con $5$ . Decidí el test con los grados correctos.

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1. Escribimos la regla de los grados de libertad. $gl = k - 1 - p$ , con $k$ la cantidad de clases y $p$ la cantidad de parámetros estimados de los datos.

2. Calculamos. $gl = 6 - 1 - 2 = 3$ .

3. Explicamos por qué se descuenta. Cada parámetro estimado de la muestra hace que el modelo ya venga ajustado a esos mismos datos. El ajuste va a parecer mejor de lo que es, y descontar grados de libertad compensa ese efecto.

4. Decidimos con los grados correctos. $5{,}086$ no supera a $7{,}8147$ : no se rechaza el ajuste.

5. Vemos qué pasaría con los grados sin descontar. Con $5$ grados el crítico sería $11{,}0705$ , y la decisión sería no rechazar: la misma, pero por casualidad.

6. En qué dirección se equivoca el error. Usar más grados de los que corresponde da un crítico más alto y hace más difícil rechazar: el modelo pasa el test con más facilidad de la que merece.

Respuesta: Con $gl = 3$ y crítico $7{,}8147$ : no se rechaza el ajuste

11. Un modelo teórico predice que los casos se reparten en las categorías Bajo, Medio, Alto con probabilidades $0{,}25$ , $0{,}5$ y $0{,}25$ . En $80$ casos observados se contaron $20$ ; $35$ ; $25$ . De tabla, el crítico al $5\%$ con $2$ grados es $5{,}9915$ . Realizá el test de bondad de ajuste.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : los datos siguen el reparto propuesto. $H_1$ : no lo siguen.

2. Calculamos las frecuencias esperadas. Bajo: $80 \cdot 0{,}25 = 20$ · Medio: $80 \cdot 0{,}5 = 40$ · Alto: $80 \cdot 0{,}25 = 20$ , que suman $80$ .

3. Verificamos la condición. La esperada más chica es $20$ , mayor que $5$ : el test se puede aplicar.

4. Calculamos el estadístico. $\dfrac{(20 - 20)^{2}}{20} + \dfrac{(35 - 40)^{2}}{40} + \dfrac{(25 - 20)^{2}}{20} = 1{,}875$

5. Damos los grados de libertad. $k - 1 - p = 3 - 1 - 0 = 2$ : no se estimó ningún parámetro, las probabilidades venían del modelo.

6. Decidimos. $1{,}875$ no supera a $5{,}9915$ , así que no se rechaza: los datos son compatibles con el reparto propuesto.

Respuesta: $\chi^{2} = 1{,}875$ contra $5{,}9915$ : no se rechaza el ajuste

12. Se quiere probar si la cantidad de fallas por turno sigue una Poisson de parámetro $1{,}2$ , con $200$ turnos observados agrupados en las clases $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ o más. Calculá las frecuencias esperadas y verificá si se cumple la condición del test.

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1. Calculamos las probabilidades de cada clase bajo el modelo. $P(X = 0) = 0{,}3012$ · $P(X = 1) = 0{,}3614$ · $P(X = 2) = 0{,}2169$ · $P(X = 3) = 0{,}0867$ · $P(X \geq 4) = 1 - 0{,}9662 = 0{,}0338$ .

2. Verificamos que sumen uno. $1$ , como corresponde: las clases cubren todos los valores posibles.

3. Calculamos las esperadas. $0$ : $200 \cdot 0{,}3012 \approx 60{,}2388$ · $1$ : $200 \cdot 0{,}3614 \approx 72{,}2866$ · $2$ : $200 \cdot 0{,}2169 \approx 43{,}372$ · $3$ : $200 \cdot 0{,}0867 \approx 17{,}3488$ · $4$ o más: $200 \cdot 0{,}0338 \approx 6{,}7538$

4. Revisamos la condición. Todas las esperadas superan $5$ , así que la condición se cumple.

5. Decidimos cómo seguir. Se puede calcular el estadístico directamente sobre estas cinco clases.

6. Anotamos los grados de libertad que corresponderían. $k - 1 - p$ , con $p = 0$ si el parámetro $1{,}2$ viene de afuera, o $p = 1$ si se lo estimó con el promedio de los propios datos.

Respuesta: Se cumple: todas las esperadas superan $5$